Transcript Zonska teorija čvrstih tijela

Zonska teorija čvrstog tijela
Uvod
• Bloch je formirao ovu teoriju 1928. Po njoj slobodni
elektroni se kreću u periodičnom polju kristalne rešetke
Ova teorija se takođe zove Zonska teorija čvrstog tijela.
• Energetska zonska teorija č.t. je osnovni princip fizike
poluprovodnika i koristi se za objašnjenje razlika
električnih osobina metala, izolatora i poluprovodnika.
Elektron u periodičnom potencijalu – Bloch -ov teorem
• Kristalno č.t. se sastoji od rešetke koja se sastoji od velikog broja pozitivnih
jona raspoređenih u pravilnim razmacima i od provodnih elektrona koji se
slobodno kreću kroz rešetku.
• Varijacije potencijala unutar metalnog kristala sa periodičnom rešetkom
objašnjavaju se Blochovim teoremom.
+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + +
•Potencijal ovdje varira periodično sa periodičnošću kristalne rešetke.
Potencijalna energija čestice je nula kada je blizu jezgra jona a
maksimalna kada je na pola puta do susjednog jona (joni su na
rastojanju a).
V
Raspored jona u kristalu
V 
+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + +
X
Jednodimenzionalni periodični
potencijal u kristalu.
Bloch’ov Teorem
• Bloch’ov Teorem tvrdi da za česticu koja se kreće u periodičnom
potencijalnom polju kristala talasne funkcije ψ(x) imaju oblik:
 ( x )  u k ( x )e
 ikx
, where uk ( x) is a periodicfunct ion
u k ( x)  u k ( x  a )
• uk(x) je periodična funkcija sa periodičnpšću potencijala
– Njena egzaktna forma zavisi od potencijala koji je pridružen
atomima (jonima) od kojih se sastoji č.t.
• Jednodimenzionalna Schrödinger’ova jednačina
d 2 8 2 m

[ E  V ]  0
dx2
h2
1
• Periodični potencijal V(x) može da se definira preko konstante rešetke a
kao V(x)=V(x+a)
d 2 8 2 m
 2 [ E  V ( x  a)]  0
2
dx
h
Bloch je pokazao da jednodimnezionalno rješenje
jednačine ima oblik:
 k ( x)  exp(ikx)U k ( x)
In3  D
 K (r )  exp(ikr)U k (r )
I
Schrödinger’ove
2
• Ako posmatramo linearni niz atoma dužine L u jednoj dimenziji, sa N
atoma
U k ( x)  U k ( x  Na ).............(3)
 k ( x  Na )  U k ( x  Na ) exp{ik ( x  Na )
 k ( x  Na )  exp(ikNa)U k ( x) exp(ikx)
 k ( x  Na )   k ( x) exp(ikNa)..........(4)
• Ovo se smatra Bloch’ovim uslovom. Slično tome, konjugirano
kompleksni oblik j-ne (4) je:
 k  ( x  Na )   * k ( x).exp(ikNa).......(5)
From Eq(4)and(23)
 k ( x  Na ) * k ( x  Na )   k ( x) * k ( x)
• Ovo znači da je elektron lokalizovan oko bilo kojeg atoma
i da je vjerovatnost da se elektron nađe uz bilo koji atom
kroz cijeli kristal jednaka.
Bloch’ov Teorem
V ( x)  V ( x  a )
Vjerovatnost nalaženja elektrona uz bilo koji atom u č.t. Je ista!!!
• Svaki elektron u kristalnom č.t. “pripada” svakom atomu koji
čine č.t.
•Ponašanje elektrona u periodičnom potencijalu:
•(Kronig-Penny’jev Model):
Ovdje se pusti da
V  a b  0
Potencijalnana barijera
između atoma.
U2(x)
V
U1(x)
x
X=0
X=a
X=b
•Ovaj model potencijala koji se nalazi u stvarnom kristalu ima oblik periodičnih
pravougaonih jama kao na sl.
• Potencijalna energija je 0 u regionima 0<x<a, i jednaka V0 u regionima b<x<0.
• Talasne funkcije za ova dva regiona dobijaju se rješavanjem slijedećih
Schrödinger-ovih jednačina:
d  2m
 2 E  0 for0  x  a..............1
2
dx

d 2 2m
 2 ( E  V0 )  0 for  b  x  0........2
2
dx

2
• Ako definiramo realne veličine α i β kao:
2m(V0  E )
2mE
2
  2 and  
; ( E  V0 )...............3
2


2
• I pošto talasna funkcija mora imati Bloch-ovu formu možemo očekivati da
bude:
 ( x)  eikxUk ( x)..........4
• Zamjenjujući (4) u (2) dobije se slijedeća jednačina za uk(x)
2
d u1
du1
2
2
 2ik
 (  k )u1  0 for0  x  a
2
dx
dx
5
d 2u 2
du2
2
2

2
ik

(


k
)  0 for b  x  0
2
dx
dx
6
Rješenja ovih jednačina se mogu napisati kao:
u1  Aei (  K ) x  Bei (  k ) x for0  x  a
u2  Ce (  ik ) x  De(  ik ) x for b  x  0
7
Gdje su A,B,C,D konstante .Ova rješenja moraju zadovoljavati
granične uslove:
 du1 
 du2 
(u1 ) x 0  (u2 ) x 0 ; 
 

 dx  x 0  dx  x 0
 du1 
 du2 
(u 1 ) x a  (u2 ) x b ; 
 

 dx  x a  dx  x b
8
• Prva dva uslova slijede iz zahtjeva za kontinuitet talasne
funkcije Ψ i kontinuitet (neprekidnost) njenog prvog izvoda
dΨ/dx u tački x=0, pa tako i u i njen izvod du/dx; preostala dva
uslova potiču zbog zahtjeva periodičnosti of uk(x).
• Kad primijenimo ove uslove na jednačinu (7) dobijemo šetiri
linearne homogene jednačine koje sadrže konstante A,B,C,D:
•
A+B=C+D
Ai(  k )  Bi(  k )  C (   ik )  D(   ik ),
Ae( k ) a  Bei (  k ) a  Ce (  ik )b  De(  ik )b
9
Koeficijenti A,B,C,D se mogu odrediti rješavanjem ovih jednačina što vodi
do slijedeće jednačine ;
 2  2
sinh bsin a  coshbcosa  cos K (a  b)
2
10
• Uzimajući da je Vo beskonačno, a b da teži nuli dobije se da Vob ostaje
konačno .
• veličina lim(Vob) predstavlja jačinu barijere
• Na ovaj način jednačina (10) postaje
 m V0b 
 2  Sina  cosa  cos ka
  
Ako definiramo veličinu P kao
mV0ba
p
2

11
• Onda se (11) svodi na
sin a
p
 cosa  cos K
a
12
Ovo je uslov postojanja rješenja talasne jednačine.
Vidi se da je taj uskov ispunjen samo za one vrijednosti αa za koje je
lijeva strana te jednačine u opsegu od +1do -1;
•Posljedice ove jednačine se mogu bolje razumjeti sa slike.
Kronig-Penney-ev Model
sin(a)
P
 cos(a)
a
Granice za αa = n.
1
-2π
-π
π
0
π
2π
3π
a
-1
Ovdje nema rješenja
Ovdje je, k2 < 0
Ovo su regioni gdje je jednačina zadovoljenja tj. gdje postoje rješenja
Općenito, kad energija raste (a raste), svaka slijedeća zona
postaje šira, a svaki slijedeći gap uži.
• Dio između vertikalnih osa koji leži između horizontalnih linija
predstavlja opseg koji je prihvatljiv za lijevu stranu
sin a
p
 cosa
a
• Zaključci:
• **Dozvoljeni intervali αa koji dozvoljavaju da postoje
mehanička talasna rješenja prikazani su kao osjenčeni
intervali tako da je kretanje elektrona u periodičnom polju
kristala je okarakterisano zonama dozvoljene energije
razdvojenih zonama zabranjenih energija.
• ** Sa porastom vrijednosti α raste širina zona dozvoljene
energije, a smanjuje se širina zona zabranjene energije.
• ** Ako je jačina potencijalne barijere P velika, funkcija sa desne strane
jednačine koja prelazi vrijednosti +1 i -1 čini to u regionima strmije funkcije
pa zone dozvoljenih energija postaju šire.
Ako P teži u beskonačno dozvoljena zona se reducira na jedan
Energetski nivo :
p
0
a
Ako P teži nuli nikakvih energetskih nivoa , sve energije su dozvoljene
elektronima.
cosa  cos ka
 k
2  k2
k2 2 
p0
a
2m E
2
2 2
E  ( )k
2m
h 2 2 2
E  ( 2 )( )
8 m 
h2 1
E( ) 2
2m 
h2 p2 p2 1 2
E( ) 2 
 mv
2m h
2m 2
Brillouin-ove zone (E-k krivulja)
• Brillouin-ova zona je predstava dozvoljenih vrijednosti K elektrona u
jednoj, dvije ili tri dimenzije.
• Tako je energetski spektar elektrona koji se kreće u polju periodičnog
potencijala podijeljen u dozvoljene i zabranjene zone.
1
a
-1
Kronig-Penney-jev model
nam daje DETALJNA rješenja
za zone. Koje su skoro
kosinusionalne po prirodi.
   
4 3 2 
d d d d
   
2 3 4
d d d d
E-k dijagram :
E
Energ. gap
Dozvoljene
zone
Energ. gap
3

a
2

a



a
a
Prva
Brillouin-ova zone
2
a
3
a
k
• Kad se parabola koja predstavlja energiju
slobodnog elektrona uporedi sa energijom
elektrona u periodičnom polju kristala, vidi se da
ova druga parabola ima diskontinuitete za
vrijednosti od k koje su date sa
•
k=nπ/a
Pošto je k talasni vektor
k=2π/λ
nπ/a =2π/λ
2a=nλ
I
A ovo je oblik Bragg’ovog zakona.
• Rješenje talasne jednačine pod ovim uslovima daje dva stojeća talasa
koji pokazuju da su moguća dva položaja elektrona sa različitim
potencijalnim energijama a istom vrijednošću od k . To dovodi do prekida
na E-K krivulji.
• Sa grafikona vidimo da elektron ima dozvoljene energije u regionu od
k=-π/a do +π/a. Ova zona se zove prva Brillouin-ova zona
Porijeklo energetskih zona u č.t.
•
Kada posmatramo izoliran atom, njegovi elektroni su čvrsto vezani i
imaju diskretne, oštre energetske nivoe.
•
Kada se dva identična atoma primaknu bliže, onda se vanjske orbite tih
elektrona preklope i intereaguju.
•
Ako se više atoma približe, stvara se više energetskih nivoa pa za č.t.
Sa N atoma , svaki se energetski nivo raspada na N energetskih nivoa.
•
Ti nivoi su tako blizu jedan drugom da oni formiraju skoro kontinuiranu
traku.
•
Širina ove trake zavisi od stepena preklapanja elektrona susjednih
atoma i veća je za najvanjskije elektrone.
E1
E1
E2
E1
E2
E3
N atoma
ΔE
N energ.nivoa
• Energetske zone u č.t. su važne za određivanje mnogih
fizikalnih svojstava č.t. Dozvoljene energ. zone:
(1) Valentna zona
(2) Provodna zona
• Traka/zona koja odgovara vanjskim elektronima zove se
vodljiva/provodna zona, a slijedeća unutrašnja zona se
zove valentna zona. Gap između ove dvije dozvoljene
zone zove se zabranjena energetska zona ili energetski
gap.
Klasifikacija čvrstih tijela na provodnike, poluprovodnike i izolatore
• Na osnovu zabranjene zone ili energetskog gapa čvrsta tijela se
dijele na izolatore, poluprovodnike i provodnike.
Izolatori:
• U slučaju izolatora, zabranjena zona je vrlo široka.
• Zbog ovoga elektroni ne mogu preskočiti iz valentne zone u
provodnu.
Provodna zona
Zabranjena zona
IZOLATORI
Valentna zona
Provodna zona
POLUPROVODNICI
Zabranjena zona
Provodna zona
Valentna zona
Valentna zona
PROVODNICI
Poluprovodnici
• U poluprovodnicima zabranjena zona je veoma mala .
• Ge i Si su najbolji primjeri poluprovodnika.
• Zabranjena zona je reda 0.7ev i 1.1ev.
Provodnici
• Kod provodnika nema zabranjene zone. Valentna i provodna zona se
preklapaju.
• Elektroni iz valentne zone slobodno prelaze u provodnu zonu.
Efektivna masa elektrona
•
Efektivna masa elektrona nastaje zbog periodičnog potencijala koji
stvara rešetka.
•
Kada se elektron u periodičnom potencijalu rešetke ubrza električnim
poljem , onda se masa elektrona mijenja i nju zovemo efektivna masa
elektrona m*.
•
Posmatrajmo elektron naboja e i mase m pod uticajem električnog polja .
f  eE
m a  eE
eE
a 
m
Ubrzanje nije konstanta u periodičnoj rešeci kristala tako da masa
elektrona biva zamijenjena njegovom efektivnom masom m* kada se
elektron kreće u periodičnom polju kristala
eE
a *
m
Posmatrajmo slobodni elektron
kao talasni paket koji se kreće
brzinom Vg
d
vg 
dk
where
  2  angular. frequency
k  wave.vector
d
vg 
dk
v g  2
d
dk
E  h , 
2 dE
vg 
h dk
1 dE
vg 
 dk
E
dE
., d 
h
h
a 
d vg
dt
1 d 2E 1
a 
 dk
dt
1 d 2E dk
a 
 dk2 dt
sin ce., k  p
a n d..
dp
 F
dt
p
d(
)
1 d 2E
 )
a 
(
 dk2
dt
1 d 2E dp
a 
(
)
2
2

dk
dt
1 d 2E
a 
F
2
2

dk
Efektivna masa elektrona
1 d 2E
a 2
F
2
 dk
F
2
 2
a d E 2
dk
2


m  2
d E 2
dk
E
a. Promjena E sa K
(a )
0
b. Promjena v sa K
V
(b )
c. Promjena m* sa K
0
m
d. Promjena fk sa K
(c )
fk
Stepen slobode elektrona se općenito
definira faktorom
2
m
m d E
fk    2 { 2 }
m
 dk
(d )


a
0
k
k0

a
• Promjena v sa k:
Promjena brzine sa k sl. (b) kada k=0,
brzina je nula nakon čega vrijednost k
raste.
Za k=k0 (k0 odgovara prevojnoj tački na
E-k krivulji) .Iza ove tačke prevoja brzina
počinje da opada i konačno uzima
vrijednost nula za k=π/a
E
(a )
0
V
(b )
0
m
(c )
fk
(d )


a
0
k
k0

a
E
• Promjena m* sa k
(a )
0
V
Promjena m* sa k.
Za k=0 efektivna masa se primiče m. Kako
vrijednost k raste raste i m* dostižući svoj
maksimum u prevojnoj tački E-k krivulje.
Nakon prevojne tačke m* postaje negativno
dostižući malu negativnu vrijednost za
k = π/a.
(b )
0
m
(c )
fk
(d )


a
0
k
k0

a
• Promjena fksa k:
Stepen slobode elektrona: fk=m/m*
m
fk  2

d 2E 
 2
 dk 
E
(a )
0
V
(b )
0
m
Fk je mjera slobode elektrona koji se nalazi
u stanju k. Ako je m* velika ,fk je malo,
tj. čestica se ponaša kao “teška” čestica.
Kada je fk=1 elektron se ponaša kao slobodni
elektron .
Treba primijetiti da je fk pozitivno u donjoj
polovini trake, a negativno u gornjoj polovini.
(c )
fk
(d )


a
0
k
k0

a