Transcript Problema de Transbordo

CURSO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Problemas de Transbordo
MSc. Ing. Julio Rito Vargas
III cuatrimestre 2014
El problema de transbordo
 Un problema de transporte permite sólo envíos directamente
desde los puntos de origen a los puntos de demanda. En
muchas situaciones, sin embargo, existe la posibilidad de
hacer envíos a través de puntos intermedios (puntos de
transbordo). En este caso se habla de un problema de
transbordo.
 A continuación veremos como la solución del problema de
transbordo puede ser encontrada a través de un problema de
transporte.
 Definiremos los puntos de oferta como aquellos puntos desde
donde sóolo se puede despachar unidades. Similarmente, un
punto de demanda es un punto donde sólo se pueden recibir
unidades. Un punto de transbordo es punto que puede recibir
y enviar unidades a otros puntos. Veamos un ejemplo:
Características
 La oferta o suministro en cada origen es limitada.
 En cada destino la demanda está definida o
especificada.
 El objetivo en el problema de transbordo es
determinar
cuantas
unidades
deberán
embarcarse por cada uno de los arcos de la red,
de manera que todas las demandas-destinos se
satisfagan al costo de transporte mínimo posible.
Ejemplo 1:
 Una fábrica posee dos plantas de manufactura,
una en Memphis y otra en Denver.
 La planta de Memphis puede producir hasta 150
unidades al día, la de Denver hasta 200 unidades
al día. Los productos son enviados por avión a
Los Angeles y Boston. En ambas ciudades, se
requieren 130 unidades diarias. Existe una
posibilidad de reducir costos enviando algunos
productos en primer lugar a New York o a
Chicago y luego a sus destinos finales. Los costos
unitarios de cada tramo factible se ilustran en la
siguiente tabla:
Tabla de Costos de transporte
Hacía
Desde
Memphis
Denver
N.Y.
Chicago
L.A.
Boston
Memphis
0
-
8
13
25
28
Denver
-
0
15
12
26
25
N.Y.
-
-
0
6
16
17
Chicago
-
-
6
0
14
16
L.A.
-
-
-
-
0
-
Boston
-
-
-
-
-
0
La fábrica desea satisfacer la demanda, minimizando el
costo total de envío. En este problemas, Memphis y
Denver son puntos de oferta de 150 y 200 unidades
respectivamente. New York y Chicago son puntos de
transbordo. Los Angeles y Boston son puntos de
demanda de 130 unidades cada uno.
130
150
130
200
Solución:
 A continuación construiremos un problema de
transporte balanceado a partir del problema de
transbordo. Para ello podemos seguir los
siguientes pasos (suponiendo que la oferta
excede a la demanda):
 Paso 1. Si es necesario, se debe agregar un
punto de demanda ficticio (con oferta 0 y
demanda igual al excedente) para balancear el
problema. Los costos de envío al punto ficticio
deben ser cero. Sea S la oferta total disponible.
 Paso 2. Construir una tabla de transporte
Solución:
 Incluir una fila por cada punto de oferta y de transbordo.
 Incluir una columna por cada punto de demanda y de
transbordo.
 Cada punto i de oferta debe poseer una oferta igual a su
oferta original si. Cada punto de demanda j debe poseer
una demanda igual a su demanda original dj .
 Cada punto de transbordo debe tener una oferta igual a
su oferta original + S y una demanda igual a su demanda
original + S. Como de antemano no se conoce la cantidad
que transitaría por cada punto de transbordo, la idea es
asegurar que no se exceda su capacidad. Se agrega S a
Solución:
 En el ejemplo, S = 150+200 = 350. La demanda total es
130+130 = 260. Luego, el punto ficticio debe tener una
demanda =90.
 Como en el ejemplo los puntos de transbordo no tienen ni
demanda ni oferta por sí mismos, la oferta y demanda en
la tabla deber ser igual a s.
 Una vez planteado la tabla, se pueden emplear los
métodos vistos anteriormente para obtener una solución
inicial factible y obtener la solución óptima.
Modelo deTransbordo
N.Y.
Chicago
L.A.
Boston
Ficticio
Oferta
Memphis
8
13
25
28
0
150
Denver
15
12
26
25
0
200
N.Y.
0
6
16
17
0
350
Chicago
6
0
14
16
0
350
Demanda
350
350
130
130
90
Solución del problema de transbordo
Análisis de Sensibilidad:
 Para interpretar la solución, es preciso revisar
cuidadosamente las combinaciones asignadas.
De la
primera fila, vemos que de Memphis sólo se despacharon
130
unidades
a
New
York
del
total
de 150 disponibles, el excedente de 20 unidades está
asignado al punto artificial. De la segunda
fila se
desprende que de Denver se enviaron 130 unidades a
Boston del total de 200 disponibles, quedando 70
asignadas al punto ficticio. En la tercera fila vemos que se
enviaron desde el punto de transbordo en New York 130
unidades a Los Angeles. La asignación de 220 de N.Y. a
N.Y. significa que del total de unidades en tránsito, 220 no
pasaron por dicho nodo de transbordo, o bien, que no se
emplearon 220 unidades de la capacidad del punto.
Finalmente, en la cuarta fila, la asignación de 350 del punto
de transbordo de Chicago a Chicago representa
Gráficamente, la solución óptima resulta:
EJEMPLO 2
Dos fábricas de automóviles, P1 y P2, están
conectadas a tres distribuidores, D1, D2 y D3,
por medio de dos centros de tránsito, T1 y T2, de
acuerdo con la red que se muestra en la
siguiente diapositiva
Las cantidades de la oferta en las fábricas P1 y P2,
son de 1000 y 1200 automóviles, y las
cantidades de la demanda en las distribuidoras
D1, D2 y D3, son de 800, 900 y 500 automóviles.
El costo de envío por automóvil (en decenas de
RED - MODELO DE ASIGNACION
8
1000
3
P1
4
T1
2
1200
P2
6
4
5
T2
9
D1
800
5
D2
900
3
D3
500
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Cada vez que se plantea un problema de
programación lineal, se procede cumpliendo
las siguientes etapas:
1.- Comprensión del problema (lectura en detalle)
2.- Definición de las variables de decisión
3.- Descripción de la función objetivo
4.- Identificación de las restricciones del problema
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Se plantea identificando como variables de decisión
a todas las posibilidades de flujos de asignación, a
transferir entre los nodos de la red de transbordo
Se define como función objetivo la
minimización de los costos de
transporte asociados al transbordo
Las restricciones corresponden a un balance de
transferencia de unidades para cada nodo de la red de
asignación, sin olvidar la condición de no negatividad
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Red para plantear el PPL:
P2
XP2T2
T1
T2
D2
900
XD2D3
1200
P1
800
XD1D2
1000
XP1T1
D1
D3
500
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
F.O. Mín Z = 3XP1T1 + 4XP1T2 + 2XP2T1 + 5XP2T2 +
8XT1D1 + 6XT1D2 + 4XT2D2 + 9XT2D3
+ 5XD1D2 + 3XD2D3
1000 = XP1T1 + XP1T2
1200 = XP2T1 + XP2T2
s.a. :
XP1T1 + XP2T1 = XT1D1 + XT1D2
XP1T2 + XP2T2 = XT2D2 + XT2D3
XT1D1 = XD1D2 + 800
XT1D2 + XT2D2 + XD1D2 = XD2D3 + 900
XT2D3 + XD2D3 = 500
X >0
EJEMPLO DE TRANSBORDO
El transbordo ocurre ya que la cantidad de la oferta de 2200
(1000 + 1200) automóviles en los nodos P1 y P2, requiere
pasar a través de los nodos de transbordo de la red (T1 y T2)
antes de llegar a sus puntos de destino en los nodos D1, D2
y D3
• Nodos puros de Oferta
• Nodos de Transbordo
• Nodos puros de Demanda
P1, P2
T1, T2, D1, D2
D3
El modelo de transbordo se convierte a un modelo de
transporte con seis puntos de origen (P1, P2, T1, T2, D1 y D2)
y cinco de destino (T1, T2, D1, D2 y D3)
NODOS PUROS DE OFERTA
Y NODOS PUROS DE DEMANDA
Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos
puros de oferta y puros de demanda, queda:
Oferta en un Nodo
Oferta
Original
puro de Oferta
Un nodo puro de oferta no posee amortiguador
Demanda en un Nodo
Demanda Original
puro de Demanda
Un nodo puro de demanda no posee amortiguador
NODOS DE TRANSBORDO
Las cantidades de la oferta y la demanda en los
nodos de transbordo, se establece de acuerdo a:
Oferta
Oferta en un Nodo
Amorti+
guador
Original
de Transbordo
La oferta necesariamente posee un amortiguador,
mientras que a veces se encuentra oferta original
Demanda en un Nodo
Demanda Amortide Transbordo
Original + guador
La demanda necesariamente posee amortiguador,
mientras que en ocasiones hay demanda original
Matriz de transbordo
Resuelto como un PPL
SOLUCION
8
4
6
2
4
Solución gráfica del modelo
U$ 207,000.00
3
100
1
1
6
3
150
5
4
1
200
3
5
1
3
2
4
2
8
6
La red de la figura, muestra las rutas de transporte de los nodos 1 y 2 a
los nodos 5 y 6, pasando por los nodos 3 y 4. Se ven, en los arcos
respectivos, los costos unitarios de transporte.
a. Formule el modelo correspondiente de transbordo
b. Resuelva el modelo e indique cual es la solución óptima
150