Harmonische trillingen

Inleiding • Verschijnselen met een periodiek karakter komen in de fysica veelvuldig voor • Basis van de studie van golfverschijnselen (zowel mechanische als elektromagnetische)

Voorbeelden

Massa aan veer • • Massa losgelaten  op en neer schommelen rond haar

evenwichtstoestan d = trilling

Besluit • Een veerkrachtig voorwerp trilt wanneer dit voorwerp uit de evenwichtsstand wordt gebracht en daarna losgelaten.

• Het voorwerp voert een periodieke beweging uit.

• Periodieke beweging = reeks opeenvolgende identieke bewegingen = cyclussen

• Periode T één cyclus = tijd voor • Frequentie f = aantal cyclussen per tijdseenheid • Elektrische tandenborstel • Heinrich Hertz (1857-1894)

Drie soorten trillingen • De vrije ongedempte harmonische trilling • De vrije gedempte harmonische trilling • De gedwongen harmonische trilling

Trilling • Of oscillatie • Een periodieke beweging • Wordt vaak veroorzaakt door de verstoring van een stabiele evenwichtsituatie

Harmonische trilling • Stand ten opzichte van haar evenwichtsstand  sinusfunctie

Harmonische trillingen De vrije ongedempte harmonische trilling

Inleiding • Een harmonische trilling gebeurt altijd onder invloed van een kracht die evenredig is en tegengesteld aan de uitwijking

De vrije ongedempte harmonische trilling • Stel dat we de wrijving van de bewegende massa in de lucht verwaarlozen , dan zal de trilling onveranderd blijven voortduren • De massa m beweegt dan op en neer met een bepaalde frequentie, die niet afhangt van de amplitude van de trilling. We noemen deze frequentie de natuurlijke trillingsfrequentie van de massa aan de veer.

Bewegingsvergelijking • We kunnen deze trilling theoretisch beschrijven door gebruik te maken van de wet van Hooke en de tweede wet van Newton

Afleiding

Intermezzo – differentiaalvergelijkingen • Functies als oplossing! • Zijn vergelijkingen waarin één of meerdere afgeleiden van de te zoeken functie voorkomen.

• Oplossingen van differentiaalvergelijkingen leveren y(t)

We zoeken nu een oplossing voor vergelijking (2) een functie van y(t) dat aan de tweede orde differentiaal vergelijking voldoet.

Oplossing van de eenvoudige harmonische oscillator

Uitwijking

Kenmerken van de harmonische trilling

Kenmerkende grootheden Een massa voert een harmonische trilling uit als haar uitwijking op elk ogenblik voldoet aan de vergelijking:

Uitwijking ifv tijd

• A = de absolute waarde van de maximale uitwijking die de massa kan hebben • A = amplitude • (ωt + φ) = fase • ω = fasesnelheid of pulsatie • φ = beginfase = positie van de massa op het ogenblik t = 0 s • Periode T = 2π/ω en frequentie f = 1/T

Eigenfrequentie • f = natuurlijke of eigenfrequentie van de vrije ongedempte trilling

Grafische voorstelling Harmonische trilling met beginfase gelijk aan 0 rad (1) Harmonische trilling met beginfase gelijk aan π\2 rad (2)

Voorstelling van een harmonische trilling met fasoren

Uitwijking : fasorvoorstelling • Fasor : vector met lengte gelijk aan amplitude die ronddraait met hoeksnelheid gelijk aan pulsatie. • Uitwijking = projectie op de Y-as.

Fasoren of draaiende vectoren • Voorstelling door middel van een fasor of draaiende vector

• Voorstelling van twee trillingen die ten opzichte van elkaar een faseverschil vertonen

• Het faseverschil van een tweede trilling t.o.v. een eerste wordt bepaald door: • - Indien Δφ < 0 rad dan ijlt de tweede trilling na op de eerste • - Indien Δφ > 0 rad dan ijlt de tweede trilling voor op de eerste • - Indien Δφ = 0 rad dan zijn beide trillingen in fase • - Indien Δφ = π rad dan zijn beide trillingen in tegenfase

Snelheid - berekening

v y v y v y

  

A dt

 cos(   0 )

A

 sin(   0   2 ) • is opnieuw een trilling met amplitude A  • is  /2 uit fase ten opzichte van y(t) • ‘loopt  /2 voor op’ y(t)

Snelheid - grafisch

Besluit: • Snelheid is maximaal bij doorgang door evenwichtstand • Snelheid is nul bij maximale uitwijking

Versnelling - berekening

a y a y a y



dv y

  

dt A

 2 2

d y dt

2 sin(   0 )    2 • is opnieuw een trilling met amplitude A  ². • is  uit fase ten opzichte van y(t) en  /2 uit fase ten opzichte van snelheid.

Versnelling - grafisch

Besluit: • Versnelling is maximaal als uitwijking maximaal is • Versnelling is nul bij doorgang door evenwichtspositie

Snelheid en versnelling

Fasorvoorstelling (2) • Fasor snelheid loodrecht op fasor A • Fasor versnelling hoek 180 ° met fasor A.

Kracht

F F y



ma



ma y F y

 

m

 2

y F y

 

ky

(

k



m

 2 ) Kracht is recht evenredig met de uitwijking. Kracht is tegengesteld gericht aan de uitwijking.

Kinetische energie • Kinetische energie – definitie

E k

 1 2

mv

2 • Kinetische energie op tijdstip t

E k

 1 2

mA

2  2 2 cos (   0 )

Potentiële energie •

E p bij y

is arbeid verricht door resultante bij verplaatsing van y naar evenwichtstand. • Arbeid is oppervlak onder F y , y diagram.

E p

 1 2  1 2

ky

2

Totale energie

E



E p



E k E

 1 2

ky

2  1 2 ( 2 

y

2 )

E

 1 2

m

 2

A

2   0 )  1 2

m

 2

A

2

E

 1 2

kA

2   0 ) Totale energie is recht evenredig met kwadraat van amplitude

Totale energie (2) E p E E k

t (s)

Waar passeert op bovenstaande grafiek de massa de evenwicht stand ?

Opdrachten

Wiskundige slinger • Idealisatie : – Onuitrekbaar en massaloos touw – Puntmassa • Puntmassa beweegt op cirkelboog.

• Elongatie : afstand D s langs de cirkelboog.

Wiskundige slinger krachtwerking • Te bewijzen : kracht die heen – en weergaan veroorzaakt voldoet aan nodige en voldoende voorwaarde.

• Welke kracht is dat ?  Tangentiële component van resultante.

• Spankracht : alléén maar normaal-component.

• Kracht die we zoeken  Tangentiële component van zwaartekracht.

Wiskundige slinger – krachtwerking (2) • Tangentiële component

F

zwaartekracht : 

mg

sin  • Voor kleine hoeken :

F



mg



F

 

mg

D

s l

F

Wiskundige slinger conclusies  

g l s k



m

 2 

mg l f

 1 2 

T

 2 

l g l g

Gedempte trillingen

t (s)

• Realiteit : energie gaat verloren door niet conservatieve krachten zoals wrijving => Amplitude gaat afnemen : trilling wordt gedempt.

• Amplitude gaat  exponentieel afnemen

Ae

 2

b m t

sin(   0 )

Resonantie • Oscillerend systeem kan energie overdragen naar andere oscillator door koppeling. • Energie-verdracht is maximaal, als frequentie van bron (emittor) gelijk is aan eigenfrequentie van ontvanger (resonator).

• Resonantievoorwaarde : f emittor = f resonator • Zie ook applets website.

Resonantie-catastrofe • Bij continue energietoevoer bij resonantie voorwaarde, kan amplitude zéér groot worden. • Amplitude kan zo groot worden, dat elasticiteitsgebied overschreden wordt, en systeem kan permanent vervormd worden =>

RESONANTIE-CATASTROFE.

• Berucht voorbeeld : Tacoma Narrows Bridge

Resonantie – catastrofe (2)