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LA
CIRCUNFERENCIA
SUS ELEMENTOS
Y
ÁNGULOS
Otros elementos de la circunferencia
Flecha o
sagita
Q

Recta
secante
Cuerda PQ
P

A
B

Arco BQ
T

Punto de tangencia
Recta
tangente
PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de tangencia
perpendicular a la recta tangente.
RL
es
02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda
la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
P
Q
R  PQ  PM  MQ
03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes
entre las paralelas.
A

C
B

D
Si : AB // CD  m AC = m DC
04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia
les corresponden arcos congruentes.
A
C
Cuerdas
congruentes
Arcos congruentes
B
Las cuerdas
equidistan del
centro
D
Si : AB  CD  mAB  mCD
01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.
r
d = Cero ; d : distancia
02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.
R
r
Distancia entre
los centros (d)
d>R+r
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un
punto común que es la de tangencia.
Punto de tangencia
R
Distancia entre
los centros (d)
d = R + r
r
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un
punto en común que es la de tangencia.
Punto de
tangencia
r
R
d
d=R-r
d: Distancia entre los centros
05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes
que son las intersecciones.
Distancia entre
los centros (d)
(R–r)<d<(R+r)
06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son
perpendiculares en el punto de intersección.
Distancia entre
los centros (d)
d2 = R2 + r2
07.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.
d
d<R-r
d: Distancia entre los centros
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede
trazar dos rayos tangentes que determinan dos
segmentos congruentes.
A
R


R
B
AP = PB
P
2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes
A
B
R
r
r
R
D
C
AB = CD
3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.
A
D
R
r
r
R
B
C
AB  CD
TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma
de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa
mas el doble del inradio.
Inradio
b
a
Circunradio
r
R
a + b = c + 2r
c
R
a + b = 2(R+r)
TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados
opuestos son iguales.
b
Cuadrilátero circunscrito
c
a
d
a + c = b + d
TEOREMA.- En todo cuadrilátero inscrito a una circunferencia, se
cumple que la suma de los ángulos opuestos son suplementarios
Cuadrilátero inscrito




α +  = 180º
 +  = 180º
Ángulos
Ángulo
central
Ángulo
interior
Características
El vértice del ángulo central coincide con el centro de la
circunferencia.
El vértice del ángulo interior es un punto interior a la
circunferencia.
Ángulo
inscrito
El vértice del ángulo inscrito es un punto de la
circunferencia y los lados son rectas secantes.
Ángulo semiinscrito
El vértice del ángulo semi-inscrito es un punto de la
circunferencia y los lados son una recta secante y otra
tangente a la circunferencia.
El vértice del ángulo exterior es un punto exterior a la
circunferencia y los lados pueden ser:
Ángulos
exteriores



Rectas secantes
Una recta secante y la otra tangente
Rectas tangentes
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la
medida del arco que se opone.
A
r
C

r
B
 = mBA
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la
medida del arco opuesto.
A
B

C
mBA

2
4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual
al medida del arco opuesto.
A
C

B
mBA

2
4.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la
mitad de la medida del arco ABC.
A

C
B
mCBA

2
5.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la
semisuma de las medidas de los arcos opuestos
D
A

C
B
mAB  mCD

2
6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es
igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos
opuestos.
A
mACB - mBA

2

C
B
O
 + mBA = 180°
b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la
semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
B
C

D
A
mAB - mCD

2
O
c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra
secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los
arcos opuestos.
B

C
A
mBA - mCB

2
O
Algunas propiedades importantes…….
1.- Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en su
punto de tangencia
A
P
AB  OP
B
O
2.- Si de un punto ¨P¨ exterior a una circunferencia. Se dibujan 2 segmentos
tangentes a la circunferencia llamados PA y PB , estos segmentos resultan
congruentes
A
PA  PB
P
B
Algunas propiedades importantes……..
3.- Todo diámetro perpendicular a una cuerda es simetral y bisectriz del ángulo
del centro comprendido entre los extremos de la cuerda.
A
AB  CD entonces:
a) CE  ED
b)  COE   EOD
O
C
E
D
B
4.- En toda circunferencia a ángulos del centro congruentes le corresponden
cuerdas y arcos congruentes.
B
A

AB  CD
O

D
C
Algunas propiedades importantes……..
5.-En una circunferencia , cuerdas congruentes equidistan del centro.
B
AB  CD  OE = OF
A
O
C
D
6.- Los arcos comprendidos entre rectas paralelas o cuerdas paralelas son
congruentes.
A
B
AB // CD  arc AB  arc CD
C
D
Algunas propiedades importantes……..
7.- Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de
circunferencia, son iguales


90º

2

Todos los ángulos inscritos
que
abarcan
un
mismo
diámetro, son rectos. Teorema
de Thales
180º
Teorema 1
Si desde un punto exterior P se trazan dos rectas
tangentes a la circunferencia PA y PB. Entonces al unir
dicho punto exterior con el centro de una circunferencia O,
se determina que m  1 = m  2 y que PB  PA.
TEOREMA 2
Al trazar dos secantes desde un punto exterior, el
producto de un segmento secante con su respectivo
segmento exterior es igual al otro segmento secante con
su respectivo segmento exterior.
TEOREMA 3
Si desde un punto exterior a una
circunferencia se traza una recta
tangente y una recta secante,
entonces:
El cuadrado del segmento
tangente en igual al producto del
segmento secante por el
segmento exterior.
TEOREMA 4
Si se trazan dos cuerdas
que se cortan dentro de una
circunferencia:
El producto de los dos
segmentos formados por una
cuerda y el punto de
intersección
es
igual
al
producto de los segmentos
formados por la otra cuerda y el
punto de intersección.
Problema Nº 01
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco SR
mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la
medida del ángulo PSQ.
RESOLUCIÓN
Por ángulo semi-inscrito PQS
PSQ = x
mSRQ
mPQS 
2
Se traza la cuerda SQ
Q
70º+x
50°
2X
P
Reemplazando:
mPQS 
140º 2x
 70º  x
2
En el triángulo PQS:
R
X
X + (X+70) + 50° = 180°
Resolviendo la ecuación:
S
140°
X = 30°
Problema Nº 02
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la
tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco RQ se ubica un punto
“S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si mHRS=20º;
calcule la mQPR.
RESOLUCIÓN
m  S = 70º
En el triángulo rectángulo RHS
Por ángulo inscrito
Q
mQR = 140°
S
70 º 
mQR
2
Se sabe que:
mQsR = 220°
70°
140°
X
20°
R
x
Resolviendo:
P
220º - 140º
 40 º
2
X = 40°
Problema Nº 03
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC
y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida
del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.
RESOLUCIÓN
Medida del ángulo interior
APD = x
A
130   mBC
 90
2
B
130°
50°
D
C
mBC = 50°
Medida del ángulo exterior
x
X
P
130  50
2
Resolviendo:
X = 40°
Problema Nº 04
En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga
hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo
secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al
radio, si el arco NA mide 54º. Calcule la mAPN.
RESOLUCIÓN
Se traza el radio OM:
APN = x
N
Dato: OM(radio) = PM
54°
Luego triángulo PMO es isósceles
M
A
o
x
x
B
Ángulo central igual al arco
x
P Medida del ángulo exterior
54  X
X
2
Resolviendo:
X = 18°
Problema Nº 05
En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia
tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”,
“Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide
70º. Calcule la mPRQ.
RESOLUCIÓN
B
 PRQ
=x
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
70° + mPQ = 180°
70°
110°
Medida del ángulo inscrito:
Q
P
110
X
2
x
A
R
mQP = 110°
C
Resolviendo:
X = 55°
Problema Nº 06
Calcule la medida del ángulo “X”.
A
70°
X
B
P
Resolución
RESOLUCIÓN
220º
C
A
70°
140º
X
P
B
Medida del ángulo inscrito:
70 º 
mBA
2
mBA=140º
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
220º- 140º = x
2
Resolviendo:
X = 40º
Problema Nº 07
Calcular la medida del ángulo “x”
A
130º
B
X
Resolución
P
A
260º
130º
RESOLUCIÓN
X
C
P
B
Medida del ángulo inscrito: 130º 
mAB
2
En la circunferencia: 260º + mACB = 360º
mAB = 260º
mACB = 100º
Por la propiedad del ángulo exterior
mACB + x = 180º
formado por dos tangentes:
X = 80º
Problema Nº 08
Calcule el perímetro del triángulo ABC.
B
2
A
C
5
5
Resolución
RESOLUCIÓN
B
a
2
b
A
5
5
C
Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)
a + b = 14
Luego el perímetro: (p) = a + b + 10 = 14 + 10
Reemplazando (1) en (2)
(p) = 14 + 10
(1)
(2)
(p) = 24
Problema Nº 09
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia
se trazan la tangente PQ y la secante PRS de
modo que los arcos QS y SR sean congruentes.
Si el arco RQ mide 80º, calcular mQPR .
PLANTEAMIENTO
Q
a
80º
X
P
R
S
a
Resolución
RESOLUCIÓN
Q
a
80º
P
X
R
En la circunferencia:
S
a
2a + 80º = 360º
a = 140º
Medida del ángulo exterior:
a  80º 140º 80º
X

2
2
X = 30º
Problema Nº 10
En un cuadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traza
la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y
PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el
perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la
longitud de PR
Q
PLANTEAMIENTO
3
R
P
2
Resolución
S
Q
RESOLUCIÓN
Dato:
a
b
3
a + b + c + d = 22cm
R
P
2
d
Teorema de Poncelet:
PQR  a + b = PR+2(3)
PSR  c + d = PR+2(2)
S
+
a +b + c + d = 2PR + 10
22 = 2PR + 10
12 = 2PR
c
PR = 6cm
Problema Nº 11
•
Encuentra los valores de PA, PB y la
medida del ángulo 1
•
Primero: debemos encontrar el valor
X. Como ya sabemos que los radios
de una circunferencia son iguales
formulamos la siguiente ecuación: 2X
= 20, por lo tanto X = 10.
•
Al saber que X = 10, determinamos que
AP =30. Según la propiedad AP = BP,
por lo tanto BP también vale 30, así
obtenemos los valores de AP y BP .
•
Segundo: Se quiere encontrar el valor
del ángulo 1. Si observamos bien el arco
AC es igual a 50°, por lo tanto el  AOP
también es igual a50°. Y como OAP es
igual a 90°, podemos formular la
siguiente ecuación: 90° + 50° + APO =
180°, por lo tanto APO = 40°
Según la propiedad OP es bisectriz, por el APO es igual al OPB,
también vale 40°-
Problema Nº 12
Encuentra los valores de X e Y
• Primero. Se quiere encontrar el valor de
X. Para lo cual debemos encontrar el
valor Y. Como AP es igual a 40,
podemos determinar y según la
siguiente ecuación: 3Y + Y = 40, por lo
tanto obtenemos que Y = 10.
• De esta manera sabemos los valores
de AB = 30 y BP = 10
• Segundo. Se quiere encontrar el valor
de X. Según la propiedad
AP • BP = DP • CP, por lo tanto,
podemos plantear la siguiente ecuación:
40 • 10 = (X + 6) • 6, de esta manera
obtenemos que X es igual a 60.6.