Transcript 不确定度限值为 - 复旦大学物理教学实验中心Fudan Physics

祝
贺
法国科学家Serge Haroche
与美国科学家David Wineland
获2012年诺贝尔物理学奖
“突破性的实验方法使得测量和操纵单个
量子系统成为可能”
1
基础物理实验
数据处理
课件下载：
http://phylab.fudan.edu.cn
2
1
2
3
4
5
严格处理数据
不确定度的评定
作图(第1周已讲)
最小二乘法
作业
3
1
严格处理数据
4
1.1 研究发现吃鸡蛋方式能够预测性格
• 爱吃水煮荷包蛋的人
性格开朗外向，喜欢听曲调
轻快的音乐，更加快乐
• 爱吃水煮蛋的人
缺乏条理，毫无组织性
• 热衷于煎荷包蛋的人
性欲很强；
• 痴迷于炒鸡蛋的人
拘谨，防卫心强，
• 爱吃煎鸡蛋饼的人
较为自律。
-- 全英国1010名成年人进行了调查 可信度：
-- 数据挖掘 data mining
定量
-- The study was commissioned by
置信概率？
the British Egg Industry Council
and carried out by Mindlab International.
[http://www.telegraph.co.uk/news/9573822/A-persons-way-of-eatingeggs-can-predict-personality-type.html] 2012.10.2；参考消息
5
1.2 上帝粒子 基本粒子标准模型
预言36种基本粒子
三代费米子
III
I
II
Higgs机制：基本粒子和
Higgs场发生相互作用而出
现质量，同时产生Higgs子
(非规范波色子– 未列入表中)
规范
波色子
质量
电荷
自旋
强
子
Standard Model
光子子传播电
磁相互作用
传
胶子传播强相
互作用
夸克参与强、
电磁、弱、引
力相互作用
播
轻
子
中微子参与弱、
引力相互作用
子
Z0、W±波色
子传播弱相互
作用
电子参与电磁、
弱、引力相互
作用
6
标准模型
•
•
•
•
•
•
•
LHC建造目的：寻找希格斯粒子！
Peter Higgs 1962
普通级别粒子：夸克,轻子（e,μ,τ,及中微子）
规范粒子：光子,W,Z,胶子,引力子(自旋2)
希格斯粒子（玻色子）：赋予质量
费米子(构成物质，自旋1/2)
玻色子(传播力)
取自俞熹实验中心午餐会ppt
希格斯
7
ATLAS Result
如何探测？
•
•
•
•
双光子事件
光子数对应质量坐标的突变
124-126GeV？半衰期10-22s
<116GeV或>130GeV 被排除
8
取自俞熹实验中心午餐会ppt
基本粒子标准模型
Standard Model
质量
电荷
自旋
强
子
三代费米子
III
I
II
中微子n
规范
波色子
• 中：不带电
• 微：mn~10-6me
传
播
、
、
轻
子
子
关心的问题：
• 质量？
• 中微子内部结构？
• 反中微子 – 自身？
人体内的放射性同位素每天
都会发出约3.4亿个中微子。
9
狭义相对论的光速不变原理
任一条光线在“静止的”
坐标系中都以确定的速度V
运动，不管这条光线是由
静止的还是由运动着的物
体发射出来的。
[德国《物理学纪事》1905年第4系列第17卷第
895－921页，参见蔡怀新等编译《爱因斯坦论
著选编》，上海人民出版社，1973年.]
10
1.3
超光速
中微子
11
12
δt = (60.7 ± 6.9 (stat.) ± 7.4 (sys.)) ns
6.9 ns：由多次测量的统计分析评定的不确定度
7.4 ns：由非统计分析评定的不确定度 uB2
uA
原子钟的光纤插头松了
13
1.4中微子振荡
(不同味中微子之间
的转换)
大亚湾核电站反中子探测器
14
什么是sinq13？
q12
ne,ne
q13
nm,nm
nt, nt q23
1、2、3来标志这些有固定质量的中
微子，那么不同的θ角代表不同质量
中微子与不同类型中微子之间的关
系。例如，θ12 就与电子中微子和第
二个质量中微子之间的混合有关。
这些混合角都是基本物理学常数，
太阳中微子振荡和大气中微子振荡
实验明确告诉我们，θ12 和θ23 都比
较大，而θ13却很小。
15
王贻芳, 大亚湾反应
堆中微子实验, 科学
64(3)4-8 (2012.5)
在离子物理实验中，
置信度必须达到5个
标准差才算发现，也
就是说置信度必须达
到99.9999%!
55天数据的分析，发
现远厅中微子事例比
预期约少6% ，即
R=0.940
±0.011 (统计误差)
±0.004 (系统误差)
振荡概率振幅
sin22q13=0.092
±0.016 (stat)
±0.005(syst),
16
中科院高能物理所所长王贻芳
17
2 不确定度的评定
• 不确定度评定的意义
过大？过小？
• 不确定度的分类
A类不确定度、B1和B2类不确定度
• 不确定度的合成
单次测量、多次测量
• 不确定度的传递
加减、乘除、乘方
18
2.1 不确定度评定
多次测量
对待测量x 进行n 次全同测量，A类不确定度
n
uA  x  
2


x

x
 i
i 1
nn  1
使用相同的测量仪器，在一定的实验观测条件下重
复观测某一物理量的数值
[李惕碚著《实验的数学处理》科学出版社1980年]
同一个实验者用同一台仪器在相同条件下对同一个
物理量进行多次等精度测量
[滕敏康主编《实验误差与数据处理》南京大学出版社1989年]
19
。
前提条件：多次全同测量，测量值xi满足正态分布(μ,σ2)
随机变量是数值因随机性而出现变
化的变量。
一个随机变量如果是大量
微弱原因的总效果，就近似
地服从正态分布。
概率密度函数
 1  x  m 2 
1
px  
exp 
 
2 
 2    
（中心极限定理）
实验的偶然误差往往是观测者还
不能控制的大量偶然因素作用的
结果，所以，在一定的实验条件
下，对固定量测量多次，测得值
的分布往往近似正态分布。
20
wikipedia
定义
(测量值为xi ;真值为m ; 标准差标准偏差为.
n
算术平均值： x 
期望值： xˆ 
x
i 1
n



i
(1)
xf x dx
方差： Var x  


2

x  xˆ  f x dx ≡ 2

各测得值的真实误差：  i
残差(残余误差)：
测得值真实误差平均值：
 xi  m
n i  xi  x
 ＝x  m 
(2)
(3)
n

i 1
n
(4)
i
(5)
21
证明A类不确定度公式：
由(3)和(4)得
由(5)
(6)
i n i  x  m
i n i  
 i  n i   两边平方
  n  2n i  
2
i
两边求和
n

(6)
n
2
i
2
2
2
2


n

2
n



i i  i 
n
n n
i   ( xi  xˆ )   xi   xˆ   xi  nxˆ  nx  nx  0

n i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
(7)
n
n
i
 0　又   n ，
2
2
i2  n i2 n 2
n i  xi  x
n
 ＝x  m 

i 1
n
(8)
22
i
n
由(4)
 ＝x  m 
测得值真实误差平均值




2

2
i
n
2


i 1
i
n
2

 i
n
(4)
(9)
2
(9)右式是因为
  
2
i
           21 2  21 3        i
2
1
2
2
2
n
2
0
n足够大时，所有交叉项之和接近于零
这是因为各i的符号有正，有负，而且数量级也相同，所以当n
足够大时，各交叉项由于概率均等而互相抵消。
23
贾玉润、王公治、凌佩玲，大学物理实验，复旦大学出版社，1987, pp. 20-21.
由(9)  2 
2

 i
n2
2
2
2


n

n

代入(8)  i  i
得
1
    n    i2
n
2
i
2
i
(10)
测量列标准偏差:
n
无穷多次
  lim
  i2
i 1
n 
n
 
2
i 1
n
ˆ 
n
2

 i
n
有限次
2
2

 i
i 1
(11)
n
n
2
v
i
(10) i 1

n 1
 ˆ 2
(12)
贝塞尔公式
即有限n次测量， x 代替真值 m , (  i  xi  m , n i  xi  x
)
24
贾玉润、王公治、凌佩玲，大学物理实验，复旦大学出版社，1987, pp. 20-21.
测量列标准偏差
n
ˆ 
2
n
 i
i 1
(13)
n 1
贝塞尔公式描述测得值的分散度
由(12)、(9)

2



n
2
i
和(13)
2
A类不确定度=平均值标准偏差
uA  x    
2
v
i
n(n  1)
=
ˆ
(14)
n
25
例
次数
•
•
原子吸收法测量某样品的铁含量
测量值
x ( %) 残差 vi ( %)
i
次数
测量值
i
残差
vi
(%)
1
0.42
0.016
9
0.40
0.004
2
0.43
0.026
10
0.43
0.026
3
0.40
0.004
11
0.42
0.016
4
0.43
0.026
12
0.41
0.006
5
0.42
0.016
13
0.39
-0.014
6
0.43
0.026
14
0.39
-0.014
7
0.39
-0.014
15
0.40
0.004
8
0.30
-0.104
平均值
0.404
测量结果平均值 (1) :
测量列标准偏差 (13):
15
 xi
x  i 1
15
 0.404%
15
•
x (%)
平均值标准偏差(14):
ˆ 
 ( xi  x )
i 1
151
uA ( x)   
2
 0.033%
ˆ  0.009%
15
26
百度文库http://wenku.baidu.com/view/dfb0708183d049649b6658a0.html 贡献者: sunold126,不确定度.
Granular Solid
Compaction demonstration video
Volume is history dependent
27
Initial configuration: low density by blowing nitrogen gas upward
，
，
irreversibility point
Once G>G*
• at a sufficient slow rate
DG/Dt
 equilibrium
(reversible and steadystate behavior.)
• If the rate DG/Dt is large,
the granular system
would fall out of
equilibrium.
Vibration strength Γ= Aω2/g
r depends on the vibration history.
At each value of G tapped 105 times! DG~ 0.5.
G~3: G was 2, density= spot；G was 3.3, density= circle
E.R. Nowak et al. PRE 57, 1971 (1998)
28
2.2 B类不确定度的评定方法:
uB1:单次测量不确定度（与测量方法和测量经验有关）
用直尺、螺旋测微器估计长度
d
uB1 
b
体温表
示波器
(多次测量时，用uA代替uB1)
uB2: 仪器不确定度（与仪器种类、级别及使用条件有关）
(仪器不确定度对测量值的概率分布uB2(x) 是均匀分布时)
uB 2
a

c
c置信因子
a
u B 2   x f x dx
2
均方根：
2
a
29
仪器不确定度uB2(x)呈均匀分布 （如游标卡尺*）
由于仪器的制造, 随机变量x的值以等概率落入区间[-a,+a] 内,
则称x服从均匀分布
均匀分布的分布密度函数为:
x a
0
x f(x)
a
1
2a
=
a
1 a
数学期望为:xˆ  a xf ( x)dx  2a a xdx  0
2
1 a 2
a
方差为： Var ( x)    a ( x  xˆ ) f ( x)dx  a x f ( x)dx  2a a x dx  3
2
a
a
标准差σ为：
  Var ( x) 
3
3c =
置信因子
置信概率
a
2
2
·
f (x)
1
2a
．
p= 57.7%
* 欧阳九令主编，常用物理测量手册 ，1998年，中国
工人出版社, 转引自，http://www.bb.ustc.edu.cn/jpkc
/guojia/dxwlsy/kj/part1/3-1.html
-a
o
a
3
+a x
30
百度文库http://wenku.baidu.com/view/dfb0708183d049649b6658a0.html贡献者: sunold126,不确定度.
随机变量服从正态分布的仪器不确定度
（如米尺、千分尺、 物理天平、 秒表）*
特点----- 对称性、 单峰性、
f (y )
抵偿性、有界性
正态分布密度分布函数为:

e
2
  x  1m
2
f ( ) 
 2
各测得值的真实误差
 i
68.27%
 xi  m
置信概率
95.45%
p     68.27%
p  2   95.45%  3
 2

0

99.73%
2
3

p  3   99.73%
百度文库http://wenku.baidu.com/view/dfb0708183d049649b6658a0.html 贡献者: sunold126,不确定度.
31
* 欧阳九令主编，常用物理测量手册 ，1998年，中国工人出版社,
4).三角分布
•若随机变量x的值更加可能接近两边界, 以最大区间（±a）形式出现并具有
对称分布, 则称x服从三角分布。
( a  x) / a 2
f (x)
方差为：
=
( a  x) / a 2
a x0
0 xa
a2
D
6
1
a
a
标准差为：σ =
6
65%
置信因子k
=
6
ma
m
a
6
m
m
a
6
ma
百度文库http://wenku.baidu.com/view/dfb0708183d049649b6658a0.html, 贡献者: sunold126,不确定度.
32
不确定度的合成（同一物理量）：
单次测量：
u ( x)  u ( x)  u ( x)
2
B1
2
B2
在长度测量中，长度值是两个位置读数x1和x2之差，
其不确定度合成公式为:
u ( x)  u ( x1 )  u ( x 2 )  u ( x)
2
B1
2
B1
2
B2
多次测量：
u ( x)  u A2 ( x)  u B2 2 ( x)
33
2.3 不确定度的传递
---- 对不同物理量
例：由V 和R的不确定度，求 I 的不确定度。
2
2
 u ( y )   u ( x1 )   u ( x2 ) 
 y   x   x 

  1   2 
V
I
R
2
2
 u ( I )   u (V )   u ( R) 

 
 

 I   V   R 
2
2
一般传递公式：当各直接测量的量相互独立无关时，
u( y)

y
 ln f
2
[
u
(
x
)]

i
xi
i 1
n
34
不确定度
传递
加
减
（不同物理量）
一般传递公式：
当各直接测量的量相互
独立无关时
y  f ( x1 , x2 , x3,
xn )
2
 f  2
 u( y)   
 u ( xi )

x
i 1 
i 
n
乘
除
乘
方
y  x1  x2
u ( y)  u ( x1 )  u ( x2 )
2
2
2
y  x1x2 , y  x1 / x2
2
2
 u ( y )   u ( x1 )   u ( x2 ) 
 y   x   x 

  1   2 
yx
2
2
n
 u ( y )   u ( x) 
 y   n x 


 
2
取自：原媛
35
不确定度传递公式的证明（贾玉仁等,大学物理实验,1987,pp.23-25)
1. 若对各个xi均进行了m次重复等精度、相互独立的
测量，每个测量值对平均值xi的偏差分别是Dxi1, Dxi2, …,
Dxin, 则相应地y也有m个偏差：
f
f
f
Dy1 
Dx11 
Dx21  ... 
Dxn1
x1
x2
xn
f
f
f
Dy2 
Dx12 
Dx22  ... 
Dxn 2
x1
x2
xn
(1)
…………………………………………
Dyn 
f
f
f
Dx1n 
Dx2n  ...
Dxnn
x1
x2
xn
(1) 式两端相加，
f m
f m
f m
Dyk 
Dx1k 
Dx2 k  ...
Dxnk




x1 k 1
x2 k 1
xn k 1m
k 1
m
(2)
Dx jk =0
由于残差的算术平均值为零，(2)式中 
, ( j=1,2,…,n),故
k 1
m
m

Dyk  yk  my0  0 ,其中 y0  f ( x1 , x2 ,..., xn ) 则有   yk  /m=y0
 k 1 36
k 1
k 1

即
m

f ( x1, x2 ,..., xn )  f ( x1, x2 ,..., xn )
2. 将(1) 式等号两边分别平方再求和，得：
m
f 2 m
f 2 m
f f m
2
2
(Dyk )  ( )  (Dx1k )  ...  ( )  (Dxnk )  2[
  Dxik Dx jk ]

x1 k 1
xn k 1
k 1
i  j xi x j k 1
m
2
式中i, j分别为0,1,…,n. 将上式两边各处以(m-1),依贝塞尔公式得：
m
f 2 2
f 2 2
f f
1 m
  ( )  x1  ...  ( )  xn  2[

Dxik Dx jk ]

x1
xn
i  j xi x j m  1 k 1
2
y
=0
上式右边最后一项表示不同测量量的不确定度之间的关联程度；
若各个量的测量是独立的，这一项等于0.
y  (
f 2 2
f
f
)  x1  ( )2  x22  ...  ( )2  x2n
x1
x2
xn
即独立量标准偏差的传递公式,并得独立量不确定度传递公式
37
2.4 不确定度的修约
（数据的修约：4舍6入5成双）
有效位数
不确定度
修约
不确定
评定
1. 一般情况下, 当修约前
首位数字是1 或2 时, 测量
不确定度应取两位有效数字;
2. 当修约前首位数字是3
或4 时, 测量不确定度建议
取两位有效数字;
3. 当修约前首位数字是5
或以上时, 取一位或两位有
效数字均可。
“全进位”数据修约
8.46mm——9mm；
1.046mm——2mm，91.2%误差
修约规则
参考文献：
[1]张长水、 陆蕊 、阳明珠；浅析测量结果的数据修约；计量技术，
2007第10期。
[2]郑虹；物理实验中测量结果及其不确定度的有效位数；大学物理实
验 ，2005第3期。
“三分之一”数据修约
舍掉部分小于保留末位修约间隔
的三分之一时, 不进位, 大于三
分之一时, 可以进位。
2.35mm——3mm(0.35>1/3)
2.28mm——2mm(0.28<1/3)
贡献者：原媛
38
贡献者：原媛
39
不确定度在运算过程中多保留一位有效数字：
y  x1  x2
u ( x1 )  0.149mm, u ( x2 )  0.249mm
u ( x1 )和u ( x2 )不做修约：
u ( y )  u 2 ( x1 )  u 2 ( x2 )  0.1492  0.2492  0.290mm  0.3mm
u ( x1 )和u ( x2 )修约到一位有效数字：
u ( y )  u 2 ( x1 )  u 2 ( x2 )  0.12  0.22  0.2mm
u ( x1 )和u ( x2 )修约到两位有效数字：
u ( y )  u 2 ( x1 )  u 2 ( x2 )  0.152  0.252  0.29mm  0.3mm
贡献者：原媛
40
2.5 例
• 测量一个圆柱体的密度
• 分析待测量
M
4M
r

V  D2h
• 间接测量量r 转化为3个直接测量量M、D、h
41
• 质量的测量：选用可读性（精度）为0.01g、
不确定度限值为0.02g的电子天平，
测得：M=80.36g
• 高度的测量：选用最小分度值为0.1cm、不确
定度限值为0.01cm的钢尺，估读1/5分度，
测得左端读数：H1＝4.00cm
测得右端读数：H2＝19.32cm
42
• 直径的测量：选用最小分度值为0.002cm、不
确定度限值为0.002cm的游标卡尺，
测得数据如下：
D/cm
2.014
2.018
2.020
2.020
2.016
2.022
2.020
2.016
2.018
2.020
43
• 质量的不确定度——“单次测量的不确定度” ：
已知条件：选用可读性（精度）为0.01g、不确定度限值为
0.02g 的电子天平，测得：M=80.36g
多保留一位有效数字
44
• 高度的不确定度—“单次测量的不确定度” ：
已知条件：选用最小分度值为0.1cm、不确定度限值为0.01cm
的钢尺，估读1/5分度，测得左端读数：H1＝4.00cm，测得
右端读数：H2＝19.32cm；
多保留一位有效数字
45
• 直径的不确定度—“多次测量的不确定度” ：
已知条件：选用最小分度值为0.002cm、不确定度限值为
0.002cm的游标卡尺，
测得数据如下：
D/cm
2.014
2.020
2.016
2.020
2.018
2.018
2.020
2.022
2.016
2.020
计算过程中多保
留一位有效数字
46
• 不确定度传递：
47
3. 作
图
（第一周已讲）
• 为什么要作图？
• 作图规则？
• 如何读图？
48
3.1 为什么要作图
• 清晰地看到定性关系
• 方便地比较不同特性
• 合理地从图上得到有用的信息
二极管伏安特性
电阻随温度的变化关系
49
3.2 作图规则
•
选择图纸（采用标准坐标纸），
•
根据自变量－因变量选择图纸的方向（一般取自变量为横坐标），选择合适的比例，图纸上
1格所表示的数据量值符合原数据量值变化的1、2、5等数（或它们的十进倍率）。
•
画坐标轴、分度线（等间距、
勿太密）并标明物理量名称
斜体）及单位（正体）。
•
画数据点（不标数据值，要
用 端 正 的 “ +” 或 者 “ ⊙ ”
符号来表示）。
•
画直线或曲线，标明特殊点
(特殊点所用符号应有别于
数据点的符号）及坐标值
（计算斜率用的点，曲线的
峰、谷等）。
•
写出实验名称、图名、实验
者、实验日期。
50
3.3 读图
• 读某个数据点时－有效数字
• 读单一坐标值时－有效数字、单位
• 通过图求斜率时
－取点、标出坐标值、计算斜率（单位）
取点三个规则：不能取原始数据点、尽量远但不超
数据范围、取与X轴刻度线的交点。
51
读图
52
3.4 例：作图
• 在伏安法测电阻的实验中，同学根据测得的数据如下：
如何找到一条最佳的拟合直线？
53
这幅图中存在什么问题？
54
4.1 方法表述
4 最小二乘法
最小二乘法认为：若最佳拟合的直线为 y  kx  b，则所测各

值与拟合直线上相应的各估计值 yi  kxi  b 之间的偏差的平
方和为最小，即： s 

n
( y  y )
i 1
i
i
2
 min
55
最小二乘法（续）
l xy   ( xi  x)( yi  y )   ( xi yi ) 
解方程得： k  l xy
l
xx
1
xi  yi

n
1
l xx   ( xi  x)   x  ( xi ) 2
n
2
2
i
b  y kx
相关系数： r 
l xy
l xx  l yy
l yy  


1
2
yi  y   y   yi 
n
2
2
i
如果y和x的相关性好（r的值越接近1，x和y的线性关系越好），
可以粗略考虑b的有效位数的最后一位与y的有效数字最后一位
对齐，k的有效数字与yn-y1和xn-x1中有效位数较少的相同。
56
y  kx  b 为例
4.2最小二乘法直线拟合的不确定度估算：以
在假设只有yi 存在随机误差的条件下（且y的仪器不确定度
远小于其A类不确定度），则k 和b的不确定度分别为：
Sy
Sk 
2
x
 i
Sb  S k
(  xi ) 2
n
2
x
i
n
 Sy
2
x
i
n xi2  ( xi ) 2
式中，Sy是测量值yi的标准偏差，即：
Sy 
2
n
i
n2

2
(
y

kx

b
)
 i i
n2
57
4.3 最小二乘法应用举例
例：巳知某铜棒的电阻与温度关系为：Rt  R0    t 。实验测
得7组数据（见表1）如下：试用最小二乘法求出参量R0、 以
及它们的不确定度。
表1：某铜棒的电阻与温度关系数据
t/℃
19.10
25.10
30.10
36.00
40.00
45.10
50.10
Rt / 
76.30
77.80
79.95
80.80
82.35
83.90
85.10
分析：此例中只有两个待定的参量R0和，为得到它们的最佳系
2
2
x
y
y
数，所需要的数据有n 和  i 、 i 、 xi 、 i 、 xi yi
五个累加数，为此在没有常用的科学型计算器时，通过列表计
算的方式来进行，这对提高计算速度将会有极大的帮助(参见表
2)，并使工作有条理与不易出错。
58
最小二乘法应用举例 （续）
表2：列表计算
i
t/℃
( xi )
Rt / 
( yi )
t×t
( x2i )
Rt  Rt
( y2i )
t×Rt
( xi yi )
1
19.10
76.30
364.8
5821.7
1457.3
2
25.10
77.80
630.0
6052.8
1952.8
3
30.10
79.75
906.0
6360.1
2400.5
4
36.00
80.80
1296
6528.6
2908.8
5
40.00
82.35
1600
6781.5
3294.0
6
45.10
83.90
2034
7039.2
3783.9
7
50.10
85.10
2510
7242.0
4263.5
n   xi 
7
245.50
y
i

566.00
x
2
i

9340.8
y
2
i

45825.9
x y
i
i
R计算 / 
i / 
i2×10-4 / 

20060.8
59
根据表2中所求得的数据，代入公式可得 ：
 k 
7  20060.8  245.50 566.00 1472.6

 0.28788 / C
2
7  9340.8  (245.50)
5115.35
R0  b 
566 .00
245 .50
 0.28788 
 70.76078 
7
7
1

x y  n x  y
i
i
i
i
1
1
[ xi2  ( xi ) 2 ]  [ yi2  ( yi ) 2 ]
n
n
245.50 566.00
7

 0.99757 0.998
2
2
(245.50)
(566.00)
[9340.8 
]  [(45825.9 
)]
7
7
20060.8 
相关系数保留到
第一个非9的数字
说明：电阻Rt与温度t的线性关系良好，所以取R0的有效数
字与R对齐，即：R0＝70.76；又因为t7－t1 = 31.00℃，R7
－R1 = 8.80，取k有效数字为以上两个差值中较少的位数
3位，则k = 0.288/C。
60
由此可以得到电阻与温度的相关关系为：Rt  70.76  0.288t
最小二乘法应用举例
表2：列表计算
i
t/℃
( xi )
Rt / 
( yi )
t×t
( x2i )
Rt  Rt
( y2i )
t×Rt
( xi yi )
R计算 / 
i / 
i2×10-4 / 
1
19.10
76.30
364.8
5821.7
1457.3
76.26
+0.04
16
2
25.10
77.80
630.0
6052.8
1952.8
77.99
-0.19
361
3
30.10
79.75
906.0
6360.1
2400.5
79.43
+0.32
1024
4
36.00
80.80
1296
6528.6
2908.8
81.13
-0.33
1089
5
40.00
82.35
1600
6781.5
3294.0
82.28
+0.07
49
6
45.10
83.90
2034
7039.2
3783.9
83.75
+0.15
225
7
50.10
85.10
2510
7242.0
4263.5
85.19
-0.09
81
n   xi 
7
245.50
y
i

566.00
x
2
i

9340.8
y
2
i

45825.9
x y
i
i

20060.8
n
2
i

2845×10-4
61
最小二乘法应用举例
计算k 和b的不确定度：由公式计算，可得：
S y  S Rt 
Sk  S 
n
2845 104

 0.239()
n2
72
2
i
Sy
( xi )
x  n
2
2
i
Sb  S R0  S k
故：
2
x
 i
n
0.239

9340.8 
 0.0088 
(245.50)
7
2
 0.239 0.03699 0.0088( / C)
9340 .8
 0.33()
7
R0  (70.76  0.33)  (70.8  0.3)
  (0.2879 0.009) / C  (0.288 0.009) / C
则：Rt  70.8  0.288t
62
4.4 用origin来拟合数据
86
Equation
Adj. R-Square
84
y = a + b*x
0.99114
Value
a
Intercept
b
Slope
Standard Error
70.83853
0.40355
0.28648
0.01105
R/
82
80
78
76
15
20
25
30
35
40
45
50
55
o
T/ C
63
5. 作 业
1、请按实验结果的正确表示法改正下列数据
1）1.305±0.02
2）52.3±0.162
3）100600±200
2、试按有效数字运算规则计算下列各式(写出计算过程)
1）1.35×4.00＋20.0×1.02＋20×0.1
2）5.02×104－400
1
1
3）
（其中被除数“1”为准确数）

2
2
(0.2000)
4）
(0.5000)
(5.190  5.0)  3.768
2.50
5）4.250×1.800×(1＋4/800)
(其中“1”为准确数)
64
作 业 （续）
3、用千分尺（不确定度限值为0.004mm）多次测量一金属薄片的厚度d，若测得
厚度数据如下：
序号
d/mm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.512 0.514 0.513 0.510 0.515 0.512 0.510 0.513 0.514 0.512
试求出d的平均值及其不确定度。
4、用钢尺（分度值为1mm、不确定度限值为0.1mm、按1/10估读）测量某一物
体的长度，读得其一端读数为2.00cm，另一端读数为11.17cm，试求出该物体
的长度及其不确定度。
5、实验测得一底面为正方形的长方体的高度h±u(h)=(5.20±0.03)cm，底面边长
a±u(a)=(2.134±0.002)cm，试求其体积并分析其不确定度。
65
作 业 （续）
6、用伏安法测得某电阻的电流与电压的数据如下：
I/mA
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
U/V
0.00
2.00
4.01
6.05
7.85
9.70
11.83 13.75 16.02 17.86
1）用作图法（要求用作图纸作图）求其电阻值；
2）用最小二乘法（要求列表法计算，写出计算公式和过程）求其电阻值并计
算不确定度。
48小时内将作业交至2、3周
所在实验室老师的信箱！
66