BELİRLİ İNTEGRAL 02
Download
Report
Transcript BELİRLİ İNTEGRAL 02
slayt6
Teorem: f:[a,b] R , g:[a,b] R fonksiyonları [a,b] aralığında
integrallenebilir iki fonksiyon olsun. c [a,b] ve k R olmak
üzere:
b
c
b
a
a
c
1. f(x).dx f(x).dx f(x).dx t ir.
b
b
a
a
2. k.f(x).dx k. f(x).dx t ir.
b
b
b
a
a
c
3. f(x) g(x).dx f(x).dx g(x).dx t ir.
slayt7
Örnek:
a-)
2
x .dx
-1
b-)
3
x.sgn(x 2).dx
-1
c-)
4
2
9 x 2 .dx
slayt8
Çözüm:
a-)
2
0
1
2
1
1
0
1
0
2
1
1
x .dx x .dx x .dx x .dx x | x | 1 1 0 bulunur.
b-)
3
2
3
x2 2 x2 3
1 x.sgn(x- 2).dx 1 x.dx 2 x.dx 2 |1 2 2| 1 bulunur.
c-)
4
3
4
8 64
2
2
2
9
x
.dx
(9
x
).dx
(9
x
).dx
27
9
18
36 9 27 6 bulunur.
2
2
3
3 3
Alan Hesabı
Dönel Cisimlerin Hacimleri
slayt1
Alan Hesabı
Eğrilerle sınırlı düzlemsel bölgelerin alan hesabını
yaparken, aşağıdaki teoremi kullanacağız.
Teorem: f:[a,b] R , f(x) fonksiyonu pozitif ve
integrallenebilen bir fonksiyon olsun. y=f(x) eğrisi, x=a , x=b ve
y=0 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanı,
b
S
f(x).dx
a
slayt2
1.Sonuç: y=f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında negatif değer
alıyorsa,
b
S f(x).dx
a
slayt3
2.Sonuç: f:[a,b] R ,y=f(x) fonksiyonu, aralığın bir parçasında
negatif değerli, bir parçasında pozitif değerli ise,
d
S | f(x)| .dx
a
slayt4
Örnek1: f(x)=3x2+6x eğrisi ve Ox ekseni arasında kalan kapalı
bölgenin alanını hesaplayalım.
slayt5
Çözüm1:
Şekilden görülebileceği gibi, f(x)=3x2 +6x=0
denkleminin kökleri 3x(x+2)=0 x1=-2 ve x2=0 dır. Kökler
arasında f(x)<0 olduğundan; aranan alan;
0
0
0
S f(x).dx (3x 6x).dx -(x 3x ) |
2
-2
3
2
-2
2
S (x 3x ) | (2)2 3.(2)2 (03 3.02 )
3
2
0
S 8 12 0 4 birimkare bulunur.
2
Slayt6
Örnek2: Aşağıdaki grafik, f(x)=lnx fonksiyonuna aittir. Buna
göre, taralı alanlar toplamı S ise, S değeri nedir?
Slayt7
Çözüm2:
Fonksiyon [1/e,1] arasında negatif, [1,e2] arasında pozitif
değerler aldığı dikkate alınırsa, aranan alan;
1
e2
1
e2
1
e
1
1
e
1
S f(x).dx f(x).dx lnx.dx lnx.dx
2
1
e
1
e
1
1
e
e2
1
1
S (x.lnx x) | (x.lnx x) | (x.lnx x) | (x.lnx x) |
1 1 1
S ln (0 1) (e2 lne2 e 2 ) (ln1 1)
e e e
3
2
2
e
2e 2
S 1 2e2 e 2 1 e 2 2 S
birimkare bulunur.
e
e
e
Slayt8
3.Sonuç: f:[a,b]R
fonksiyon olsun.
,
g:[a,b]R
integranellenebilen
iki
Slayt9
b
S1
f(x).dx ,
b
S2
g(x).dx
a
a
Bu durumda, iki eğri arasında kalan taralı alan;
b
b
b
a
a
a
S S1 S2 f(x).dx g(x).dx (f(x) g(x)).dx bulunur.
Slayt10
4.Sonuç:
S S1 S2
x2
x3
x1
x2
(f(x) - g(x)).dx (g(x) - f(x)).dx
slayt11
Örnek1: f(x)=sinx ve g(x)=cosx fonksiyonları veriliyor:
a. İki fonksiyonun grafikleri arasında kalan ve x=0 , x=/6
doğruları ile sınırlı bölgenin alanını bulunuz.
b. İki eğri arasındaki kapalı bölgelerinden birisinin alanını
hesaplayınız.
slayt12
Çözüm1:
a. f(x)=sinx , g(x)=cos(x) fonksiyonlarının grafikleri şekildeki
görülmektedir.
x[0,/6] aralığında cosx>sinx olduğundan;
S
π
6
π
6
(cosx sinx).dx (sinx cosx) |
0
0
π
π
1
3
S sin cos (sin0 cos0
0 1
6
6
2
2
S
3 1
2
birimkare bulunur.
slayt13
b. f(x) = g(x) sinx = cosx cos (/2-x) = cosx x1= /4 ,
x2= 5/4 .
O halde, f(x)=sinx , g(x)=cosx eğrileri arasındaki sınırlı
bölgelerden birinin alanı,
S
5π
4
5π
4
(sin x co sx ).dx (-co sx sin x ) |
π
4
π
4
5π
5π
π
π
S - co s
- sin
co
s
sin
4
4
4
4
2
2
2
2
S
2
2
2
2
S2
2 birim k are bulun ur.
slayt14
Teorem: g:[c,d] R , x=g(y) fonksiyonu [c,d] aralığında pozitif
ve integrallenebilen bir fonksiyon olsun.
x=g(y) eğrisi, y=c , y=d ve x=0 doğruları tarafından
sınırlanan bölgenin alanı,
d
S g(y).dy dir.
c
slayt15
Örnek: Aşağıdaki şekilde, x = y2+1 eğrisinin x=1 ile x=5
aralığındaki parçası çizilmiştir. Buna göre, taralı alan kaç br2
dir?
Çözüm:
Önce integralin sınırlarını
bulalım.
x=1 için, 1=y2+1 y=0
x=5 için, 5=y2+1 y0
olduğundan, y=2 bulunur.
2
2
y3
A (y 1).dy
y|
3
0
0
2
14
A
br 2 bulunur.
3
slayt16
5.Sonuç: x=g(y) fonksiyonu [c,d] aralığında negatif değerler
alan integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Bu durumda; x=g(y)
eğrisi, y=c , y=d , ve x=0 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı;
d
S g(y).dy dir.
c
slayt17
Örnek: Aşağıdaki şekilde görülen parabolün denklemi , x=y22y dir. Taralı bölgenin alanının kaç birim kare olduğunu bulalım.
Çözüm:
y2-2y=0 y1=0 y2=2 bulunur.
Buna göre taralı alan;
2
2
0
0
A (y2 2y).dy (2y y 2 ).dy
3 2
y
A y2
|
3 0
4
A
br 2 bulunur.
3
slayt18
6.Sonuç: Eğer x=g(y) fonksiyonu [c,d] aralığında hem negatif
hem de pozitif değerler alıyorsa, x=g(y) eğrisi, y=c , y=d ve x=0
doğruları ile sınırlı bölgenin alanı,
e
d
d
c
c
c
S S1 S2 g(y).dy g(y).dy | g(y) | .dy
slayt19
Örnek: Aşağıdaki şekilde görülen eğrinin denklemi ,
x= -y.(y+1).(y-2) dir. Buna göre,taralı alanların toplamı kaç
birim karedir?
Çözüm:
x= -y.(y+1).(y-2)=0
y1=-1 , y2=0 ,
y3=2 bulunur. Verilen
bağıntı denkleminde;
-1<y<0 için, f(y)>0
olduğundan aranan
alanlar toplamı;
slayt20
0
2
0
2
A f(y).dy f(y).dy (-y y 2y).dy (-y3 y 2 2y).dy
3
-1
0
-1
2
0
0
2
y 4 y3
y 4 y3
5 8 37
2
2
A
y |
y |
birimkarebulunur.
3
3
4
1 4
0 12 3 12
7.Sonuç: x=g(y) , x=f(y)
eğrileri arasında kalan
y=c , y=d doğruları ile
sınırlı alan;
d
S
| f(y)
c
- g(y) | .dy
slayt21
Örnek: x=y2 parabolü ile x+y=6 doğrusu arasında kalan sınırlı
bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm:
y2=6-y y2+y-6=0
y1 =-3 y2 =2 bulunur.
2
A
-3
A
2
3 2
y
y
(6 y ) y 2 .dy 6 y
|
2
3 -3
125 2
br bulunur.
6
slayt22
Dönel Cisimlerin Hacimleri
Teorem: y=f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında integrallenebilen bir
fonksiyon olmak üzere, y=f(x) eğrisi etrafında, x=a , x=b ve Ox
ekseni etrafında 360o döndürülmesi ile oluşan dönel cismin
hacmi;
b
b
V π. y 2 .dx π. f(x) .dx tir.
2
a
a
slayt23
1.Sonuç: [a,b] aralığında integrallenebilen iki fonksiyon, y=f(x)
ve y=g(x)olsun. x[a,b] için f(x)g(x)0 ise; y=f(x) ve y=f(x)
eğrileri, x=a ve x=b doğruları arasında kalan bölgenin Ox ekseni
etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi;
b
V π. f 2 (x) - g 2 (x) .dx tir.
a
Örnek: f(x)=x2 eğrisi, x=0 , x=2 doğruları ve Ox ekseni
etrafından sınırlanan kapalı bölgenin Ox ekseni etrafında 360o
döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.
slayt24
Çözüm:
Elde edilen cisim, yukarıdaki şekilde görülmektedir.
2
2
1 5 2 32π 3
V π. (x ) .dx π. x .dx π. x |
br olur.
5 0
5
0
0
2 2
4
slayt25
2.Sonuç: x=f(y) fonksiyonunun eğrisi, y=c , y=d doğruları ve
Oy ekseni ile sınırlanan düzlemsel bölgenin Oy etrafında 360o
döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi;
d
V π. x 2 .dy dir.
c
slayt26
3.Sonuç: y[c,d] için f(y)g(y)0 ise; x=f(y) ve x=g(y)
eğrileri ile y=a ve y=b doğruları arasında kalan bölgenin y
ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan yeni cismin
hacmi;
d
V π. f 2 (y) g 2 (y) .dy dir.
c
slayt27
Örnek1: y=x2 parabolü, x=0 , y=2 doğruları arasında kalan
bölgenin Oy ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle elde edilen
dönel cismin hacmini bulunuz.
Çözüm1:
y=x2 x=y (x0= dır. Oluşan cismin hacmi;
2
2
y2 2
V π. ( y ) .dy π. y.dy π.
| 2π br 3olur.
2 0
0
0
2
slayt28
Örnek2: x=y2 eğrisi ve y=x2 eğrisi arasında kalan düzlemsel
bölgenin Oy ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle elde edilen
dönel cismin hacmini bulunuz.
slayt29
Çözüm2:
y=x2 y=(y2)2 y=y4 y-y4 =0 y=0 ve y=1 bulunur.
O halde, oluşan dönel cismin hacmi; y[0,1] da y=x2
parabolünün oluşturduğu hacimden, x=y2 parabolünün
oluşturduğu hacim çıkartılarak bulunur.
y 2 y5 1
1 1
V π. ( y ) - (y ) .dy π. (y - y ).dy π.
| π.
5 0
2 5
2
0
0
3π 3
V
br bulunur.
10
1
2
2 2
1
4
slayt30
Örnek3: x+y=1 eğrisinin koordinat eksenleri arasında kalan
bölgenin, Ox ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle elde edilen
dönel cismin hacmini bulunuz.
slayt31
Çözüm3:
y=1-x y=1-2x+x dir. Eğri, eksenleri x=1 ve y=1 de keser.
1
1
0
0
V π. (1- 2 x x).dx π. (1 4x x 2 4 x 2x 4 x ).dx
3
1
3
5 1
1
8
8
2
2
3
2
2
2
2
V π. 1 6x x 4x 4x .dx π. x 3x x x x |
3
3
5 0
0
1 8 8 π
V π.1 3
br 3 bulunur.
3 3 5 15
1
Bitir