Transcript Wykład nr 10 - Analiza pręta skręcanego

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa
w Nysie
Instytut Zarządzania
Projektowanie Inżynierskie
Skręcanie prętów
Prowadzący: dr inż. Piotr Chwastyk
e-mail: [email protected]
www.chwastyk.pwsz.nysa.pl
Wytrzymałość materiałów
Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych
Rozpatrzmy pręt o stałym przekroju kołowym, którego jeden koniec jest utwierdzony, a
na drugi swobodny działa moment skręcający Ms.
Na zakreskowany element prostokątny działają
naprężenia styczne . Zwroty tych naprężeń
odpowiadają odkształconej postaci elementu.
Przy skręcaniu pręta jego tworzące przyjmują
kształt linii śrubowych i obracają się o kąt
odkształcenia postaciowego . W przypadku
małych odkształceń możemy przyjąć następujące
założenia:
a) w
przekrojach
poprzecznych
pręta,
prostopadłych do jego osi, występują tylko
naprężenia styczne,
b) przekroje
poprzeczne,
płaskie
przed
odkształceniem, pozostają po odkształceniu
przekrojami płaskimi,
c) promienie przekrojów poprzecznych pręta po
odkształceniu pozostają odcinkami linii
prostych.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 2
Wytrzymałość materiałów
Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych
Na podstawie przyjętych założeń ustalamy warunki geometryczne wycięcia tego elementu
pręta o długości dx, ograniczonego dwiema płaszczyznami prostopadłymi do osi pręta i
powierzchnią cylindryczną o promieniu . Przy skręcaniu przekrój II obróci się względem
przekroju I o kąt obrotu d, a promień OB =  zajmie nowe położenie OB’. Temu
odkształceniu odpowiada kąt odkształcenia postaciowego p tworzącej AB na walcowej
powierzchni.
Wyrażając długość łuku BB’ za pomocą kątów p i d, otrzymamy
BB'   p dx  d
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 3
Wytrzymałość materiałów
Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych
Kąt odkształcenia postaciowego
d
p 
dx
Po wykorzystaniu związku określającego prawo Hooke'a otrzymuje się
p 
gdzie:
E
G
2(1   )

G
- moduł sprężystości postaciowej (moduł Kirchoffa)
 - liczba Poissona
Powyższe wzory prowadzą do uzyskania funkcji naprężenia stycznego
d
 p  G p  G
dx
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 4
Wytrzymałość materiałów
Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych
W przypadku rozpatrywanego przekroju d/dx = const, stąd występujące naprężenia
styczne mają wartości proporcjonalne do promienia  i są do niego prostopadłe.
Na element przekroju poprzecznego pręta dA działa siła wewnętrzna pdA, daje moment
względem punktu O na ramieniu 
dMs   p dA
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 5
Wytrzymałość materiałów
Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych
po uwzględnieniu funkcji naprężenia stycznego równanie przyjmuje postać
d 2
dM s  G
 dA
dx
jeżeli scałkujemy obie strony tego równania, otrzymamy
d
d
2
Ms  G
 dA  GI0

dx A
dx
gdzie I0 oznacza biegunowy moment bezwładności przekroju poprzecznego pręta
względem jego środka ciężkości. Po rozdzieleniu zmiennych w wyrażeniu mamy
Ms
d 
dx
GI 0
Po scałkowaniu obu stron tego równania

l
Ms
0 d  GI 0 0 dx
otrzymamy wzór określający kąt skręcenia pręta
dr inż. Piotr Chwastyk
M sl

GI0
Wprowadzenie – nr 6
Wytrzymałość materiałów
Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych
Moment skręcający Ms uważamy za dodatni, gdy jego wektor skierowany jest na
zewnątrz przekroju badanej części. Ze poprzedniego wzoru wynika, że kąt skręcenia 
jest proporcjonalny do wartości momentu skręcającego Ms i długości pręta l.
Występujący w mianowniku iloczyn modułu sprężystości postaciowej G materiału i
biegunowego momentu bezwładności I0 nazywamy sztywnością skręcania.
W celu wyprowadzenia wzoru na naprężenia styczne przy skręcaniu wyznaczamy ze
związku
d M s

dx GI0
i podstawiamy do wcześniejszej zależności określającej funkcję naprężenia stycznego
Ms
d
 p  G
 G
dx
GI0
stąd
Ms
p 

I0
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 7
Wytrzymałość materiałów
Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych
Największa wartość naprężeń stycznych występuje w punktach przekroju najbardziej
oddalonych od środka ciężkości tego przekroju
Ms
Ms
 max 

I0
W0
 max
gdzie:
W0 = I0/max jest wskaźnikiem wytrzymałości
przekroju na skręcanie.
Ze wzoru wynika, że największa wartość naprężeń stycznych jest równa ilorazowi
wartości momentu skręcającego i wskaźnika wytrzymałości przekroju na skręcanie.
Obliczenia prętów poddanych skręcaniu sprowadzają się do warunku
wytrzymałościowego i warunku sztywności. Porównując te naprężenia z wartością
naprężeń dopuszczalnych skręcających ks otrzymujemy warunek wytrzymałościowy
Ms
 max 
 ks
W0
Drugi podstawowy warunek sprowadza się do określenia wartości kąta skręcenia  pręta i
porównania tej wartości z wartością dopuszczalnego kąta skręcenia dop
M sl

 dop
GI0
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 8
Wytrzymałość materiałów
Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych
Przykład 1
Pręt stalowy o przekroju kołowym, utwierdzony jednym końcem, jest obciążony trzema
momentami skręcającymi M1 = 3 kNm, M2 = 7 kNm, M3 = 6 kNm. Sporządzić wykres
momentów skręcających, maksymalnych naprężeń stycznych i kątów skręcenia. Do
obliczeń przyjąć: d = 8 cm, l = 0,2 m, G = 8  104 MPa.
Rozwiązanie
Na początku obliczamy wartości momentów skręcających w poszczególnych przekrojach
poprzecznych pręta. Momenty skręcające wyznaczamy jako sumę algebraiczną tych
momentów, działających po lewej stronie rozpatrywanego przekroju.
M AB   M 1  3 10 Nm
3
M BC  M 2  M 1  4 10 Nm
3
M CD  M 2  M 1  M 3  2 103 Nm
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 9
Wytrzymałość materiałów
Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych
Otrzymane wartości momentów skręcających
umożliwiają sporządzenie wykresu tych
momentów.
Wskaźnik wytrzymałości przekroju na
skręcanie wynosi
d 4
3
I0

d
W0   32 
 100,25106 m3
d
d
16
2
2
gdzie biegunowy moment bezwładności jest równy
I0 
dr inż. Piotr Chwastyk
d
4
32
 4,01106 m 4
Wprowadzenie – nr 10
Wytrzymałość materiałów
Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych
A więc maksymalne naprężenia styczne w
poszczególnych przekrojach pręta są równe
M
 AB  AB  30MPa
W0
 BC
M BC

 40MPa
W0
 CD
M CD

 20MPa
W0
Kąty skręcenia poszczególnych przekrojów
wynoszą
D  0
M CD  3l
C 
 0,00375rad  0,215
GI0
M BC  l
 B  C 
 0,00125rad  0,0715
GI0
M AB  2l
 A  B 
 0,005rad  0,286
GI0
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 11
Wytrzymałość materiałów
Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych
Przykład 2
Drążony wałek o zmiennym przekroju kołowym jest obciążony momentami skręcającymi
skupionymi i rozłożonymi w sposób ciągły. Sporządzić wykresy momentów skręcających,
maksymalnych naprężeń stycznych i kątów skręcenia. Do obliczeń przyjąć następujące
dane: M1 = 0,5 kNm, M2 = 1 kNm, ms = 2 kNm/m, l = 0,5 m, do = 3 cm, d1 = 5 cm, d2 = 4
cm, G = 8104 MPa.
Rozwiązanie
Sposób rozwiązania zadania jest analogiczny do zastosowanego w przykładzie
poprzednim. Wartość momentu MA w utwierdzeniu można określić, wykorzystując
warunek równowagi w odniesieniu do wszystkich zewnętrznych momentów
skręcających.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 12
Wytrzymałość materiałów
Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych
Warunek równowagi sumy momentów
skręcających względem osi Ax
wzdłużnej wałka jest następujący
M ix  M A  M1  M 2  msl  0
Z równania tego wyznaczamy wartość
momentu MA
M A  M1  M 2  msl  0,5 10 Nm
3
Wartości momentów skręcających w kolejnych przekrojach są równe
M AB  M A  0,5 10 Nm
3
M BC  M A  M 1  0
M CD  M A  M 1  M 2  ms ( x  2l )  3  2 x
Dla x=1m mamy MCD=1103Nm
Dla x=1,5m mamy MCD=0
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 13
Wytrzymałość materiałów
Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych
Wskaźniki wytrzymałości przekrojów na
skręcanie wynoszą
I 01 2 I 01 2 (d14  d 04 )
W01 


 21,4 106 m3
d1
d1
32d1
2
I 02 2 I 02 2 (d 24  d 04 )
W02 


 8,6 106 m3
d2
d2
32d 2
2
Stąd maksymalne naprężenia styczne w
poszczególnych
odcinkach
wałka
wynoszą
M AB
 AB 
 23,3MPa
W01
 BC  0
M CD
 C1 
 46,6 MPa
W01
M CD
C2 
 116MPa
W02
 CD  0
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 14
Wytrzymałość materiałów
Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych
Najbardziej niebezpiecznym przekrojem
wałka jest przekrój C od strony prawej,
bowiem tam naprężenia styczne osiągają
największą wartość 116 MPa.
Kąty skręcenia są odpowiednio równe
A  0
M ABl
B 
 0,0056rad  0,322
GI01
M BC l
C   B 
  B  0,0056rad  0,322
GI01
M CD
3  2x
 D  C  
 C  
 0,0233rad  1,362
GI02
GI02
2l
2l
3l
dr inż. Piotr Chwastyk
3l
Wprowadzenie – nr 15
Wytrzymałość materiałów
Zagadnienia statycznie niewyznaczalne przy skręcaniu
Przeprowadzimy analizę pręta o średnicy d
utwierdzonego na obu końcach i obciążonego
momentem skręcającym M w przekroju
znajdującym się w odległości l od lewego końca
pręta A. W obu utwierdzonych końcach pręta A i
C wystąpią momenty jako reakcje MA i MC. Po
ułożeniu równania momentów względem osi
podłużnej pręta
M ix  M A  M  M C  0
Stwierdzamy, że warunek równowagi nie wystarcza do określenia reakcji więzów.
Zatem, zagadnienie jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalne. Aby wyznaczyć
wielkości statycznie niewyznaczalne, należy napisać równanie współzależności
odkształceń, które dotyczy kątów skręcenia poszczególnych przekrojów pręta
 AC
dr inż. Piotr Chwastyk
M Al M B  2l M Al ( M A  M )  2l




0
GI0
GI0
GI0
GI0
Wprowadzenie – nr 16
Wytrzymałość materiałów
Zagadnienia statycznie niewyznaczalne przy skręcaniu
Po uproszczeniu i rozwiązaniu powyższego równania otrzymujemy wartość momentu
utwierdzenia MA
2
MA  M
3
Podstawiając tę wartość do równania sumy momentów, obliczamy moment utwierdzenia MC
1
MC  M
3
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 17
Wytrzymałość materiałów
Zagadnienia statycznie niewyznaczalne przy skręcaniu
Przykład
Jakim momentem skręcającym MB należy obciążyć przekrój B wałka, pokazanego na
rysunku, aby doznał on skręcenia o kąt B względem przekroju A? Obliczyć maksymalne
naprężenie styczne i wskazać najbardziej niebezpieczny przekrój wałka.
Rozwiązanie
Reakcjami utwierdzeń są momenty MA i MC, których zwroty przyjmujemy dowolnie.
Warunkiem równowagi dla wałka będzie suma momentów skręcających
M ix  M A  M B  M C  0
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 18
Wytrzymałość materiałów
Zagadnienia statycznie niewyznaczalne przy skręcaniu
Drugie równanie konieczne do wyznaczenia
nieznanych momentów MA i MC będzie
dotyczyło kątów skręceń wałka. W tym celu
układ jednokrotnie statycznie niewyznaczalny
zastępujemy równoważnym układem (rysunek)
po odrzuceniu utwierdzenia C i zastąpieniu
jego oddziaływania na wałek momentem MC. Z
warunków zamocowania wynika, że kąt
skręcenia AC jest równy zeru. Zatem drugie
równanie
współzależności
odkształceń
możemy zapisać
 AC
( M B  M C )l M C l


0
GI01
GI02
Po uproszczeniu możemy wyrazić moment MC w funkcji momentu MB
I 02
M C  M B
I 01  I 02
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 19
Wytrzymałość materiałów
Zagadnienia statycznie niewyznaczalne przy skręcaniu
Kąt skręcenia w przekroju B wynosi
G
M B  ( I 01  I 02 ) B
l
Podstawiając do powyższego wzoru wyrażenie określające wartość momentu MC
otrzymamy
( M C  M B )l
B 
GI0
Maksymalne naprężenia styczne w poszczególnych przekrojach wałka są równe
dr inż. Piotr Chwastyk
 AB
MC  M B G
D

 B
W01
l
2
 BC
MC G
d

 B
W02
l
2
Wprowadzenie – nr 20
Wytrzymałość materiałów
Zagadnienia statycznie niewyznaczalne przy skręcaniu
Wykresy momentów skręcających i
maksymalnych naprężeń stycznych
przedstawiono rysunku. Maksymalne
naprężenia styczne na odcinku wałka
AB są większe od maksymalnych
naprężeń stycznych na części BC
 AB   BC
Stąd niebezpieczny przekrój wystąpi
na części AB wałka.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 21
Wytrzymałość materiałów
Skręcanie prętów o przekroju niekołowym
Wyprowadzone wzory na kąt skręcenia i naprężenia styczne są ważne tylko dla prętów o
przekrojach kołowych. Przy skręcaniu prętów o przekrojach niekołowych, np. o przekroju
prostokątnym, obserwujemy bardziej złożony obraz odkształceń niż w przypadku pręta o
przekroju kołowym. Pod wpływem przyłożonego momentu skręcającego przekroje
poprzeczne tego pręta ulegają wypaczeniu (deplanacji). Oznacza to, że pierwotnie płaski
przekrój nie będzie płaski. Wynika stąd wniosek, że w przypadku skręcania prętów o
przekrojach niekołowych nie może być stosowana hipoteza płaskich przekrojów. A więc
metodami wytrzymałości materiałów nie można określić odkształceń i naprężeń
stycznych. Zagadnienie to zostało opracowane na podstawie teorii sprężystości
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 22
Wytrzymałość materiałów
Skręcanie prętów o przekroju niekołowym
Na rysunku przedstawiono rozkład naprężeń stycznych w
przekroju prostokątnym przy skręcaniu swobodnym pręta.
Skręcaniem swobodnym nazywamy takie skręcanie, które
pozwala na swobodną deplanację (odkształcenie przestrzenne)
przekroju poprzecznego.
Największe naprężenia styczne występują w środku
dłuższego boku h prostokąta. Możemy je obliczyć ze wzoru
 max
MS

hb 2
M Sl
Kąt skręcenia pręta o długości l określa zależność  
3
Ghb
Wartości współczynników α i  otrzymane na podstawie teorii sprężystości zamieszczono
w tablicy.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 23