Transcript prezentacije sa predavanja o radu tranzistora

Ponašanje elektrona u kristalu
-Elektron može imati samo diskretna stanja
-Koncept energiskih traka.
-Elektron se različito ponaša u vakuumu, u atomu ili kristalu.
-Najpre klasičan slučaj elektrona u vakuumu, a zatim u potencijalnoj jami.
-Model slobodnog elektrona može da se primeni kod elektrona koji ne
interaguje sa svojom sredinom.
-Elektron nije podvrgnut privlačenju od strane atoma u kristalu. Putuje u
potencijalu koji je konstantan.
Ovakav elektron nazivamo slobodnim elektronom
-Za jednodimenzioni kristal koji je najjednostavnija struktura , može se napisati
vremenski nezavisna Schrödinger-ova jednačina za konstantni potencijal V.
-Pošto je referenca za potencijal proizvoljna možemo staviti V=0.
Gde je E energija elektrona a m je njegova masa.
Rešenje jednačine se dobija u obliku:
Gde je
Rešenje predstavlja dva talasa koja se kreću u suprotnim smerovima.
Značenje k
-K ima jedinicu m-1 ; prema tome pripada recipročnom prostoru.
-U jednodimenzionom prostoru k je skalar.
-Operator momenta px je dat izrazom:
Smatrajući da se elektron kreće u x+ smeru i primenjujući operator
impulsa na funkciju
Dobijamo:
Svojstvene vrednosti operatora px date su sa:
Možemo zaključiti da je k impuls do na konstantu ℏ.
U klasičnoj mehanici brzina elektrona je v=p/m što daje v=ℏk/m.
Tako povezujemo izraz za energiju sa klasičnim izrazom
Dakle kao i u klasičnoj mehanici elektron može da
uzme bilo koju energiju iz kontinuuma.
-Možemo interpretirati k na još jedan način .
-Ako posmatramo 3D kristal k je vektor recipročnog prostora.
-Izraz exp(ikr) gde je r=r(x,y,z) položaj elektrona predstavlja ravan prostorni talas koji
se kreće u pravcu k .
-Prostorna frekvenca talasa je jednaka k njegova prostorna talasna dužina je jednaka:
-Čestica u potencijalnoj jami
-Slučaj kada je elektron vezan za mali deo prostora.
-Ovo ćemo ostvariti postavljanjem elektrona u duboku potencijalnu
jamu, recimo u jamu sa beskonačno visokim zidovima.
-Uz ograničenja ovaj problem liči na elektron u atomu gde
privlačenje pozitivnog jezgra formira potencijalnu jamu u kojoj je
elektron zarobljen.
-Po definiciji je elektron ograničen na unutrašnjost potencijalne jame i prema tome
talasna funkcija iščezava na ivicama.
- Prema tome granični uslovi za funkciju su:
Unutar potencijalne jame
gde je V=0, Schrödingerova (vremenski
nezavisna) jednačina se može napisati kao:
Rešenje ove homogene jednačine je:
B=0
-Rezultat je sličan kao za slobodan
elektron. Energija je funkcija kvadrata
momenta impulsa.
I prema tome
-Razlika je u tome što u slučaju slobodnog
elektrona impuls i energija mogu uzeti
bilo koju kontinualnu vrednost dok u
slučaju beskonačne potencijalne jame
uzimaju samo diskretne vrednosti.
n=1, 2, 3,...
Talasna funkcija je onda data sa:
-U slučaju kada širina a teži beskonačnosti
vrednosti k postaju vrlo bliske i prelaze u
kontinuum kao u slučaju slobodnog
elektrona.
Ako razmotrimo jednodimenzioni kristal dužine L i kao u prethodnom slučaju stavimo:
Gornji izrazi za energiju i momenta sugerišu da će dozvoljene vrednosti zavisiti od
dužine kristala što je pogrešno zato što iz iskustva znamo da elektronske osobine ne
zavise od makroskopskih dimenzija.
Bolje rezultate daju Born-von Karmanovi granični uslovi poznati kao ciklični granični
uslovi.
Da bismo ih dobili savijamo kristal tako da se početak x=0 i x=L poklapaju. Tada za
svako x imamo cikličan uslov :
Koristeći talasnu funkciju slobodnog elektrona i uzimajući u obzir periodičnu prirodu
problema možemo da napišemo:
što nameće
gde je n ceo broj.
u 3D slučaju imamo:
Energijske trake (zone) u kristalu (intuitivan pristup)
U jednom atomu elektroni zauzimaju diskretne energijske nivoe. Šta se dešava kada
imamo uređen sistem atoma –kristal?
Uzmimo Litijum Z=3.
Kod njega dva elektrona sa suprotnim spinovima zauzimaju 1s nivo, a treći zauzima
2s nivo.
Elektronska kofiguracija je 1s22s1 .
Svi atomi litijuma imaju istu elektronsku kofiguraciju i iste energijske nivoe.
Zamislimo sada hipotetički molekul od dvaatoma litijuma.
Imamo četiri elektrona koji žele da zauzmu 1s nivo.
Prema Paulijevom principu isključivosti samo dva elektrona sa suprotnim spinovima
mogu da zauzmu jedan energijski nivo, dakle samo dva od četiri 1s elektrona mogu
da zauzmu 1s nivo.
Ovo je problem za molekul i zato se 1s nivo razdvaja na dva koja imaju blisku ali u
svakom slučaju različitu energiju.
Ako kristal litijuma ima N atoma sistem će sadržati N 1s nivoa i isto razmatranje
se može primeniti na 2s nivoe.
Broj atoma u kubnom centimetru je oko 5x1022 , i kao rezultat imamo da se svaki
energijski nivo cepa na 5x1022 različitih nivoa.
Kako je razlika izmedju najnižeg i najvišeg nivoa (rezultat cepanja) svega nekoliko
eV, energijska ralzlika izmedju dva susedna razdvojena nivoa je oko 10-22eV.
Ovo je praktično kontinuum dozvoljenih energijskih vrednosti za elektron.
Ovo je koncept energijskih zona u kristalu. Između dozvoljenih energijskih zona se nalaze
zabranjene.
Energijski nivoi i energijske zome se prostiju čitavim kristalom.
Zbog potencijalnih jama generisanih atomskim jezgrima neki elektroni (1s) su ograničeni
na okolinu jezgra .
2s elektroni sa druge strane mogu da prevaziđu privlačenje jezgra i kreću se kroz kristal.
Model Krönig-Penney-a
poluprovodnici su kao i metali i neki izolatori uglavnom kristali.
To znači da su atomi na uređen i periodičan način postavljeni u kristalu.
U kristalu svaki atom formira lokalnu potencijalnu jamu koja privlači elektrone.
Iz elektrostatike znamo potencijalnu energiju koja je rezultat privlačenja elektrona –q i
+qZ gde je Z atomski broj:
Ovaj izraz zanemaruje uticaj ostalih elektrona koji ekraniraju elektrone sa viših nivoa.
Kako će se elektron ponašati u kristalu?
Radi jednostavnosti pretpostavićemo da je kristal skoro bezkonačan,
jednodimenzioni lanac atoma.
Ovo deluje dosta grubo ali očuvava ključnu osobinu kristala: periodičnu prirodu
položaja atoma u kristalu.
Matematički, periodična priroda potencijalnih jama generisanih atomima se
može prikazati:
gde je a+b rastojanje izmedju dva atoma u x-pravcu.
Periodična priroda potencijala ima dubok uticaj na talasnu funkciju elektrona.
Ona mora da zadovolji vremenski nezavisnu Schrödingerovu jednačinu kad god x
zamenimo sa x+a+b u operatorima koji deluju na Ψ(x).
Ovaj uslov se dobija ako talasna funkcija zadovoljava Blochovu teoremu koja se
može formulisati:
Ako je V(x) periodično tako da je V(x+a+b)=V(x),
onda je
Druga formulacija je:
Ako je V(x) periodično tako da je V(x+a+b)=V(x),
onda
dve formulacije su ekvivalentne pošto:
Pošto je potencijal u kristalu veoma složena funkcija koristićemo aproksimaciju
Krönig i Penney-a gde se V(x) zamenjuje periodičnom sekvencom četvrtastih
potencijalnih jama.
Ova aproksimacija je prilično gruba ali očuvava periodičnu prirodu promene
potencijala omogućavajući zatvorenu formu rešenja Ψ(x).
Medjuatomsko rastojanje je a+b, potencijal u blizini atoma V1 , potencijal izmedju
atoma je V0 . Oba potencijala su negativna u odnosu na neki referentni V=0 izvan
kristala. Analiziraćemo energiju elektrona E koja se nalazi izmedju V1 i V0 . U oblasti I
V(x)=V1 , SJ glasi:
U oblasti II :
rešenja su
u oblasti I
u oblasti II
α i β su realni brojevi. Periodična struktura kristala ukazuje na to da talasna
funkcija zadovoljava Blochovu teoremu i može biti zapisana u sledećoj formi
gde je uk(x) periodična funkcija sa periodom a+b što nameće:
Tada možemo da napišemo:
Da bi izračunali integracione konstante koristimo granične uslove i to da su
talasna funkcija i njen prvi izvod neprekidni u tačkama x=0 i x=a.
U x=0 imamo A+B=C+D
za izvod dobijamo
U x=a
Korišćenjem Blochove teoreme:
za izvod dobijamo uz korišćenje Blochove teoreme:
P(E)=cos(k(a+b))
Simultano rešenje leve i desne strane jednačine nalaže da je -1<=P(E)<=1.
Ovo definiše dozvoljene energije zabranjene energije.
Koristeći ovaj izraz može se nacrtati E(k) grafik.
Krive E(k) na slici pokazuju sa se mogu ograničiti
na period od –π/(a+b) do π/(a+b) bez gubitka
informacija.
Ova posebna oblast se naziva prva Brillouenova
zona.
Druga Brillouenova zona se prostire od –2π/(a+b)
do -π/(a+b) i od π/(a+b) do 2π/(a+b) , itd.
-Korišćenje Born-von Karmanovih graničnih uslova u jednodimenzionom kristalu daje
vrednosti za k:
-Koristeći izraz (sa P(E)) može se nacrtati i E(k) dijagram.
-Energija elektrona u kristalu grubo ima istu zavisnost kao i slobodni elektron. ---Glavna razlika je postojanje zabranjenih zona, i zakrivljenost svakog od
segmenata E(k) krivih.
Zbog periodičnosti kristalne rešetke (period je a+b), periodičnost recipročne
rešetke je 2π/(a+b).
-Kriva E(k) se se može proširiti od k=- do k= sa periodom 2π/(a+b), što daje
vrednosti dozvoljenih energija za ceo jednodimenzioni kristal.
gde je N broj ćelija kristalne rešetke. Dužina kristala je N(a+b). Pošto smo se
ograničili na prvu B. zonu vrednosti k koje treba razmotriti su date sledećim
izrazom:
-vrednost π/(a+b) je isključena jer je duplikat k=-π/(a+b) talasnog broja.
- Ogovarajuće vrednosti za n idu od –N/2 do (N/2-1).
- Prema tome vrednosti k koje treba razmatrati su
n=0, ±1, ±2, ±3, ..., ±(N/2-1), -N/2.
-Ima N talasnih brojeva u prvoj Brillouinovoj zoni, što odgovara broju
elementarnih ćelija u kristalu.
-Za svaki talasni broj postoji dozvoljena energija u svakoj energijskoj zoni.
-Prema Paulijevom principu isključivosti svaka zona može da sadrži
maksimum 2N elektrona.
Jednodimenziona zapremina prve Brillouinove zone je 2π/(a+b) .
Pošto sadrži N k vrednosti gustina k vrednosti u prvoj B zoni je:
n(k)=N(a+b)/2π=L/2π.
-U slučaju 3D kristala izračunavanje energijskih zona je daleko komplikovanije, ali
bitni rezultati jednodimenzionog modela i dalje stoje.
-Pre svega postoje postoje dozvoljene energijske zone razdvojene zabranjenim
energijskim procepima.
-3D zapremina PBZ je 8π3N/V, gde je V zapremina kristala, broj talasnih vektora
jednak je broju elementarnih ćelija, N.
Gustina talasnih vektora je data sa:
n(k)=gustina k=(broj k-vektora ) / (zapremina zone)= NV/(8π3N/V)=V/(8π3)
Valentna zona i provodna zona
-Hemijske reakcije potiče od razmene elektrona koji potiču od spoljašnjih
elektronskih ljuski atoma.
-Elektroni unutrašnjih ljuski ne učestvuju u hemijskim reakcijama zbog jakog
elektrostatičkog privlačenja jezgra.
-Isto tako veze između atoma u u kristalu kao i elektronski transportni fenomeni
potiču od elektrona iz spoljašnjih ljuski.
-Jezikom energijskih zona , elektroni odgovorni za formiranje veza između atoma se
nalaze u poslednjoj populisanoj zoni gde elektroni imaju najviše energijske nivoe za
osnovno stanje atoma.
-U svakom slučaju postoji beskonačan broj energijskuh elektrona.
- Prve najniže zone sadrže jezgarne elektone kao što su 1s elektroni koji su čvrsto
vezani za jezgro.
-Najviše zone ne sadrže elektrone.
-Poslednja zona u osnovnom stanju koja sadrži elektrone naziva se valentna zona,
zato što sadrži elektrone, zato što sadrži elektrone koji formiraju –načešće
kovalentnu- vezu između atoma.
-Dozvoljena energijska zona odmah iznad valentne naziva se provodna zona.
-U poluprovodniku je ova zona potpuno prazna na niskim temperaturama (T=0).
-Na višim temperaturama neki elektroni imaju dovoljno termalne energije na
napuste funkciju formiranja veze između atoma i cirkulišu u kristalu.
-Ovi elektroni Ovi elektroni „preskaču“ iz valentne zone u provodnu gde mogu
slobodnu da se kreću.
-Energijska razlika izmedju vrha valentne zone i dna provodne zone se naziva
zabranjeni procep i označava se Eg.
U opštijem smislu mogu se javiti sledeće situacije u zavisnosti od položaja atomaelementa u periodnom sistemu:
A. Poslednja (valentna zona ) je samo delimično
popunjena elektronima čak i na T=0.
B. Poslednja (valentna zona ) je potpuno
popunjena elektronima na T=0, ali se sledeća
(prazna) energijska zona preklapa sa njom (tj.
prazna zona deli neki zajednički opseg energija,
Eg<0).
C. Poslednja (valentna zona ) je samo kompletno
popunjena elektronima i prazne zone se ne
preklapaju sa njom Eg<0.
U slučajevima A i B elektroni sa najvišim energijama mogu lako dobiti
infinetezimalnu količinu energije i preskočiti u nešto energijski višu dozvoljenu zonu
i kretati se kroz Kristal. Drugim rečima elektroni mogu napustiti atome i kretati se
kroz kristal bez dodatnog priliva energije. Materijali sa ovakvim osobinama su
metali. U slučaju C potrebno je uložiti značajnu količinu energije Eg ili više u
electron da bi on “preskočio” u dozvoljeni energijski nivo provodne zone. To znači
da electron mora da primi značajnu količinu energije da bi napustio atom i kretao
se “slobodno” kroz atom. Materijali sa ovakvim osobinama su ili izolatori ili
poluprovodnici.
Razlika između izolatora i poluprovodnika je čisto qvantitativna i zasnovana je na
veličini energijskog procepa. U poluprovodnicima je Eg msnje od 2eV i termalna
energija na sobnoj temperature ili eksitacija vidljivim fotonima je dovoljna za prelaz
iz valentine u provodnu zonu. Energijski procep za najčešće korišćene
poluprovodnike su: 1.12eV (Si), 0.67eV (Ge) i 1.42 (galijumarsenide). Izolatori
imaju značajno šire energijske procepe : 9.0eV (SiO2), 5.47 (dijamant) i 5eV (Si3N4).
U ovim materijalima na sobnoj temperature termalna energija nije dovoljna da
elektroni pređu u provodnu zonu.
Pored elementalnih poluprovodnika kao što su silicijum i germanijum , mogu se
sintetisati složeni poluprovodnici kombinovanjem elemenata IV grupe periodnog
sistema (SiC i SiGe) ili kombinovanjem elemenata III i V grupe periodnog sistema
(GaAs, GaN, InP, AlGaAs, AlSb, GaP,AlP i AlAs). Mogu se koristiti i elementi iz drugih
kolona (HgCdTe, CdS,...). Dijamant ispoljava poluprovodničke osobine na visokim
temperaturama, a kalaj postaje poluprovodnik na niskim temperaturama. Oko 98%
svih poluprovodničkih komponenata proizvedeni su od monokristalnog silicijuma,
integralna kola, mikroprocesori, memorije itd. Ostalih 2% koriste III-V jedinjenja, kao
što su svetleće diode, laserske diode i neke komponente u mikrotalasnom
frekventnom domenu.
Moguće je da i nekristalne substancije ispoljavaju
poluprovodničke osobine. neki materijali kao što je
amorfni silicijum, kod koga rastojanje među atomima
varira na slučajan način, može da se ponaša kao
poluprovodnik. Ipak mehanizni transporta
naelektrisanja u ovim materijalima su potpuno
drugačiji nego u kristalnim poluprovodnicima.
Prigodno je predstaviti energijske zone u realnom
prostoru umesto u k-prostoru. U tom slučaju se
dobija sledeći dijagram gde x-oda definiše fizičko
rastojanje u kristalu.
Maksimalna energija u valentnoj zoni je označena sa EV, minimalna energija u provodnoj
zoni je označena sa EC i širina energiskog procepa sa Eg.
Takođe je zgodno uvesti i pojam Fermijevog nivoa. Fermijev nivo, EF, predsavlja
maksimalnu energiju elektrona u materijalu na temperaturi 0 K. Na toj temperaturi, svi
dozvoljeni energijski nivoi ispod Fermijevog su zauzeti i svi nivoi iznad Fermijevog su
prazni. Alternativno, Fermijev nivo se definiše kao energijski nivo koji ima 50%
verovatnoće da bude popunjen elektronima čak iako može biti unutar procepa. U
izolatorima i poluprovodnicima znamo da je valentna zona popunjena i da je provodna
zona prazna na 0K. Prema tome Fermijev nivo leži negde u procepu između Ev i Ec. U
metalu Fermijev nivo se nalazi unutar zone.
Nemoguće je predstaviti enegijske zone kao funkciju od k=k(kx,ky,kz) za trodimenzioni
kristal u dve dimenzije na papiru. Možemo ipak predstaviti E(k) duž glavnih kristalnih
pravaca u k-prostoru i staviti ih na jedan grafik. Na primer na gornjoj slici vidimo
maximum valentne i minimum provodne zone u pravcima[100] [111] za dva kristala.
Kristal A je izolator ili poluprovodnik Eg>0 dok je B metal Eg<0.
Dijagrami energijskih zona duž glavnih kristalnih pravaca dozvoljavaju analizu
nekih osobina. Naprimer:
na B se minimum energije u provodnoj i maksimum energije u valentnoj zoni javljaju
za isto k=0. Poluprovodnik koji ispoljava ovu osobinu naziva se direktno bandgap
poluprovodnik. Primeri ovakvih poluprovodnika su složeni poluprovodnici bazirani na
GaAs. U ovakvim poluprovodnicima elektroni mogu „pasti“ iz provodne zone u
valentnu bez narušavanja zakona očuvanja momenta tj. bez promene momenta. Ovaj
proces ima veliku verovatnoću i gubitak energije u tom „skoku“ se može emitovati u
obliku fotona hν=Eg. Na slici A minimum energije u provodnoj i maksimum u
valentnoj se javljaju na različitim k-vrednostima. Ovakvi poluprovodnici su indirektni
bandgap poluprovodnici. Ovakvi su Si i Ge. U ovakvom poluprovodniku elektron ne
može pasti iz provodne u valentnu bez promene momenta. Ovo neverovatno
smanjuje verovatnoću da elektron direktno „padne“ izprovodne zone u valentnu.
Aproksimacija parabolične zone
Za električne fenomene samo elektroni locirani blizu maksimuma valentne zone i
minimuma provodne zone su od interesa. Ovo su energijski nivoi na kojima se mogu
naći slobodni pokretni lektroni nedostajući valentni elektroni. U tom slučaju kao što se
vidi sa gornje slike zavisnost energije od momenta se može aproksimirati kvadratnom
paraboličnom funkcijom. Blizu minimuma provodne zone možemo napisati:
U blizini maksimuma valentne zone možemo napisati:
Gde su A i B konstante. Aproksimacija se zove „parabolična aproksimacija zone“ i
liči na relaciju E(k) za model slobodnog elektrona.
Pojam šupljine
Da bi pojednostavili razumevanje električnog provođenja u kristalu možemo
napraviti poređenje između toka naelektrisanih čestica u energijskim zonama i
kretanja vodenih kapi u cevi.
Na slici vidimo cevi zatvorene na oba kraja. Donja cev je potpuno napunjena vodom,
dok je gornja potpuno prazna (napunjena vazduhom). U analogiji između
naelektrisanja i vode, svaka kap odgovara jednom elektronu, a gornja i donja cev
odgovaraju provodnoj i valentnoj zoni respektivno. Naginjanje cevi odgovara primeni
električnog polja na poluprovodnik. Kad se puna i prazna cev nagnu ne može se uočiti
nikakvo kretanje tj. nema električne struje u poluprovodniku. Znači, poluprovodnik se
ponaša kao izolator.
Uzmimo jednu kap iz pune cevi i premestimo je u praznu što predstavlja pomeranje
elektrona iz valentne u provodnu zonu. Ako su cevi nagnute, videće se kretanje
tečnosti što odgovara protoku električne struje u poluprovodniku.
Protok vode u gornjoj cevi (provodna zona) je zbog pokretanja kapi vode
(elektrona). Štaviše, postoji i protok vode u donjoj cevi (valentna zona) pošto voda
može zauzeti mesto koje ostaje iza mehurića koji se kreće. Lakše je naravno
vizuelizovati sam mehurić umesto kretanja „valentne„ vode iza njega.
Ako je u ovoj vodenoj analogiji elektron predstavljen kapljicom vode, mehurić ili
nedostatak vode u „valentnoj „ cevi predstavlja nešto što se zove šupljina. Šupljina
je ekvivalentna nedostajućem elektronu u kristalnoj valentnoj zoni. Šupljina nije
čestica i ne postoji samostalno. Ona vuče svoje postojanje iz odsustva elektrona u
kristalu, kao što mehurić postoji samo zbog nedostatka vode. Šupljine mogu da se
kreću kroz kristal preko sukcesivnog popunjavanja praznog prostora koji ostavlja
nedostajući elektron. Šupljina nosi pozitivno naelektrisanje +q, kao što elektron
nosi negativno –q (q= 1.6x 10-19C).
Efektivna masa elektrona u kristalu
Masa elektrona m može se definisati preko relacije F=ma, gde je a ubrzanje
elektrona pod uticajem sile F. Činjenica da je elektron u kristalu uticaće na njegov
odgovor na primenjenu silu. Prema tome, očigledno, „efektivna“ masa elektrona u
kristalu će se razlikovati od one u vakuumu.
U slučaju slobodnog elektrona masu ćemo dobiti iz izraza za energiju:
gde je m=mo=9.11x10-28 g masa elektrona u vakuumu. Masa je konstantna jer je
E kvadratna funkcija k.
Koristeći gornji izraz kao definiciju mase elektrona izraze za P(E) u slučaju
jednodimenzionog kristala možemo izračunati efektivnu masu elektrona unutar
zona.
gde je m* efektivna masa elektrona u
kristalu. Za razliku od slučaja
slobodnog elektrona efektivna masa
elektrona u kristalu nije konstantna,
već se menja kao funkcija k:
Štaviše masa u kristalu će se razlikovati od
zone do zone. Mogu se napraviti sledeća
opšta zapažanja:
-ako se elektron nalazi u gornjoj polovini
energijske zone njegova efektivna masa je
negativna.
-ako se elektron nalazi u donjoj polovini
energijske zone njegova efektivna masa je
pozitivna.
-ukoliko je elektron blizu sredine energijske
zone, efektivna masa teži beskonačnosti.
Negativna masa elektrona locirana u
gornjem delu energiske zone deluje kao
iznenađenje, ali se lako može opjasniti
pojmom šupljine. Razmotrimo ubrzanje, a,
dato elektronu naelektrisanja –q i
negativne mase –m* u električnom polju E.
Lako je shvatiti da ovo ubrzanje odgovara
šupljini sa pozitivnom masom +m* i
pozitivnim naelektrisanjem +q :
U slučaju trodimenzionalnog kristala izraz za efektivnu masu je komplikovaniji
zato što ubrzanje elektrona može imati različit pravac od delovanja sile. U tom
slučaju se efiktivna masa može prikazati 3x3 tenzorom:
Obično se u fizici poluprovodničkih komponenti operiše samo elektronima koji se
nalaze blizu minimuma provodne zone i šupljinama smeštenim blizu maksimuma
valentne zone. U slučaju silicijuma masa elektrona blizu minimuma provodne zone
duž [100] kx pravca jednaka je ml*=0.97 m0, au ortogonalnom pravcu mt*=0.19 m0.
ml* se naziva longitudinalna masa a mt* transferzalna masa dok je m0 masa
slobodnog elektrona u vakuumu. Ove mase su povwzane sa energijom kroz
„aproksimaciju parabolične energijske zone“:
gde je Ec(km) najniže energijsko stanje u provodnoj zoni duž [100] ili [-100] kx pravaca.
U najpraktičnijim slučajevima, radi
jednostavnosti, smatra se da je efektivna
masa konstantna. U tom slučaju m* se
aproksimira skalarnom vrednošću.
U jednodimenzionom kristalu vidi
se kvadratna zavisnost energije
od k na A.
Postoje dva vektora km+dk i km-dk koji odgovaraju istoj vrednosti energije Ec(km+dk).
U dvodimenzionom kristalu mesto (kx,ky) vrednosti koje odgovaraju energiji Ec(km+dk)
je elipsa u (kx,ky) ravni B.
Trodimenzionalni slučaj ne možemo nacrtati ali se iz 1D i 2D slučajeva može
zaključiti da k vrednosti koje odgovaraju Ec(km+dk) formiraju elipsoide u (kx,ky,kz)
prostoru C. U 3D kristalima kao što je Si postoji 6 ekvivalentnih kristalnih pravaca
[100], [-100], [010], [0-10], [001] i [00-1], koji predstavljaju energijski minimum
(minimum provodne zone). Mesto k-vrednosti koji odgovaraju posebnoj energiji su
6 elipsoida C. Centri ovih elipsoida su 6 k vrednosti koje odgovaraju energijskom
ninimumu provodne zone. Radi pojednostavljenja elipsoidi se mogu aproksimirati
sferama (D) što je ekvivalentno izjednačavanju transferzalne i longitudinalne mase.(
mt*=ml* ) Energija u blizini maksimuma valentne zone je data sa:
Gustina stanja u energijskim zonama
Gustina dozvoljenih stanja u 3d kristalu data je sa
po jedinici zapremine kristala
. Ako definišemo f(k) kao verovatnoću da ova stanja budu zauzeta, onda se
elektronska gustina, n, u energijskoj zoni En(k) može izračunati integracijom
proizvoda gustine stanja sa verovatnoćom zauzeća po PB zoni:
Na sličan način gustina šupljina unutar energijske zone se može izračunati kao:
Funkcija n(k) predstavlja gustinu dozvoljenih stanja u energijskoj zoni. f(k) je
statistička funkcija raspodele koja je funkcija energije, En(k). U uslovima
termodinamičke ravnoteže (k) je Fermi-Dirakova funkcija raspodele data sa:
gde je EF energija nazvana „Fermijev nivo“, k je Bolcmanova konstanta, a T je
absolutna temperatura. Fermi-Diracova raspodela za T>0:
f(E)=0.5 ako je E=EF , bez obzira na
temperaturu. Dakle druga definicija
Fermijevog nivoa je da je to energijski nivo
sa 50% verovatnoće da bude zauzet.
Da bi dobili integrale za n i p zavisnosti n i f treba transformisati u zavisnost od energije E.
Da bi ovo uradili razmotrimo jediničnu ćeliju recipročne rešetke gde su kx, ky i kz dati sa:
i nx=ny=nz
zapremina ove ćelije je kxkyky=8π3/L3 . Ako kristal ima jediničnu zapreminu onda L3
=1 i zapremina jedinične ćelije kristala jedinične zapremine i k-prostoru jednaka je
8π3 . U ovom kristalu zapremina sferične ljuske debljine dk u k-prostoru je data sa:
broj jediničnih ćelija je dato kao odnos zapremine ljuske i jedinične zapremine ćelije:
Broj k vektora (pa prema tome i broj energijskih nivoa, pošto postoji jedan
energijski nivo za svaki vektor k) jednak je broju jediničnih ćelija. Koristeći Paulijev
princip isključivosti ( samo dva elektrona po jednom k-vektoru), broj elektrona je
dat sa:
Koristeći paraboličnu aproksimaciju zone
i konstantnu efektivnu masu dobija se:
Ova jednačina daje gustinu stanja za česticu mase m* koja ima energiju između E i
E+dE. U slučaju elektrona sa masom me* smeštenim blizu dna provodne zone
energija se meri u odnosu na minimum provodne zone Ec što daje:
U slučaju šupljina sa masom mh* u blizini vrha valentne zone je referencirana u
odnosu na maksimum valentne zone Ev i dobijamo:
Sada integralimo jednačine za n i p. Dalje uprošćavanje je zamena FD funkcije
Maxwell- Bolltzmann ovom raspodelom. Raspodele su skoro identične za E-Ef
dovoljno veliko.
kada je u>>1.
zamenom k u E dobijamo.
U tipičnom poluprovodniku ogromna većina elektrona u provodnoj zoni ima
energiju blisku Ec. Tako za donju i gornju granicu možemo da stavimo Ec i
beskonačno respektivno. Kod integracije menjamo promenjive y=(Ec-E)/kT:
ili
Nc se zove „efektivna gustina stanja u provodnoj zoni“. Predstavlja broj stanja koja
imaju energiju jednaku Ec, koja kad se pomnoži sa verovatnoćom zauzeća na Ec daje
broj elektrona u provodnoj zoni.
Na isti način se može proračunati totalni broj šupljina u valentnoj zoni. Efektivna
gustina stanja za šupljine u valentnoj zoni je:
Unutrašnji poluprovodnik
Koristeči dobijene izraze za proizvod koncentracije elektrona i šupljina u poluprovodniku
u stanju termodinamičke ravnoteže dobijamo:
gde je ni unutrašnja koncentracija nosilaca.
Poluprovodnik se naziva „unutrašnjim“ ako velika većina njegovih slobodnih nosilaca
(elektrona i šupljina) potiče od njegovih sopstvenih atoma. U tom slučaju ako elektron
primi dovoljno energije da „skoči“ iz valentne zone u provodnu zonu on ostavlja
šupljinu za sobom u valentnoj zoni. Prema tome svaka šupljina u valentnoj zoni
odgovara elektronu u provodnoj i broj provodnih elektrona je jednak broju valentnih
šupljina.
ili ako je
Ei je unutrašnji energetski nivo. To je energija FN u unutrašnjem
poluprovodniku. Uopšteno možemo da smatrano da se nalazi na sredini
energijskog procepa. ni je koncentracija unutrašnjih npsilaca i funkcija je
temperature i materijala preko Eg.
U Si na 300 K to je oko 1.45x1010 cm-1 .
Koncentracija nosilaca na 0 K je nula.Ka da se temperatura povisi rastući broj
elektrona dobije dovoljno termalne energije da predje u provodnu zonu. Ovi
elektroni se nazivaju „slobodni“. pošto mogu da se kreću kroz kristal doprinose
električnoj struji. Isti doprinos daju i „slobodne“ šupljine.
Provodnost materija direktno zavisi od broja slobodnih nosilaca: što je veći broj
nosilaca veća je provodnost. Provodnost unutrašnjih poluprovodnika raste sa
temperaturom.
Koncentracija slobodnih nosilaca je data sa:
-Kada elektroni difunduju iz N oblasti u P oblast, oni za sobom ostavljaju
jonizovane atome donora od kojih potiču.
-Ovi atomi zauzimaju fiksna mesta-ne mogu da se pomeraju.
- Ovde se sada formira prostorno naelektrisanje i oblast se naziva oblast
trošenja-elektroni su potrošeni.
-Pozitivno naelektrisanje u oblasti osiromašenja privlači elektrone tako da je u
ravnoteži, sila difuzije koja tera elektrone u P oblast izjednačena sa silom
električnog polja formiranog pozitivnim prostornim naelektrisanjem.
-Slično važi i za akceptorske atome u P oblasti i šupljine.
-Oblast osiromašenja se još zove prelazna oblast ili oblast prostornog
naelektrisanja.
-Električno polje i promena potencijala u
ovoj prelaznoj oblasti se može izračunati
korišćenjem Poissonove jednačine.
- Radi pojednostavljenja razmotrićemo
jednodimenzioni problem.
Ako koristimo Bolcmanovu jednačinu za koncentracije elektrona i
šupljina dobijamo:
-Ova jednačina ne može da se reši analitički, pa se mora uprostiti
aproksimacijom prostornog naelektrisanja.
-Ovo podrazumeva da se prostorno naelektrisanje sastoji samo od
jonizovanih atoma primesa i da je doprinos slobodnih naelektrisanja lokalnoj
raspodeli zanemarljiv.
-Dalje smatra se da nema slobodnih elektrona u N delu prelazne oblasti niti
šupljina u P delu prelazne oblasti.
-Kao rezultat dobijamo da je gustina naelektrisanja u N oblasti qNd a u P
oblasti –qNA .
-Prelazna oblast se prostire do rastojanja ln na N strani i lp na P strani.
Sa ovom aproksimacijom i odgovarajućim graničnim
uslovima možemo da izračunamo električno polje i
potencijal korišćenjem Poasonove jednačine i
Gausove teoreme.
Smatraćemo da imamo kvazineutralne oblasti van
prelazne zone i u ovi oblastima električno polje je jednako
0.
Korišćenjem Gausovog zakona dobijamo:
Integracijom električnog polja dobijamo raspodelu potencijala:
Smenom se za potencijal spoja dobija:
Maksimalno električno polje je za x=0.
Debljine prelaznih oblasti:
Aktivni režim rada tranzistora
Baza emiter direktno polarisani-propušta glabne nosioce naelektrisanja
elektroni iz emitera –nE – čine struju INE
šupljine iz baze- pB – čine struju IPE
iE= INE + IPE
kolektor emiter – reverzno polarisani- sporedni nosioci naelektrisanja
nB –prelaze iz baze u kolektor, a pC – prelaze u bazu.
Prolaze kroz spoj baza kolektor i kada je emitersko kolo otvoreno.
Daju inverznu struju zasićenja ICB0 .
Elektroni iz emitera koji se nisu rekombinovali u bazi a usli su u kolektor-sporedni
nosioci, daju struju INEC .
iC=INEC + ICB0
iB=IPE+IRB-ICB0
iE =iB+IC
efikasnost
emitera treba da
bude što veća
Transportni faktor što bliži 1
α-strujno pojačanje
kolektor emiter
β-strujno pjačanje
kolektor baza