Transcript ANÁLISE DE VARIÂNCIA

ANÁLISE DE VARIÂNCIA
Análise de variância




Detecção e estimação de relações entre médias
Detecção e estimação entre componentes de
variabilidade
Variabilidade associada a "m" fontes de variação
Propriedade aditiva da variância:
 Variância total = dentre amostras + entre amostras
 total: variação de todas as medidas em relação à
média geral
 dentre: variação de cada amostra em relação à sua
média
 entre: variação das "n" médias em relação à média
geral
Propriedade aditiva da variância
Porosidade
A
8.4
9.8
11.3
12.1
13.3
13.5
14.1
14.3
amostra
A
B
A+B
n
8
8
16
media
12.10
12.80
12.45
B
9.6
9.7
12.9
13.2
13.2
13.4
14.3
16.1
sq
31.86
33.68
67.50
gl
7
7
15
variância
4.55
4.81
4.50
Soma de quadrados dentro de A e de B: 65.54
Soma de quadrados entre A e B: 1.96
Soma total de quadrados (A+B): 67.50

Teste F:






variabilidade entre/variabilidade dentre;
Ho: variâncias são iguais
H1: nem todas as variâncias são iguais
Modelos:
Fatorial: 1, 2, ou 3 fatores (com e sem
repetições)
Blocos casuais (quadrados latinos)
ANOVA I
Fontes
de
variação
Entre
grupos
Dentre
grupos
TOTAL
g.l
Soma de
Médias
Razão F
quadrados quadráticas
a-l
SQE
MQE
a
 n j 1
SDQ
MQD
a 
  n  1
j



SQT
MQT
MQE
MDQ
Análise de variância com único fator



Soma total de quadrados
(estimativa da variação total)
Soma de quadrados dos desvios
entre os grupos (estimativa da
variação das médias dos grupos em
relação a média geral)
Soma de quadrados dos desvios
dentro dos grupos (estimativa da
variação dos indivíduos dentro de
cada um dos grupos em relação às
respectivas médias) = erro
a n
SQT    x 2 
i
j  1i  1
 a n x 

i
 j  1i  1 
2
a
 nj
j 1
2
 n
   x  
i 
a 
SQE     i  1   
n

j  1
j




 a n

   x 
i

 j  1i  1 
a
 nj
j 1
2
2
 n

  x  
a n 2
a   i  1 i  
  SQTSQE
SQD   x   
i
n


j  1i  1
j 1
j




Exemplo: salinidade (partes por mil) de três
lagunas em Bimini, Bahamas.
Laguna 1
37,54
37,01
36,71
37,03
37,32
37,01
37,03
37,70
37,36
36,75
37,45
38,85
n=12
∑x = 447,76
nj
Laguna 2
40,17
40,80
39,76
39,70
40,79
40,44
39,79
39,38
Laguna 3
39,04
39,21
39,05
38,24
38,53
38,71
38,89
38,66
38,51
40,08
8
320,83
10
388,92
40,10
0,2826
12868,76
38,89
0,2349
15128,23
j=1
x = 37,31
2
s = 0,3282
nj
∑x 16711,03
j=1
2
j



Soma total de quadrados
(estimativa da variação
total)
Soma de quadrados dos
desvios entre os grupos
(estimativa da variação
das médias dos grupos em
relação a média geral)
Soma de quadrados dos
desvios dentro dos grupos
(estimativa da variação
dos indivíduos dentro de
cada um dos grupos em
relação às respectivas
médias) = erro
 44708,02 

(1157,51)2
 48,04
30
447,762 320,832 388,922


 44660,98  38,80
12
8
10
 44708,02  44699,78  8,24
ANOVA II
Fontes de
variação
espécimes
n-l
métodos
m-l
SS2
M2
resto
(erro)
(n-l)(ml)
SSD
ME
Total
(m*n)-l
SST
g.l
Soma de
Médias
RazõesF
quadrados quadráticas
SSl
M1
M1/ME
M2/ME
Análise de variância com dois
fatores (II)
2

Soma total de quadrados
 m  n

    x 
n m 2  j  1 i  1 ij 
SST    x 
ij
mxn
i  1j  1

Soma de quadrados por “n”
linhas (espécimes):
2
2
  m  n

n  m

   xij      xij 
i  1 j  1   j  1 i  1 
SS1 

m
mxn

Soma de quadrados por “m”
colunas (métodos):
2
m  n

  m  n





x


x
   ij 

ij 

j

1
i

1


j  1 i  1  
SS2 

n
mxn

Soma de quadrados dos
desvios:
SSDSSTSS1SS2
2
Resultado
Fontes
g.l
Soma de
Médias
F
F 0,05
de
quadrados quadráticas
variação
Entre
a-l.
SQE
MQE
grupos
(2)
(38,80)
(19,40)
MQE
Dentre  n  1
SDQ
MQD
MDQ 3,36
grupos
(8,24)
(0,30)
(64,67)
(27)
TOTAL  n  1
SQT
MQT
(47,04)
(29)
a
j
 
a
j
Exemplo: Porcentagens de Sr de um conjunto de amostras
de carbonato, obtidas a partir de três diferentes métodos
: I-fotômetro de chama; II-análise espectrográfica;
III-absorção atômica
Espécimes Método I Método II MétodoIII Totais (m=3)
1
0,96
0,94
0,98
2,88
2
0,96
0,98
1,01
2,95
3
0,85
0,87
0,86
2,58
4
0,86
0,84
0,90
2,60
5
0,86
0,87
0,89
2,62
6
0,89
0,93
0,92
2,74
Totais
5,38
5,43
5,56
16,37
(n=6)




Soma total de
quadrados:
14,9339 
Soma de quadrados por
“n” (r) linhas
(espécimes):
Soma de quadrados por
“m” (t) colunas
(métodos):
Soma de quadrados dos
desvios:
5,38  5,43  5,562
18
 14,9339  14,8876  0,0463
2,882  2,952    2,742
 14,8876
3
14,9284  14,8876  0,0408
5,382  5,432  5,562  14,8876
6
1489,05  14,8876  0,0029
04630,408,0029
Resultado
Fontes de
variação
espécimes
métodos
resto
(erro)
Total
g.l
Soma de
quadrados
n-l
SSl
(5)
(0,0408)
m-l
SS2
(2)
(0,0029)
(n-l)(m-l)
SSD
(10)
(0,0026)
(m*n)-l
SST
(17)
(0,0463)
Médias
quadráticas
Ml
(0,0082)
M2
(0,0015)
ME
(0,0003)
F
F.05
M1/ME
(27,33)
M2/ME
(5,00)
3,33
4,10
Análise de variância “espacial”
PÓS-BERMA
PRÉ-BERMA
* (2.7)
* (2.9)
*(2.8)
* (2.3)
* (4.0)
*(2.0)
*(2.8)
* (2.8)
* (1.4)
* (2.0)
*(2.7)
* (3.1)
*(5.0)
*(5.3)
* (3.4)
* (5.1)
*(10.0)
* (11.7)
* (6.9)
* (11.9)
*(18.3)
*(21.0)
*(13.0)
*(20.8)
(lago)
*:rede de amostragem em uma praia
( ): teores de umidade
Análise de variância: Total
Fontes de variação
g.l.
S.Q.
MQ.
F(F.05)
Linhas
5
798.45
159.69
56.43 (2.90)
Colunas
3
21.45
7.15
2.53 (3.29)
Erro
15
42.47
2.83
TOTAL
23
862.37
Análise de variância: Pós-berma
Fontes de variação
g.l.
S.Q.
MQ.
F(F.05)
Linhas
2
0.73
0.37
0.63 (5.14)
Colunas
3
0.43
0.14
0.24 (4.78)
Erro
6
3.52
0.59
TOTAL
11
4.68
Análise de variância: Pré-berma
Fontes de variação
g.l.
S.Q.
MQ.
F(F.05)
Linhas
2
373.51
186.76
88.93 (5.14)
Colunas
3
47.40
15.80
7.52 (4.76)
Erro
6
12.58
2.10
TOTAL
11
433.49