Transcript Konstrukcje rozciągane i ściskane

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa
w Nysie
Instytut Zarządzania
Projektowanie Inżynierskie
Konstrukcje rozciągane i ściskane
Prowadzący: dr inż. Piotr Chwastyk
e-mail: [email protected]
www.chwastyk.pwsz.nysa.pl
Wytrzymałość materiałów
Analiza pręta statycznie wyznaczalnego
Przy osiowym rozciąganiu i ściskaniu w przekrojach poprzecznych pręta występują tylko
naprężenia normalne . Badania doświadczalne wykazują, że przy ściskaniu większość
materiałów podlega tym samym zależnościom, co przy rozciąganiu. Zatem, rozpatrzymy
przypadek pręta rozciąganego siłą N.
Na podstawie zasady de Saint-Venanta przyjmuje się, że niezależnie od sposobu
przyłożenia obciążenia w poszczególnych przekrojach poprzecznych pręta naprężenia
normalne są rozłożone równomiernie ( = const). Stąd
N   dA    dA  A,
A
dr inż. Piotr Chwastyk
A
N

A
Wprowadzenie – nr 2
Wytrzymałość materiałów
Analiza pręta statycznie wyznaczalnego
Podczas rozciągania długość początkowa pręta l0 zwiększa się, a wymiary poprzeczne
ulegają zmniejszeniu.
Bezwzględne wydłużenie pręta jest równe
Nl0 
l 
 l0
EA E
W celu obliczenia naprężeń i odkształceń w poszczególnych przekrojach pręta należy
wyznaczyć rozkład sił wzdłużnych N. Wartość siły wzdłużnej w dowolnym przekroju
poprzecznym jest równa sumie algebraicznej rzutów na oś pręta wszystkich sił
zewnętrznych Pi przyłożonych po jednej stronie rozpatrywanego przekroju
n
N   Pi
i `
W przypadku gdy rozpatrywany pręt składa się z kilku odcinków o różnych
przekrojach, wydłużenie bezwzględne pręta oblicza się, sumując algebraicznie zmiany
odległości poszczególnych jego odcinków
n
N i li
l  
i 1 EAi
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 3
Wytrzymałość materiałów
Analiza pręta statycznie wyznaczalnego - przykład
Przykład. Przeprowadzić analizę pryzmatycznego pionowego
pręta, obciążonego dwiema siłami P1, P2 i ciężarem własnym.
Wyznaczyć wartości sił rozciągających, naprężeń normalnych i
wydłużeń poszczególnych części pręta. Przyłożenie sił
zewnętrznych i geometrię pręta określają wymiary l1 i l2. Przekrój
poprzeczny pręta jest równy A, współczynnik sprężystości
wzdłużnej wynosi E, a ciężar właściwy materiału pręta jest równy .
Rozwiązanie
Reakcję w miejscu zamocowania pręta oblicza się z warunku
równowagi sił zewnętrznych
RC  P1  P2  A(l1  l2 )
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 4
Wytrzymałość materiałów
Analiza pręta statycznie wyznaczalnego - przykład
Przy zastosowaniu metody przecięć wyznaczono wartości sił normalnych w przekrojach
określonych współrzędnymi xa i xb a wykres tych sił przedstawiony jest na rysunku
Na  P1  Axa ,
dr inż. Piotr Chwastyk
Nb  P1  P2  Axb
Wprowadzenie – nr 5
Wytrzymałość materiałów
Analiza pręta statycznie wyznaczalnego - przykład
wartości naprężeń normalnych wynoszą
P1  P2
C 
  (l1  l2 ),
A
dr inż. Piotr Chwastyk
P1  P2
B 
 l1 ,
A
P1
A 
A
Wprowadzenie – nr 6
Wytrzymałość materiałów
Analiza pręta statycznie wyznaczalnego - przykład
Odkształcenia poszczególnych odcinków pręta
lBC
( P1  P2 )l2 l


,
EA
E
2
2
l AB
P1l1 l


EA E
2
1
Stąd całkowite wydłużenie pręta wynosi
l AC
dr inż. Piotr Chwastyk
( P1  P2 )l2  P1l1  (l  l )


EA
E
2
1
2
2
Wprowadzenie – nr 7
Wytrzymałość materiałów
Konstrukcje statycznie wyznaczalne
Układy statycznie wyznaczalne charakteryzują się tym, że siły wewnętrzne występujące w
poszczególnych elementach tych układów mogą być wyznaczone z równań równowagi.
Obliczenia wytrzymałościowe elementu rozciąganego lub ściskanego wykonuje się w
celu sprawdzenia czy są spełnione warunki wytrzymałościowe
P
 r   kr ,
A
P
 c   kc
A
Naprężenie dopuszczalne na ściskanie kc określa się podobnie jak kr,
Re
kc 
n
gdzie: Rc - wytrzymałość na ściskanie.
Spełnienie warunków wytrzymałościowych bardzo często nie wystarcza do właściwego
zaprojektowania konstrukcji. Z tego względu musi być spełniony warunek sztywności
u  udop
Według tego warunku odkształcenie lub przemieszczenie punktów projektowanego
elementu nie powinno przekroczyć wartości odkształcenia lub przemieszczenia,
przyjętego dla danej konstrukcji jako dopuszczalne.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 8
Wytrzymałość materiałów
Konstrukcje statycznie wyznaczalne - przykład
Przykład. Obliczyć naprężenia w dwóch prętach o długości l i przekroju poprzecznym A,
połączonych przegubowo i obciążonych siłą P. Określić przemieszczenie węzła A, jeżeli
pręty tworzą kąt α z kierunkiem pionowym.
Rozwiązanie
Po
przyjęciu
prostokątnego
układu
współrzędnych
Axy
otrzymuje
się
następujące równania równowagi
P
ix
 N1 sin   N2 sin   0,
P
iy
 N1 cos  N2 cos  P  0
Po rozwiązaniu otrzymanego układu dwóch równań wyznacza się wartości sił
wewnętrznych w prętach
P
N1  N 2 
2 cos 
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 9
Wytrzymałość materiałów
Konstrukcje statycznie wyznaczalne - przykład
Naprężenia normalne w tych prętach wynoszą
P
1   2 
2 A cos 
Wydłużenie bezwzględne każdego pręta jest równe
Pl
l 
2EA cos 
Zatem przemieszczenie węzła A wynosi
l
Pl
uA 

2
cos  2 EA cos 
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 10
Wytrzymałość materiałów
Konstrukcje statycznie niewyznaczalne
W dotychczas rozpatrywanych przykładach dotyczących rozciągania i
ściskania prętów siły wewnętrzne można było wyznaczyć na podstawie
równań równowagi Takie konstrukcje nazywa się statycznie wyznaczalnymi.
Istnieje jednak wiele zadań, kiedy liczba równań równowagi jest mniejsza od
liczby sił wewnętrznych Konstrukcje takie są nierozwiązywalne przy
zastosowaniu równań statyki ciał doskonale sztywnych i noszą nazwę
układów statycznie niewyznaczalnych. Do obliczenia niewiadomych sił
należy wtedy uwzględnić odkształcenia i przemieszczenia prętów. Uzyskane
w ten sposób dodatkowe równania współzależności odkształceń stanowią
zależności o charakterze geometrycznym. W celu połączenia równań
równowagi z równaniami geometrycznymi należy posłużyć się związkami
fizycznymi uzależniającymi wzajemnie siły wewnętrzne i przemieszczenia.
W przypadku materiałów liniowosprężystych związki te wynikają
bezpośrednio z prawa Hooke'a.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 11
Wytrzymałość materiałów
Konstrukcje statycznie niewyznaczalne
Rozpatrzmy układ składający się ze sztywnej belki AD = 4a zamocowanej na stałej
podporze przegubowej w punkcie A, zawieszonej na dwóch jednakowych prętach o
sztywności rozciągania EA i długości l, obciążonej w punkcie D pionową siłą P.
Analizowany układ jest jednokrotnie
statycznie niewyznaczalny, gdyż
występują dwie siły normalne w
prętach N1 i N2 oraz dwie składowe
reakcji RAx i RAy, a dysponujemy
trzema równaniami równowagi.
Brakuje nam więc jednego równania
współzależności odkształceń.
Równania równowagi
przedstawić następująco
możemy
 P  R  0
P  R  N  N  P  0
 M  P  4a  N  2a  N  3a  0
ix
Ax
iy
Ay
A
dr inż. Piotr Chwastyk
1
2
1
2
Wprowadzenie – nr 12
Wytrzymałość materiałów
Konstrukcje statycznie niewyznaczalne
Pod działaniem siły P belka AD obróci się o
pewien kąt  dookoła stałej podpory
przegubowej A. Wydłużenia bezwzględne
prętów wyniosą odpowiednio l1, i l2. Stąd
równanie współzależności odkształceń
l1 l2

2a 3a
Po zastosowaniu związków fizycznych
N1l
N 2l
l1 
, l2 
EA
EA
otrzymamy
N 2  1,5 N1
Stąd po podstawieniu do równań równowagi znajdujemy
8
12
7
N1  P, N 2  P, RAy   P, RAx  0
13
13
13
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 13
Wytrzymałość materiałów
Jednowymiarowy stan naprężenia
Przez każdy punkt pręta rozciąganego można przeprowadzić nieskończoną
liczbę przekrojów pod różnymi kątami do jego osi i każdemu przekrojowi
będzie odpowiadało inne naprężenie. Rozpatrzmy pręt pryzmatyczny
rozciągany siłami osiowymi P. W przekroju poprzecznym B-B, prostopadłym
do osi pręta, naprężenia normalne rozkładają się równomiernie.
P
x 
A
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 14
Wytrzymałość materiałów
Jednowymiarowy stan naprężenia
W celu przeprowadzenia analizy stanu naprężenia wycina się myślowo z rozpatrywanego
pręta element dwoma równoległymi przekrojami, prostopadłymi osi pręta. W obu
przekrojach występują naprężenia normalne x, równomiernie rozłożone w tych
przekrojach. Następnie przecina się ten element pręta płaszczyzną przechodzącą pod
kątem α do przekroju poprzecznego. Taki sam kąt α będzie tworzyła normalna n do
przeciętego przekroju z osią pręta. Aby odcięta część elementu pręta pozostawała nadal w
równowadze, naprężenia normalne α i styczne α działające w przeciętym przekroju
muszą równoważyć naprężenia x.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 15
Wytrzymałość materiałów
Jednowymiarowy stan naprężenia
Z warunków rzutów sił na oś normalną n i styczną t do przekroju otrzymuje się
 P    A   A cos cos  0
 P    A  A cos sin   0
n
x
t
stąd
x
    x cos 
    x sin  cos  0,5 x sin 2
2
Wartości tych naprężeń zależą od kąta α. Naprężenia normalne osiągają największą
wartość α = x dla α = 0, maleją ze zwiększaniem kąta α i są równe zeru dla α = 0,5.
Naprężenia styczne natomiast rosną ze zwiększaniem kąta α i osiągają maksymalną
wartość max = 0,5x dla α = 45°, następnie maleją i są równe zeru dla α = 0,5 .
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 16