Transcript ÇÖZÜM


f  g (x )  g ' ( x)dx İntegralinde u=g(x) veu ' g ' ( x)dx
Dönüşümü yapılarak integral
 f ( x)du
4
2
3
(
x

2
x

3
).(
x
 x).dx
Örnek-1- 
hesaplayınız
u  x  2x  3
4
Çözüm:
2

du  4( x  x).dx
3
4
du
1
1
u
I   u 3   u 3 .du 
c
4 4
4 4
haline getirilir.
integralini
du  (4x  4x).dx
3
du
 ( x 3  x).dx
4
I
1 4
( x  2 x 2  3) 4  c
16
Örnek-2Çözüm:
e
sin x
. cos x.dx
integralini hesaplayınız.
u  sinx
du  cosx.dx
I   e .du  e  c
u
u
Örnek-3-
x
 1  x 2 dx
Çözüm:
u  1 x
I 
2
integralini hesaplayınız.
du  2xdx

du
 x.dx
2
du
2  1 ln u  c  1 ln(1  x 2 )  c
u
2
2

ln x
Örnek-4hesaplayınız.x
Çözüm:
u  ln x
I 
integralini
dx
1
du  dx
x
1
2
3
2
u
u du   u du 
c
3
2
3
2
2
 (ln x)  c
3
dx
Örnek-5 e x  1 dx
hesaplayınız.
integralini
Çözüm:
dx
ex 1 ex
ex 1
ex
ex
I   x dx   x
dx   x dx   x dx   dx   x dx
e 1
e 1
e 1
e 1
e 1
ex
I2   x
dx
e 1
u  e  1  du  e .dx
x
du
I2  
 ln u  c
u
I  x  ln e  1  c
x
x
Örnek-6Çözüm:

e
x
x
integralini hesaplayınız.
dx
u x
du 
1
2 x
I   e u .2du  2  eu du  2e u  c
Örnek-7-  sin x. cos x.dx
hesaplayınız.
u  sin x
Çözüm:
2
u
I   u.du 
c
2
1
2du 
dx
x
dx
I  2e  c
x
integralini
du  cos x.dx
2
sin x
I
c
2

Örnek-8x 2  4 x ( x  2).dx
hesaplayınız.
Çözüm:
u  x2  4x
integralini
du  (2 x  4 x).dx  2( x  2).dx
du
 ( x  2).dx
2
3
2
3
du 1
1u
1 7
I u
  u .du 
c  u c
2
2
2 3
3
2
3
1 2
I  ( x  4 x) 2  c
3
arctan x
dx
Örnek-9- 
2
1 x
integralini hesaplayınız.
Çözüm: u  arctan x du 
1
dx
2
1 x
2
u
I   u.du   c
2
arctan2 x
I
c
2
x
x
e

e
Örnek-10 e x  ex dx
u  e x  e x
I 
du
 ln u  c
u
integralini hesaplayınız.
x
du  (e  e )dx
x
I  ln e x  e  x  c
Örnek-11Çözüm:
 (cot x  tan x)dx
integralini hesaplayınız.
 cot xdx   tan xdx
I1
u  sin x
I2
t  cosx
du  cos x dt   sin x.dx
I  ln u  ln t  c
I  ln sin x  ln cos x  c
Örnek-12-
sin 2 x
 3  cos 2 x dx
Çözüm: u  3 cos2 x
du  2 cos x sin x   sin x
du
I  
  ln u  c
u
I   ln 3  cos 2 x  c
4
2
(tan
x

tan
x ) dx integralini hesaplayınız.

Örnek-13Çözüm:
integralini hesaplayınız.
I   tan 2 x(tan 2 x  1)dx
u  tan x
du  (1  tan2 x)dx
3
u
I   u du   c
3
2
t an3 x
I
c
3
Örnek-14-

dx
9  25x
integralini hesaplayınız.
2
Çözüm:
a, b  R  0 


1
 bx 
 arcsin   c
2
2 2
b
a
a b x
dx
1
 5x 
 arcsin   c
2
5
 3
9  25x
dx
Örnek-1-
 x.e .dx
x
integralini hesaplayınız.
Çözüm:
ux
dv  e .dx
x
du  dx
v e
x
x
.
e
.
dx

x
.
e

e
.
dx


x
x
x
 x.e e c
x
x
Örnek-2-
 ln x.dx
integralini hesaplayınız.
Çözüm:
u  ln x
1
du  dx
x
dv  dx
v x
1
 lnx.dx  x.lnx-  x. x dx
 x.lnx- x  c
Örnek-3-
x
e
 . sin x.dx
Çözüm:
u  sin x
integralini hesaplayınız.
dv  e x dx
du  cos x.dx
v e x
sin x.e x   e x . cos x.dx
u  cos x
dv  e x .dx
du   sin x.dx

v e x

I  e x . sin x  e x . cos x  (e x cos x    e x . sin x.dx
I  e x . sin x  e x . cos x   e x . sin x.dx
x
I
e
2 I  e .sin x  cos x   .sin x  cos x   c
2
x


Örnek-4- ln x 

x 2  1 .dx
integralini hesaplayınız.
Çözüm:

u  ln x 
du 
x 1
1
x 1
2

I  x.lnx x 

I  x. ln x 
2

dv  dx
v x
.dx

x.dx
x 1  
2

x 1 
2
x 1
2
x 1  c
2
Örnek-5Çözüm:
 cos ln x .dx
integralini hesaplayınız.
u  cosln x 
1
du  -sinlnx. dx
x
dv  dx
v x
lnx
I  cos(lnx).x-  - sin
xdx
x
u  sin(lnx)
dv  dx
1
du  cos(ln x).dx v  x
x
I  x.cos(lnx) x.sin(lnx)-  cos(lnx)
x
I  cos(ln x)  sin(ln x) 
2
I
Örnek-1Çözüm:
x3  2 x 2  x  2
 x  1 dx
x3  2 x2  x  2
x x
3
2
x x2
2
-
-
x x
2
integralini hesaplayınız.
X+1
x2  x
2
x x
x 1
2
2
2 
x x
2dx
 2
I  x  x 
.dx    
x 1
3 2
x 1

3
2
x x
I    2 ln x  1  c
3 2
3
2
Örnek-2-
x 1
 x.(x  1)dx
x 1
A B
 
x.( x  1)
x x 1
Çözüm:
x  0 için A  -1
integralini hesaplayınız.
x- 1  A(x  1)  B(x)
x -1
1 2
 
x.(x  1)
x x 1
x  -1 için B  2
 1 2 
   x  x  1 dx   ln x  2 ln x  1  c
( x  1) 2
I  ln
c
x
Örnek-3-
dx
 x.(x  1)2
integralini hesaplayınız.
Çözüm:
1
A
B
C
 

2
2
x.( x  1)
x x  1 ( x  1)
1  A( x  1) 2  Bx( x  1)  Cx
x  1 için
x2
için
C  1, x  o
için A  1
B  -1
dx
1
1
1
 x.(x- 1)2   ( x  x  1  ( x  1) 2 )dx
1
I  ln x  ln x  1 
c
x 1
Örnek-4Çözüm:
dx
integralini hesaplayınız.
 x 2 16
dx
dx
 x 2  16   ( x  4).(x  4)
1
A
B


( x  4).(x  4) x  4 x  4
1  A( x  4)  B ( x  4)
1
x  4 için B  
8
1
x4
için A 
8
1 
 1



dx
1 x4
8
8
 x 2  16    x  4  x  4 dx  8 ln x  4  c




cos x  sin x
1.  sin x  cos x dx belirsiz integrali için
Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)
I  sin x  cos x  c
B)
I  2. sin x  c
C)
I  2 sin x  cos x  c
D)
I  sin x. cos x  c
E)
I  2 sin x. cos x  c
2.

x4  4
dx
4
x
Belirsiz integrali aşağıdakilerden
hangisi olamaz?
A)
3x 4  3x 3  4
3x 3
B)
3x 4  4 x 3  4
3x 3
C
3x 4  5 x 3  4 x
3x 3
D)
3x 4  6 x 3  4
3x 3
E)
3x 4  4
3x 3
3.
2
2
sin
x
.
cos
x.dx

İntegralinin çözümü aşağıdakilerden
hangisidir?
A) I 
x sin 4 x

c
8
32
B) I  3x  sin 4 x  c
8
32
C) I   x  sin 4 x  c
8
32
D) I  x  sin 4 x  c
8
32
E) I   3x  sin 4 x  c
8
32
2 x3  2 x  1
dx
4 
2
x 1
Belirsiz integrali için aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?
A)
x 2  arctanx  c
B)
x 3  arctanx  c
C)
x 2  ln(x 2  1)  c
D)
E)
1
x  ln(x 2  1)  c
2
x 2  arctan(x 2  1)  c
5.

ln x
dx
2
x
belirsiz integrali için aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?
I
ln x
1
 c
x
x
B)
I
ln x
1

c
x
x
C)
I
 ln x
1

c
x
x
D)
I  ln 
A)
E) I  
1
c
x
ln x
1
 c
x
x
 8 sin x. cos x. cos 2 x.dx
6.
belirsiz integrali için
Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) cos 4 x  c
B)
 cos 4 x  c
1
sin 4 x  c
C) 4
D) 
E)
cos8 x
c
2
cos 4 x

c
2
7.
3
sin
 x.dx
integralinin değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
co s3 x
I   co s x 
c
3
B)
co s3 x
I  co s x 
c
3
C)
sin 3 x
I  sin x 
c
3
D)
co s3 x
I  sin x 
c
3
E)
co s3 x
I   sin x 
c
3
8.
dx
 x2  x
belirsiz integrali için, aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?
A)
1
ln
c
x 1
B)
ln
C)
ln x 2  x  c
D)
ln
E)
x2
ln
c
x 1
1
c
2
x 1
x
c
x 1
f(x)=2/x2 eğrisine x=1 apsisli noktadan çizilen teğeti ile eksenler
arasındaki düzlemsel bölgenin oy ekseni etrafında döndürülmesi ile
oluşan şeklin hacmi kaç br3’tür?
Örnek:
Meydana gelen düzlemsel bölgenin alanı şekildeki gibidir.
Çözüm:
Önce f(x)in x=1 noktasındaki teğeti bulunur.
f(x)=-2x*2/x4
y
=-4/x3
m=f-1(x)=-4
x=1 için f(1)=2
A(1,2)
-3/2
3/2
x
Teğetin denklemi:
y-y1=m(x-x1)
y-2=-4(x-1)
y=-4x+6
1. Yol:
Şekil konidir. Koninin hacminden;
2
3

*
  *6
2
 *r *h
 *9*6
9
2
V 



br3
3
3
4*3
2
2.Yol:
Vy   
6
0
 6 2
 y6
x dy    
 dy  0 y  12 y  36 dy
0
16
 4 
2
  y 3 12 y 2


  
 36 y 
16  3
2

  63
2
6


6
0


2


   6 * 6  36* 6   0 
72  63  63
16  3
16

 * 72 9 3


br
16
2


Örnek:
Çözüm:
İntegral yardımıyla koninin hacmini bulunuz.
Koninin yüksekliğine h ve taban yarıçapına r diyelim ve
[AB]doğrusunun denklemini bulalım.
A(0,r)
B(h,0)
x
A (0 , r) = (x1 , y1)
, y2)
,
B = (h , 0) = (x2
(x-x1) * (y2-y1) = (x2-x1) * (y-y1)
y
(x-0) * (0-r) = (h-0) * (y-r)
-x*r = h*(y-r)
ise
y=r-(x*r)/h
Buna göre;
2
x*r 

Vx     r 
 dx
0
h 

2
2
2
h

2
*
x
*
r
x
*
r
2

 
r 

dx
2

0 
h
h


 2
2r 2
x2
r2
x3  h
  r * x 
*
 2 *
 0
h
2
h
3


h
 2

r2
r2
h3 
2
  
 r h  h * h  h2 * 3 
  0 



 2
r 2h 
2

r h  r h  3 



 *r2 *h
Vx 
b r3
3
Örnek:
y=x2-2x eğrisi x=3 doğrusu ve x ekseni arasında kalan alan
kaç br2’dir?
ÇÖZÜM:
A=A1+A2
2


3


A    x  2 x dx   x 2  2 x dx
0
y
2
 x3
x2 
   2 
2
3
y=x2-2x
x
2
3
2
2
3


x
x
2
   2 
0
2
 3
3
2
 8

   27   8
    4   0    9     4 

 3
   3
 3
4 8 2
4
  0   br
3 3
3
Örnek:
y=x3 eğrisi y=3 doğrusu ve y-ekseni arasında kalan alan kaç
br2’dir?
ÇÖZÜM:
3
3
1
1
A   xdy  
3
y  1dy
t 3  y  1  3t 2 * dt  dy
y=x3-1
y=3
3
1
-1
3
A   t * 3t dt  3 t dt
2
3
1
3
t4 3 3
4
 y  1 1
3 
4 4
3 3
4


3  1  3 (1  1) 4

4 
3 3 4
 * 4  33 4br 2
4
Örnek:
y=lnx eğrisi ox ekseni ve x=e doğrusu arasında kalan düzlemsel
bölgenin alanı kaç br2’dir?
ÇÖZÜM:
y
y=lnx
1
e
A   ln xdx
u  ln x
1
e
dx
du 
x
e
A   ln xdx  ln x * x  
1
 x * ln x  x
x
dv  dx
dx
x*
x
e
1
 e * ln e  e   1* ln 1  1
 (e  e)  0  1  1br 2
CEVAP B
vx
Örnek:
y=2-x2 ile y=x2 eğrileri tarafından sınırlanan alan kaç br2’dir?
ÇÖZÜM:
y=x2
1
1


1
y=2-x2
y=x2
y=2-x2
x2=2-x2
x2=1
x=1, x=-1


3
1
x
  2  2 x dx  2 x  2
1
3 1
3
3



1
2 *  1 

  2 *1  2 *    2 *  1 

3
3

 

2 
2
 2   2  
3 
3
4  4 4 4 8
        br 2
3  3 3 3 3
1
-1
ise
1
A   ( y1  y2 )dx   2  x 2  x 2 dx
1
2x2=2
1
2
Örnek:
f(x)=lnx eğrisinin x=e noktasından çizilen teğeti ile x ekseni ve
f(x) = lnx eğrisi arasındaki alan kaç br2’dir?
ÇÖZÜM: Önce teğetin denklemi bulunur.
f(x) = lnx
A(e,1)
f´(x)=1/x
ise
1
m=1/e dir
0
y-y1=m(x-x1)
y-1=1/e(x-e)
y=x/e-1+1
y=x/e
1
e
 * e *1 
2
2
Aüçgen
e
S 

A
e
e2
1 
2
2
1
T
ln xdx  x * ln x  x
e
1
1
1 e
y=lnx
Örnek:
f(x)=x2 parabolü ve g(x)=x doğrusu arasında kalan düzlemsel
bölgenin ox ekseni etrafında 360 döndürülmesi ile oluşan
cismin hacmi nedir?
ÇÖZÜM:
f(x) =g(x)  x2=x  x=0 veya
x=1
g(x) = x
f(x)
=x2

V   *  g x   f
1
1

0
2
2

   x  x dx
0
1
2
4
1 3 1 5 1
 x  x  0
5 
3
 1 1  2 3
   
br
 3 5  15
x dx
Örnek:
y=x2 parabolü, x=0 ve y=2 doğruları arasında kalan
bölgenin Oy eksen etrafında 360 döndürülmesi ile elde
edilen dönnel cismin hacmini bulunuz.
ÇÖZÜM:
y = x2 
x = y
(x >=0) dır. Oluşan cismin hacmi:
2
y=2
y= x
V  *
2
0
2
y

2
2
0
2
2
y * dy   *  y * dy
0
4 3

br
2
Örnek:
x2+(y-3)2 =4 çemberinin sınırladığı bölgenin, Oy ekseni
etrafında dönmesinden oluşan cismin hacmi nedir?
ÇÖZÜM:
M(0,3)
5
r=2
Oluşacak şekil küre
olduğundan
Kürenin hacmi ile de
çözülebilir.
y=(4-x2)+3
3
Vy=4/3 br3 =4/3*8
1
-2
2
32/3 br3
Örnek:
y= x2 eğrisi ile y=4 doğrusu x ekseni etrafında döndürülüyor. Elde
edilen cismin hacmi kaç br3’tür?
ÇÖZÜM:
x2=y
x2=4
x=2 ,
x=-2
y2=x2
y1=4
-2
2
Vx   * 
2
2
y
2
1

 y22 dx
256 3
  *  16  x dx 
br
2
5
2

4
