Transcript 1-level haar wavelets 을 가지고 첫번째 fluctuation 표현 가능

Contents
 Introduction
 The Haar Transform
 Conservation and Compaction of Energy
 Haar Wavelets
 Multiresolution Analysis
 Signal Compression
 Removing Noise
Introduction
 A haar wavelet : 가장 간단한 type의 wavelet
 The haar transform
 Discrete form of haar wavelets와 관련
 모든 wavelet transform의 prototype
 손 계산 가능
The Haar Transform (1)
 Analyze될 signals : discrete signals



N: f의 길이로서 positive even integer
f의 값 : N개의 실수
 Equally spaced sample values or simply sample values


아날로그 signal g를 등 간격인 시간 t = t1, t2, … , tN 에서
sampling
The Haar Transform (2)
 Haar transform
 Discrete signal을 길이가 반인 두개의 subsignal로 분해

Running average (trend)
 First trend : a1 = (a1, a2, … , aN/2 )
 a1= (f1+f2)/2 *
=>


m = 1,2,3,…,N/2
Running difference (fluctuation)
 First fluctuation : d1 = (d1, d2, … , dN/2 )
 d1=(f1-f2)/2 *
=>

m = 1,2,3,…,N/2
The Haar Transform (3)
 The Haar transform : 여러 stages or levels로 수행
 첫번째 level 의 mapping H1 :
 Inverse of H1 : (a1 | d1) → f
 Small fluctuations feature : fluctuation subsignal 값의
크기는 original signal 값의 크기보다 상당히 작다.


 6.6배 차이
의 평균값 : 7
의 평균값 :
The Haar Transform (4)
 Small fluctuations feature

로 부터 1024개 값 추출
 g가 매우 작은 time 간격을 가진다면,
Conservation and Compaction of
Energy (1)
 Haar transform의 중요한 두가지 properties
 Energy conservation of signals

Energy of f :

:
1-level haar transform :

 Compaction of the energy of signals
 Trend :
 440/446 ⇒ 98.7%
 Fluctuation :
 Trend subsignal a1 의 energy가 transformed signal (a1 | d1)의
energy의 많은 부분을 차지함
Conservation and Compaction of
Energy (2)
 Multiple levels transform
 Conservation of energy


:

 Compaction or localization of the energy of f
 a2 :
 Energy : 90% of f
 Length : 1/4
 a3 :
 Energy : 87.89% of f
 Length : 1/8
Conservation and Compaction of
Energy (3)
 Cumulative energy profile :
Conservation and Compaction of
Energy (4)
 수학적 증명으로 보는 energy conservation
Haar Wavelets (1)
 1-level haar wavelets
 성질
 각각 energy가 1
 평균값 0을 가진 두 값 사이에서 빠른 fluctuation으로
구성
 첫번째 haar wavelet 의 짝수 time translation
Haar Wavelets (2)
 Scalar product
 첫번째 fluctuation subsignal d1 using haar wavelets :
 두번째 fluctuation subsignal d2 using haar wavelets :
 1-level haar wavelets 을 가지고 첫번째 fluctuation 표현
가능
Haar Wavelets(3)
 1-level haar scaling signals
 1-level haar scaling signals을 가지고 첫번째 trend 표현
가능 :
 성질
 각각 energy가 1
 두개의 연속적인 time index로 구성된 support를 가짐
 첫번째 haar scaling signal
의 짝수 time translation
Haar Wavelets(4)
 2-level haar scaling signals
 2-level trend
 2-level haar wavelets
 2-level fluctuation
Multiresolution Analysis (1)
 두 signal
에 대해
Multiresolution Analysis (2)
 Basic idea of MRA
 Signal f : a lower resolution signal(5,5,11,11,7,7,5,5)과 fluctuation signal(-1,1,-1,1,1,-1,0,0)
의 합으로 표현
에서 a1 ,a2, …,aN/2 과 d1 ,d2, …, dN/2 분리
Multiresolution Analysis (3)
 2-level of a MRA of a signal f
 k-level of a MRA of a signal f
Multiresolution Analysis (4)
 10-levels of MRA
Signal Compression (1)
 Audio signal
 Method of wavelet transform compression
 Signal에 wavelet transform
 Thresholding


Transform된 값의 크기를 큰 값부터 정렬
Threshold보다 작은 값은 0
 Transmit

Transformed data + significance map (0 or 1)
 Inverse wavelet transform
Signal Compression (2)
 Original signal을 복원하려면 energy의 99.99%이상이 포함되도록 threshold
를 선택해야 함
 1024 : 51 ≒ 20 : 1 압축
4096 : 410 ≒ 10 : 1 (99.99% 이상이
되려면 2.3 : 1 이상이 되야 함, 즉, 1782개 이상)
Removing Noise (1)
 Contaminated signal = original signal + noise
 f=s+n
 Random noise만 고려
 Noise signal : highly oscillatory, 평균값 위아래로 빠르게 변함
 Transform에 의해 original signal은 적은 개수의 높은 에너
지로 집약되고 노이즈는 낮은 에너지를 가지게 됨
 Threshold method of wavelet denoising
 s의 energy 측정 : 대부분의 에너지가 형성되는 threshold
Ts > 0 찾음
 Noise signal의 transform값을 모두 포함하는 Ts 보다 작은
threshold Tn 값
 Tn 값보다 작은 값은 0
 Root Mean Square Error (RMS Error)
Removing Noise (2)
 RMS : 0.057 -> 0.011
0.057 -> 0.035