ANÁLISE DE VARIÂNCIA
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Transcript ANÁLISE DE VARIÂNCIA
ANÁLISE DE VARIÂNCIA
Análise de variância
Detecção e estimação de relações entre médias
Detecção e estimação entre componentes de
variabilidade
Variabilidade associada a "m" fontes de variação
Propriedade aditiva da variância:
Variância total = dentre amostras + entre amostras
total: variação de todas as medidas em relação à
média geral
dentre: variação de cada amostra em relação à sua
média
entre: variação das "n" médias em relação à média
geral
Propriedade aditiva da variância
Porosidade
A
8.4
9.8
11.3
12.1
13.3
13.5
14.1
14.3
amostra
A
B
A+B
n
8
8
16
media
12.10
12.80
12.45
B
9.6
9.7
12.9
13.2
13.2
13.4
14.3
16.1
sq
31.86
33.68
67.50
gl
7
7
15
variância
4.55
4.81
4.50
Soma de quadrados dentro de A e de B: 65.54
Soma de quadrados entre A e B: 1.96
Soma total de quadrados (A+B): 67.50
Teste F:
variabilidade entre/variabilidade dentre;
Ho: variâncias são iguais
H1: nem todas as variâncias são iguais
Modelos:
Fatorial: 1, 2, ou 3 fatores (com e sem
repetições)
Blocos casuais (quadrados latinos)
ANOVA I
Fontes
de
variação
Entre
grupos
Dentre
grupos
TOTAL
g.l
Soma de
Médias
Razão F
quadrados quadráticas
a-l
SQE
MQE
a
n j 1
SDQ
MQD
a
n 1
j
SQT
MQT
MQE
MDQ
Análise de variância com único fator
Soma total de quadrados
(estimativa da variação total)
Soma de quadrados dos desvios
entre os grupos (estimativa da
variação das médias dos grupos em
relação a média geral)
Soma de quadrados dos desvios
dentro dos grupos (estimativa da
variação dos indivíduos dentro de
cada um dos grupos em relação às
respectivas médias) = erro
a n
SQT x 2
i
j 1i 1
a n x
i
j 1i 1
2
a
nj
j 1
2
n
x
i
a
SQE i 1
n
j 1
j
a n
x
i
j 1i 1
a
nj
j 1
2
2
n
x
a n 2
a i 1 i
SQTSQE
SQD x
i
n
j 1i 1
j 1
j
Exemplo: salinidade (partes por mil) de três
lagunas em Bimini, Bahamas.
Laguna 1
37,54
37,01
36,71
37,03
37,32
37,01
37,03
37,70
37,36
36,75
37,45
38,85
n=12
∑x = 447,76
nj
Laguna 2
40,17
40,80
39,76
39,70
40,79
40,44
39,79
39,38
Laguna 3
39,04
39,21
39,05
38,24
38,53
38,71
38,89
38,66
38,51
40,08
8
320,83
10
388,92
40,10
0,2826
12868,76
38,89
0,2349
15128,23
j=1
x = 37,31
2
s = 0,3282
nj
∑x 16711,03
j=1
2
j
Soma total de quadrados
(estimativa da variação
total)
Soma de quadrados dos
desvios entre os grupos
(estimativa da variação
das médias dos grupos em
relação a média geral)
Soma de quadrados dos
desvios dentro dos grupos
(estimativa da variação
dos indivíduos dentro de
cada um dos grupos em
relação às respectivas
médias) = erro
44708,02
(1157,51)2
48,04
30
447,762 320,832 388,922
44660,98 38,80
12
8
10
44708,02 44699,78 8,24
ANOVA II
Fontes de
variação
espécimes
n-l
métodos
m-l
SS2
M2
resto
(erro)
(n-l)(ml)
SSD
ME
Total
(m*n)-l
SST
g.l
Soma de
Médias
RazõesF
quadrados quadráticas
SSl
M1
M1/ME
M2/ME
Análise de variância com dois
fatores (II)
2
Soma total de quadrados
m n
x
n m 2 j 1 i 1 ij
SST x
ij
mxn
i 1j 1
Soma de quadrados por “n”
linhas (espécimes):
2
2
m n
n m
xij xij
i 1 j 1 j 1 i 1
SS1
m
mxn
Soma de quadrados por “m”
colunas (métodos):
2
m n
m n
x
x
ij
ij
j
1
i
1
j 1 i 1
SS2
n
mxn
Soma de quadrados dos
desvios:
SSDSSTSS1SS2
2
Resultado
Fontes
g.l
Soma de
Médias
F
F 0,05
de
quadrados quadráticas
variação
Entre
a-l.
SQE
MQE
grupos
(2)
(38,80)
(19,40)
MQE
Dentre n 1
SDQ
MQD
MDQ 3,36
grupos
(8,24)
(0,30)
(64,67)
(27)
TOTAL n 1
SQT
MQT
(47,04)
(29)
a
j
a
j
Exemplo: Porcentagens de Sr de um conjunto de amostras
de carbonato, obtidas a partir de três diferentes métodos
: I-fotômetro de chama; II-análise espectrográfica;
III-absorção atômica
Espécimes Método I Método II MétodoIII Totais (m=3)
1
0,96
0,94
0,98
2,88
2
0,96
0,98
1,01
2,95
3
0,85
0,87
0,86
2,58
4
0,86
0,84
0,90
2,60
5
0,86
0,87
0,89
2,62
6
0,89
0,93
0,92
2,74
Totais
5,38
5,43
5,56
16,37
(n=6)
Soma total de
quadrados:
14,9339
Soma de quadrados por
“n” (r) linhas
(espécimes):
Soma de quadrados por
“m” (t) colunas
(métodos):
Soma de quadrados dos
desvios:
5,38 5,43 5,562
18
14,9339 14,8876 0,0463
2,882 2,952 2,742
14,8876
3
14,9284 14,8876 0,0408
5,382 5,432 5,562 14,8876
6
1489,05 14,8876 0,0029
04630,408,0029
Resultado
Fontes de
variação
espécimes
métodos
resto
(erro)
Total
g.l
Soma de
quadrados
n-l
SSl
(5)
(0,0408)
m-l
SS2
(2)
(0,0029)
(n-l)(m-l)
SSD
(10)
(0,0026)
(m*n)-l
SST
(17)
(0,0463)
Médias
quadráticas
Ml
(0,0082)
M2
(0,0015)
ME
(0,0003)
F
F.05
M1/ME
(27,33)
M2/ME
(5,00)
3,33
4,10
Análise de variância “espacial”
PÓS-BERMA
PRÉ-BERMA
* (2.7)
* (2.9)
*(2.8)
* (2.3)
* (4.0)
*(2.0)
*(2.8)
* (2.8)
* (1.4)
* (2.0)
*(2.7)
* (3.1)
*(5.0)
*(5.3)
* (3.4)
* (5.1)
*(10.0)
* (11.7)
* (6.9)
* (11.9)
*(18.3)
*(21.0)
*(13.0)
*(20.8)
(lago)
*:rede de amostragem em uma praia
( ): teores de umidade
Análise de variância: Total
Fontes de variação
g.l.
S.Q.
MQ.
F(F.05)
Linhas
5
798.45
159.69
56.43 (2.90)
Colunas
3
21.45
7.15
2.53 (3.29)
Erro
15
42.47
2.83
TOTAL
23
862.37
Análise de variância: Pós-berma
Fontes de variação
g.l.
S.Q.
MQ.
F(F.05)
Linhas
2
0.73
0.37
0.63 (5.14)
Colunas
3
0.43
0.14
0.24 (4.78)
Erro
6
3.52
0.59
TOTAL
11
4.68
Análise de variância: Pré-berma
Fontes de variação
g.l.
S.Q.
MQ.
F(F.05)
Linhas
2
373.51
186.76
88.93 (5.14)
Colunas
3
47.40
15.80
7.52 (4.76)
Erro
6
12.58
2.10
TOTAL
11
433.49