Transcript spherical_harmonic_lighting

Spherical Harmonic Lighting:
The Gritty Details(1/3)
Shader Study
임정환
발표 08/04/15
발표를 하게된 이유
• ShaderX4 2.9 Dynamical global
illuminations using Tetrahedron
environment mapping 모름
• PRT -> 모름
• BRDF -> 모름
• 안에 사용된 SH -> 모름
• OTL
• 걍 처음부터…
Introduction
• Precomputed Radiance Transfer for Real-Time
Rendering. in Dynamic, Slon(02)
– Realtime Global Illumination의 한 획을 그은 역사적인 논문
• 문제는?
–
–
–
–
어렵다.
복잡하다.
넘 많은 기초지식을 요해..
OTL
• 해서 우리의 Robin Green께서 Spherical Harmonic
Lighting:The Gritty Details 이라는 논문을 내셨다!!
– 해도 넘 어렵더라
– 공업수학 내용 나오고, 돌아버림
Introduction
• 발표순서는
– 1페이지부터 순서대로..
– 모두 이해되면 다시한번(No 순서대로)
Illumination Calculations(2~3쪽)
• Diffuse Surface Reflection
• The Rendering Equation, differential angle form
Illumination Calculations(4쪽)
• 용어들
– Flux = joules/second (watt)
• 얼마나 많은 photon이 unit시간당 면에 부딪히는가?
• 면이 넓으면 값이 커짐
– Irradiance(조사) = watt/meter2
– Projected Solid Angle 을 통해 들어오는 빛들을 구면전체로 적
분을 하면 빛의 밝기가 결정된다…
• 어떻게 위의 수식들을 리얼타임으로 표현할 것인가?
Monte Carlo Integration(4쪽)
• 어떻게 적분할 것인가?
– 몬테카를로!!
• 몬테카를로는 Probability(확률)에 기반한 방법
• f(x)는 일반적인 함수
• P(x)는 cummulative distribution function(축적
된 배분함수)
– F(x)의 각 부분에 대해서 얼마나 자주 불릴 것인가에
대한 확률을 나타내는 확률함수
– 예제: 주사위(1~6)를 굴렸을때 4이하일 P(4)는 2/3
– 만약 모든 범위에서 확률이 같다면 uniform random
variable이라 한다.
Monte Carlo Integration(5쪽)
• Probability density function
– p(x)
– x가 a와 b사이의 값일 확률
– 평균값(기대값)
– 예제 f(x)=2-x 라는 함수에서 0~2사이의 값의 기대값(평균)을
구하라..
– 확률이 uniform random variable 이므로 p(x)=1/2
Monte Carlo Integration(6쪽)
•
위의 방법은 적분해서 기대값을 구하는 방법… 허나 컴퓨터에서
하기에는 무리
또다른 방법은?
•
–
•
열나게 샘플링해서 평균내기!
이제 f(x)를 적분해 보자.
1.
2.
3.
4.
–
–
f(x)를 아주 많이 sample하의 값을 얻고
PDF값( p(x) )로 scaling 한후
결과값들을 합한후에
sample수로 나누면 f(x)의 적분값을 구할 수 있다.
sampling을 많이 할수록 정확한 값을 구할 수 있다
p(x)=f(x)다면 한번만 샘플링해도 된다.
Monte Carlo Integration(6쪽)
• 위의 식의 또다른 표현법은
• 자.. 그러면 우리가 할일
– p(x)를 uniform하게 분포시켜주면 최대한 적게 샘플
링하더라도 f(x)의 적분값을 approximate 할 수 있는
것이다.
– 구의 표면에서 우리는 적분을 할 것이므로 최대한 고
르게 sample을 분산시켜주는 것이 목표
– 이것을 unbiased random samples이라 한다.
– 구에서는 한쌍의 independent canonical random
number ξx 와 ξy 값을 구한후 값을 바꾸어 구상에서
맵핑값으로 사용할 수 있다.
–
Mapping [0..1,0..1]
random numbers into
spherical coordinates.
Monte Carlo Integration(7쪽)
•
•
자.. 좀 더샘플링값을 낮추어 보자
jittered sample
–
–
stratified sampling(층을 나누는 샘플링)
1. N*N의 cell로 나누고
2. 각 cell마다 random point를 뽑자.
각셀의 편차의 합은 전체 범위에서 샘플했을때보다 크지않더라.. 즉
고르게 되더라..
•
Monte Carlo Integration(7쪽)
지금까지 결과를 코드로 정리해보자.
void SH_setup_spherical_samples(SHSample samples[], int sqrt_n_samples)
{
// fill an N*N*2 array with uniformly distributed
struct SHSample {
// samples across the sphere using jittered stratification
Vector3d sph;
int i=0; // array index
Vector3d vec;
double oneoverN = 1.0/sqrt_n_samples;
double *coeff;
for(int a=0; a<sqrt_n_samples; a++) {
};
for(int b=0; b<sqrt_n_samples; b++) {
// generate unbiased distribution of spherical coords
double x = (a + random()) * oneoverN; // do not reuse results
double y = (b + random()) * oneoverN; // each sample must be random
double theta = 2.0 * acos(sqrt(1.0 - x));
double phi = 2.0 * PI * y;
samples[i].sph = Vector3d(theta,phi,1.0);
// convert spherical coords to unit vector
Vector3d vec(sin(theta)*cos(phi), sin(theta)*sin(phi), cos(theta));
samples[i].vec = vec;
// precompute all SH coefficients for this sample
for(int l=0; l<n_bands; ++l) {
for(int m=-l; m<=l; ++m) {
int index = l*(l+1)+m;
samples[i].coeff[index] = SH(l,m,theta,phi);
}
}
++i;
}
}
}
Orthogonal Basis Function(8쪽)
• Basis function( Bi(x) )
– 어떤 original function을 나타낼수있는 작은 조각
– basis function을 scaling, sum을 통해 original function을 근사
화할 수 있다.(이러한 과정을 projection한다고 한다)
옆에 과정을 통해
coefficient를 구
할 수 있다.
구해진 coefficient와 basis를 한
번 더 곱한 후 그 결과값을
sum하자
Orthogonal Basis Function(9쪽)
• 방금전에 사용된 것은 linear basis functions으로 input function으
로 piecewise linear approximation(구분적 선형 근사)을 준다.
• 여러 basis function이 있지만 orthogonal polynomials라 불리는 것
이 많이 사용됨
• Orthogonal polynomials(직교 다항식)
– 성질
– 직관적으로 다항식들간의 간섭하지 않는다는 것을 알 수 있다.
– 가장 유명한 것 중 Legendre polynomials 라 불리는 것이 있다.
– Associated Legendre polynomials
• symbol로 P라고 표현
• l과 m으로 표현 (-1~1사이)
• real number(실수)를 반환
Orthogonal Basis Function(9쪽)
• Associated Legendre polynomials
– 2개의 아규먼트 l,m은 polynomial을 여러 개의 function band로 나눈다.
– l은 band index , 0을 포함한 양수
The first six associated
– m은 0~l 사이의 값
Legendre polynomials.
위와 같이 n개면 n(n+1)개의
coefficient를 구한다.
Orthogonal Basis Function(10쪽)
• Associated Legendre polynomials
– 각각의 polynomial을 recursive하게 나타낼수있다.
– 아래 세가지 법칙에 따라..
Orthogonal Basis
Function(10~11쪽)
• Associated Legendre polynomials
– 소스코드로 한 번 살펴보자
Spherical Harmonics(11~12쪽)
• SH함수는 일반적으로 복소수에서 정의가 되나, 여기서는 근사화된
실수 범위에서 정의
l과 m은 좀 Legendre polynomial과는 좀 다른데 –l
이 0을포함한 양수 m은 –ㅣ ~ ㅣ사이의 값
Spherical Harmonics(13쪽)
• 소스코드를 보자
Spherical Harmonics