Transcript Wytrzymałość materiałów sem III | 468 kB

1
Elementy:
Przestrzeń
Czas
Ciało
Zajmiemy się wyłącznie przestrzenią euklidesową,
opisaną za pomocą współrzędnych kartezjańskich
prostokątnych. Zwykle będzie to przestrzeń
dwuwymiarowa, czasami trójwymiarowa.
z
y
y
x
x
Czas
W statyce uważamy, że procesy nie zależą od
czasu, czyli są stacjonarne
Ciało
Ciało zajmuje część przestrzeni i jest obdarzone
takimi cechami fizycznymi jak masa. Modelami
ciał, stosowanymi w mechanice są: punkt
materialny, tarcza i bryła
Stopniami swobody ciała nazywamy liczbę
niezależnych od siebie ruchów, określających
położenia ciała w przestrzeni
Ważny jest tutaj przymiotnik „niezależny”, gdyż
ruchów od siebie zależnych może być znacznie
więcej
Punkt materialny
z
y
v
w
u
u
v
y
x
Na płaszczyźnie
x
2 stopnie swobody
W przestrzeni
3 stopnie swobody
Tarcza materialna na płaszczyźnie

y
v
u
x
3 stopnie swobody
4 stopnie swobody
z
BRYŁA W PRZESTRZENI
z
y
z
y
x
x
y
3 translacje + 3 obroty
6 stopni swobody
x
Więzami nazywamy ograniczenia ruchów,
narzucone na ciało.
Więzy zmniejszają liczbę stopni swobody ciała.
Jeśli liczba więzów od siebie niezależnych jest
równa liczbie stopni swobody, ciało pozostaje
nieruchome.
Więzy nie mogą być zakładane dowolnie i muszą
spełniać warunki, które rzeczywiście odbierają
stopnie swobody.

Więzy narzucone na punkt materialny
z
y
y
x
Na płaszczyźnie
x
W przestrzeni
Więzy narzucone na tarczę:
prawidłowo
nieprawidłowo
Podpora przegubowo-przesuwna
Odebrany jeden stopień swobody – ruch prostopadły do linii przesuwu
Podpora przegubowo-nieprzesuwna
Odebrane dwa stopnie swobody – ruchy translacyjne
Podpora utwierdzona
Odebrane trzy stopnie swobody – ruchy translacyjne i obrót
Skalary a wektory
Skalarami nazywamy takie wielkości statyczne,
które charakteryzuje tylko jedna liczba.
Przykładami skalarów są na przykład:
 Temperatura [K]
 Masa [kg]
 Praca [J]
 Moc [W]
 Objętość [m3].



Wektory
Są to wielkości, do których opisu potrzebnych jest kilka
liczb. Często jest wykorzystywana interpretacja
geometryczna wektora. W tej interpretacji wektor jest
symbolizowany przez odcinek opatrzony strzałką
Zatem do opisu takiej wielkości potrzeba 3 liczb:
 Moduł (długość ) wektora
 Kierunek wektora
 Zwrot wektora

Suma wektorów
A
CAB
C
B
B
C  A B  B A
C
A
C
B
A

Różnica wektorów
-B
C
B
A
C  A  B  A  (B)
AB  BA

Iloczyn skalarny wektorów
B

A
c  A  B  A  B  cos


c  BA

Iloczyn wektorowy wektorów
C  AB
CA  0
C
B
A

CB  0
C  A  B  sin 
B

A
y
A
Na płaszczyźnie
Ay
x
Ax
y
C
Cy
Ay
W  A B C
B
By
Wy
W
A
Bx
Ax
Wx  Ax  Bx  Cx
Cx
Wx
x
Wy  Ay  By  Cy
W przestrzeni
z
A
z
Az
A
B
W
Ay
Ax
y
C
x
x
W  A B C
Wx  Ax  Bx  Cx
Wy  Ay  By  Cy
Wz  Az  Bz  Cz
y

Układ sił nazywa się zbieżnym, jeśli kierunki
działania wszystkich sił przecinają się w
jednym punkcie.
P2
P3
P
P1
Pn
P  P1  P2  P3  ...Pn
P – wypadkowa układu sił zbieżnych
Pn
P1
 P  P  P  P  .... P  0
i
P2
1
2
3
P2
Pn 1
P3
P1
Pn 1
P3
Pn
Na płaszczyźnie
P
ix
P
 P1x  P2 x  P3x  .... Pnx  0
iy
W przestrzeni
 P1y  P2 y  P3 y  .... Pny  0
P
 P1x  P2 x  P3x  .... Pnx  0
P
iy
 P1y  P2 y  P3 y  .... Pny  0
P
 P1z  P2 z  P3z  .... Pnz  0
ix
iz
n

W przestrzeni
z
M0  r  P
M0
F
P
M0  F
r
0
y
P  P1  P2  P3  ...Pn
x
z
r
P1
Pn
P2
P3
x
n
n
i 1
i 1
M 0  r  P  r  Pi   M 0i
0
y
l
Ml  M0  r  P
P
0 – dowolny punkt prostej
0
P'
0'
h
P’ – rzut siły P na płaszczyznę prostopadłą do l
M l  P'  h
Moment siły względem l jest równy zeru gdy:
Wartość siły P równa jest zeru,
Linia działania siły P przecina się z osią l
Siła P jest równoległa do osi l
Zgodnie skierowane
R  P1  P2
R
h
S
a
S
b
P1
R1
a S

h P1
S  h  a  P1
b S

h P2
S  h  b  P2
czyli
P2
R2
a  P1  b  P2
a P2

b P1
Przeciwnie skierowane
R  P2  P1
ab S

h
P1
R1
P1
a
S
S  h  (a  b)  P1
b S

h P2
b
S
S  h  b  P2
czyli
P2
R2
(a  b)  P1  b  P2
h
b
P
 1
a  b P2
R
Dwie siły równe i przeciwnie skierowane
R0
M
P
M 0  P  b  P  (a  b)  P  a
a
Moment pary sił względem dowolnego
punktu jest stały
P
b
0
a b
P
P
M  Pa
a
A
P
a
B
A
P
B
P3
M n  Pn  hn
P2
P3
Pn
h3
A
hn
P1
Pn
h1
h2
P1
P2
M 3  P3  h3
M 1  P1  h1
M 2  P2  h2
P  P1  P2  P3  ... Pn
Px  P1x  P2 x  P3x  ... Pnx
M  M1  M 2  M 3  ... M n
Py  P1y  P2 y  P3 y  ... Pny
M  M1  M 2  M 3  ... M n
P3
P2
M3
P3
Pn
M2
P1
P1
P2
Pn
Mn
M1
M1  M 2  M 3  ... M n  0
P1
P1x  P2 x  P3 x  ... Pnx  0
P1y  P2 y  P3 y  ... Pny  0
Pn
P2
P3
z
M
P


P
0
y
x
z
y
0
x
P1  P2  P3  ... Pn  0
M1  M 2  M 3  ... M n  0
P1x  P2 x  P3 x  ... Pnx  0
M1x  M 2 x  M 3x  ... M nx  0
P1y  P2 y  P3 y  ... Pny  0
M1y  M 2 y  M 3 y  ... M ny  0
P1z  P2 z  P3z  ... Pnz  0
M1z  M 2 z  M 3z  ... M nz  0
A

P
E
H
l
l


P
  E 
Naprężenie:   P MPa 
A
1Pa 
1N
1m 2
Prawo Hooke’a
E  Moduł Younga
1MPa  106 Pa
l
Odkształcenie:   l
[niemianowane]
Stal: E  206GPa
E  tg
P

f
P
0,4 f


E  tg
Beton
E  26  32GPa
Statyczna wyznaczalność
r  p  2w  0
gdzie
r 3
p  25
w  14
r – liczba reakcji podpór
p – liczba prętów
w – liczba węzłów
3  25  2 14  0
Metoda równoważenia węzłów
HA
VA
VB
Metoda równoważenia węzłów
Przypadki szczególne
y
N1
x
P  N
x
P
y
2
0
 N1  0
Jeśli w nieobciążonym węźle
kratownicy schodzą się dwa pręty
siły w nich są zerowe
N2
x
N2
N3  0
N1
N3
N1  N 2
y
Jeśli w nieobciążonym węźle
kratownicy schodzą się trzy pręty, przy
czym dwa pręty leżą na jednej prostej,
to siła w trzecim pręcie jest zerowa
Metoda Rittera
G
G
K
K
HA
D
D
VA
VB
y
G
K
HA
g D
VA
d
Punkty Rittera
M
d
0D
M
g
 0G
P
y
0K
Przykład – kratownica o pasach równoległych
P
G
h
HA

G
1
P
3
2
VB  P
3
HA  0
VA 
K
S K
S
D
D
VA
VB
a
a
a
a
a
a
y
G
d
S
h
K
M
d
a
P
h
P
 M g  3  2a  G  h  0
P
3
G
a
P
 3a  D  h  0
3
D
g D
a

a
2a
P
3h
P
 K sin   0
3
P
K 
3 sin 
P
 Py  3  S  0
P
S
3
P
y

Przykład -Kratownica wspornikowa z drugorzędnym podwieszeniem
K1 K 2
S1
S2
P
P
P
a
S1  0
a
K1  0
S2
S2  P
P
a
a
a
a
x
a
a
P
x
K2
x
 K2  P 
K2  P 
P
a
2
2
a
2
0
2
Przykład- kratownica o pasach nierównoległych
G
P
G
HA  0
V A  VB 
K
K
P
2
HA
D
D
VA
G
M
d
rG
K
g
P
2
rK
VB
d

P
 xd  D  rD  0
2
M
rD
D
g

P xd

2 rD
P
 x g  G  rG  0
2
D
G
k
xg
M
xd
xk
k

P
 xk  K  rK  0
2
P x
K   k
2 rK
P xg

2 rG



y


P

y
A
y
P
 y  A P  0
y 
P
x




P  0

A
x


y
y
P
A
n

t
 P    A  


n
y
 P    A  
A
t
y
 A  cos  cos  0
 A  cos  sin   0
czyli
    y  cos2 
A  cos 
1
2
    y  cos   sin    y  sin 2
y
zatem
  max   y
1
2
  max   y
przy
przy
 0
sin 2  1  2  900    450
2
 P    A 
n

1
1
 P    A 
t
1
1
 A cos  cos   2  A sin   sin   0
 A  cos  sin    2  A  sin   cos  0
zatem
  1  cos2    2  sin 2 
  (1   2 )  sin   cos
2
n
Ale jest


1
A

A cos 
zatem
1
1
2
2
1
  ( 1   2 ) sin 2
2
1
2
1
2
   1 (1  cos 2 )   2 (1  cos 2 )  ( 1   2 )  ( 1   2 ) cos 2
A sin 
2
1
cos2   (1  cos 2 )
2
1
sin 2   (1  cos 2 )
2
1
sin   cos   sin 2
2
t
1
1
2
2
1
  ( 1   2 ) sin 2
2
  ( 1   2 )  ( 1   2 ) cos 2
Podnieśmy obustronnie do kwadratu, potem
dodajmy stronami
gdyż
1
1
[  ( 1   2 )] 2   2  [ ( 1   2 )] 2
2
2
sin 2 2  cos2 2  1
Koło Mohra
( x  x0 )2  ( y  y0 )2  r 2
r
y
W naszym przypadku
x

y0
2

2
y
1
x


x0
y
2

y

x

1
1

2


y
1
x
y
x
2


2

0


x
z
z
 zy
 zx
 yz
y
 xz
 xy
 yx
y
x
 ij   ji
x
z
(1    )dx
dx
(1   )dz
dz



Współczynnik Poissona
 v  
(1    )dy
dy
Względna zmiana objętości
z
V odksz  (1   )dz  (1  )dy  (1  )dx
V odksz  V (1   )dz  (1  )dy  (1  )dx  dx  dy  dz


V
dx  dy  dz
  (1   )(1  )2 1  (1   )(1  2  2 2 ) 1
Współczynniki Poissona:
V  dx  dy  dz
Objętość
Stal -   0,3
   (1  2 )
gdyż
Beton -   0,15  0,2
2 0
3  0
Guma -   0,5
0    0,5
1
[ x  ( y   z )]
E
1
 y  [ y  ( z   x )]
E
1
 z  [ z  ( x   y )]
E
x 
z
z
x
y
Prócz tego:
(jeśli izotropia)
y
y
x
G
z
x
Po odwróceniu:
x 
G

E
(1  ) x  y  z
(1  )(1  2 )

y 
E
(1  ) y  x  z
(1  )(1  2 )
z 
E
(1  ) z  x  y
(1  )(1  2 )

- Moduł Kirchhoffa



E
2(1  )
 xy
G

 yz  yz
G

 zx  zx
G
 xy 
 xy  G   xy
 yz  G   yz
 zx  G   zx
Koło Mohra
Czyste ścinanie:


1

1 

4




2 

2

 
2





1
1
1 
[  ( )] 

E
E


1 


tg

 tg

1  tg

4
2 
2
tg (  ) 



4 2 1  tg tg
1  tg
4 2
2


1

2
tg (  ) 

4 2 1
2

1
1 
2


1  1
2
G
 
E
2(1  )

   2
2
G


G
- Moduł Kirchhoffa
y
c  a
c  b
b
c
z
z  0
a
c
x 
z  

1 
z
c(1   z )
( x   y )  0
x
E


E
2
(
1


)




( x   y )  (1  2 )(1  2 ) (1  2 ) x  (1  2 ) y 
x
y

(1  )(1  2 ) 
1 

E
( x   y )
1  2
E
y 
( y   x )
1  2
x 
y
Bardzo długi kształt pryzmatyczny
z
x
 z  ( x   y )  0
x 
z  0
y 
z

E
(1  ) x  y
(1  )(1  2 )


E
(1  ) y  x
(1  )(1  2 )

x,
x
P
A
VA
B
0,4l
0,6l
VB
M
A
VB  l  P  0,4l  0
VB  0,4P
VA  0,6P
M  0,6Pl  x
M
0,24Pl
T
0,6 P
0  x  0,4l
M  0,4Pl  x
0  x,  0,6l
T  0,6 P
0  x  0,4l
T  0,4 P
0  x,  0,6l
0,4 P
Jeżeli w przedziale nie działa żadne obciążenie, wykres momentów w tym przedziale jest linią prostą
x
q
A
VA
B
l
VB
M
 V A  l  ql 
B
VA 
ql
2
ql
2
ql
x qx
M   x  qx   (l  x)
2
2 2
VB 
M
T
l
0
2
ql 2
8
ql
2
T
ql
2
ql
 qx
2
y1
ys
x1
y
dA
y1
S x   ydA
A
y  ys
Moment statyczny figury względem osi x
xs
xs
x  xs
A
ys
y
Tu jest
y  0  Sx  0
ale
y1  0  S x1  0
x
x
Istnieje taka oś
xs  S xs   ( y  ys )dA  0
Punkt przecięcia się tych osi nazywa się środkiem
ciężkości figury
A
ys  S ys   ( x  xs )dA  0
Podobnie
A
 ( y  y )dA   ydA y  dA 0
s
A
s
A
A
ale
 dA  A  S
x
 ys  A  0
 ys 
A
Podobnie
Sx
A
xs 
Sy
A
Figury symetryczne (prostokąt, koło)
d

y

r

h
ys
x
x
b
2 r
S xs 
2
   sin   d  d   sin d  
0 0
b
h
S x   dx ydy  b 
0
A  bh
0
2 h
y
2
 ys 
0

2
bh
h
 bh 
2
2
bh h h
 
bh 2 2
r
0
2
S xs  cos 0 
0
r3
r3
 (1  1)   0
3
3
2
d
d
a
y
x•

Równanie brzegu

a
y
b
b
x
b
0
0
0
S x   ydA   (  dx ) ydy   x  ydy 
b
A
b
a 2
ab3 ab2
y dy 

b 0
3b
3
ys
y
ys 
S x ab2 2 2


 b
A
3 ab 3
x
x•
 r

r
0 0
0
0
S xs     sin   d  d   sin d   2 d
r

2r

ys
S xs  cos 0 
r3
r3 2
 (1  1)   r 3
3
3 3
1
A   r2
2
ys 
Sx 2 3 2
4
 r 

r
2
A 3
 r
3
ys
y
J x   y 2 dA  0
dA
A
xs
b
x  xs
A
Szczególnie ważne są momenty bezwładności względem osi
przechodzących przez środek ciężkości
y  ys  a
a
y
J x   y 2dA   ( ys  a)2dA   ys dA  2a  ys dA  a 2dA
2
x
A
x
A
A
J x   ys dA  2a ys dA  a 2  dA
2
A
A
Ponieważ xs przechodzi przez środek ciężkości, zatem
 y dA  S
s
x
0
A
czyli
J x  J xs  a2 A
Wzór Steinera
A
A
A
Prostokąt
h
2
h
b 2

xs
xs
h
3 2
y
J xs    y dydx  b  y dy  b
3
h
0 h
2

h
2
h
2
 b[
2

2
2

h
2
bh3
h3
h3
 ( )] 
12
24
24
b
Trójkąt
y
b
Jx

xs
h
y
x•
b
y
h
h
b h 4 bh3
b 3

 
  y dA   (  dx ) y dy   x  y dy   y dy
h
4
4
h
0
0
A
0 0
h
xs
x•

Równanie brzegu
2
h
x
2
2
3
3
3
2
J xs  J x  ys  A  bh  4 h 2  bh  bh  4 h 2  bh  ( 1  2 )bh3  bh
4 9
2
4 9
36
4 9
2
2
ys  h
3
x
Koło
2 r
d
J xs 

y

r

2
2
J xs 

2
0
2
 sin 2
rz
J xs 

4
(rz  rw )
4

0
Rura
rw
2
0 0
d
r
sin   d  d   sin d   3d
2
4
4
4
r
(
0
0
2
r4  r4
 0)  
2
4
4
d
x
y
z
dx
d

M
z
dx
x
y
z
dx  (dx)
(dx) ( z   )d  d z



dx
d

  E  E
z

Równania równowagi
P
ix
E
  dA  0

A
 zdA  0
A
Oś obojętna przechodzi przez środek ciężkości przekroju
 M iy  M   zdA  0
M
A
Mz M
 E

z
EJ
J
 max 
W
E

2
 z dA 
A
EJ

M
W
Wskaźnik wytrzymałości
1


M
EJ
T
M  dM
M
x
z


T  dT
dx

 0
  d
h
2
x

y
b
N
z
N  dN

d
dx
h
2
h
2
M
M
N   dA   bd  S y
J z
J
z
N  dN 
 P  N  dN  N bdx  0

x
h
2
M  dM
M  dM
bd 
Sy

J
J
z
dN 1 dM S y TS y
 


dx b dx Jb Jb
h
2
h
2
h
b h2
S y   bd  (  z 2 )
2 4
z

 max 
3 T
2 bh
b
TS y
Jb
T 12 b h 2
  3   (  z2)
bh b 2 4
 max 
3 T
2 bh
Ms
ds  dx  d
 
Ms
d
dx
  G  G
dx



ds

dx
d

d
dx

dM s  dA    G

dA
Ms  G
A
d 2
 dA
dx
d
d 2
d
 dA  G
 2 dA  GJ 0

dx
dx
dx A
r
gdzie
Biegunowy moment bezwładności
J 0    2 dA
A
M s  GJ 0
  J0





 max 
Ms
W0
W0 
J0
r
Ms

J0
Rozkład liniowy
 max
gdzie
r
Wskaźnik wytrzymałości przy skręcaniu
Nie obowiązuje założenie płaskich przekrojów. Rozwiązania są przybliżone
 max
h
 max
W połowie dłuższego boku
W przybliżeniu
 max 
Ms
  h  b2
b
h
b
1

0,208
2
0,246
4
0,282
8
0,307

0,333
Założenia:

n

 n - Naprężenie niszczące
n
Jeśli pręt ściskany lub rozciągany to:
 n     n
W złożonym stanie naprężenia nie sposób ustalić naprężenia niszczącego  x , y , z , xy , yz , zx
Skoncentrujmy się na stanie płaskim
 x ,  y ,
Ustalenie , jaki jest wpływ składowych stanu naprężenia na bezpieczeństwo konstrukcji to przedmiot
hipotez wytrzymałościowych
Stan naprężenia w punkcie można opisać albo za pomocą  x , y ,
albo też naprężeń głównych 1 , 2
x

2


2
y
1
Wytężenie materiału to funkcja
W ( x , y , )  W (1, 2 )
Porównajmy to z wytężeniem pręta rozciąganego osiowo
A
P
P
P

A
Zatem: W ( x , y , )  W (1, 2 )  W ( )

Postać funkcji W zależy od przyjętej hipotezy wytrzymałościowej
Wprowadźmy pewne zastępcze naprężenie
zależne od
1 , 2
lub
 red
( naprężenie zredukowane)
 x ,  y ,
Dla tego naprężenia ocenimy bezpieczeństwo tak jak przy rozciąganiu osiowym
Zatem musi być
  n   red   n
Hipoteza największego naprężenia normalnego
 red   1
lub
 red   2
Gdyż naprężenia główne nie muszą być uporządkowane
2
1   2
K
To oznacza, że jeśli któreś z
naprężeń głównych osiągnie
wartość  n
to jest to naprężenie niszczące
n
1
n
K
n
n
 1   2

Zgodność hipotezy z doświadczeniem
Czyste ścinanie  2   1
1
1
2 


1
1
Z doświadczenia wynika, że dla metali jest
1
2
1
 n  0,6 n
Czyli zniszczenie materiału nastąpi nie w punktach K, ale wcześniej
Hipoteza największego naprężenia stycznego ma obecnie tylko znaczenie historyczne
1
Hipoteza największego naprężenia stycznego (Coulomba-Tresci)
Zakłada się, że o zniszczeniu materiału decydują największe naprężenia styczne
Przy rozciąganiu osiowym jest
 max
 max 
450


n
Przy zniszczeniu więc  n  2
2
Warunek maksymalnego naprężenia stycznego

 n   max   n
W stanie dwuwymiarowym

 max 
 max

2
1

1   2
2
n
2

1   2
2

n
2
  n  1   2   n
czyli  red   1
lub
lub
 red  1   2
 red   2
czyli
2
1   2

2 
n

 max 
2
1
2
1   n
1
2
 x  y
n
 1   2
1
( x   y ) 2  4 2
2
2
  y 1
2  x

( x   y ) 2  4 2
2
2
1 

 red   1   2  ( x   y ) 2  4 2
n
 n  0,6 n
2   n
n
2

1
n
n
W belce zginanej
Czyste ścinanie
n
2
n
2
y 0
 red   x 2  4 2
 red  2
Hipoteza energii odkształcenia postaciowego (Hubera-Misesa)
Zakłada się, że miarą wytężenia materiału jest energia odkształcenia postaciowego.
Energia właściwa odkształcenia sprężystego w stanie płaskim wynosi:
V' 
1
( x   x   y   y     )
2
V '  V 'obj  V ' post
V ' obj 
V
'
post
1
( x  y )
E
1
 y  ( y  x )
E
2(1  )


E
x 
1  2
( x   y ) 2
6E
1 
2
2

[( x   y ) 2   x   y  6 2 )
6E
W stanie jednoosiowym jest
V ' post 
2(1  ) 2 2(1  ) 2
 
 red
6E
6E
Porównując wyrażenia na energię odkształcenia postaciowego
2(1   ) 2
1 
2
2
 red 
[( x   y ) 2   x   y  6 2 )
6E
6E
Czyste ścinanie
 red   3
 red   x2   y2   x   y  3 2
n 
3
 n  0,58 n
3
 n  0,6 n
2
1   2
Równanie konturu na płaszczyźnie naprężeń głównych
 n2  12   22  1  2
n
Elipsa
1
0,58 n
n
n
n
 1   2
Pręt rozciągany
Pręt ściskany
Nie ma takich prętów
Oś pręta
Oś pręta
Model
Pręt osiowo ściskany
Rzeczywistość
Pręt mimośrodowo ściskany
Utrata stateczności w sensie matematycznym.
Jest to wrażliwość obiektu na małe zakłócenia stanu.
Równowaga kulki w polu grawitacyjnym.
Równowaga stateczna
Równowaga obojętna
Równowaga niestateczna
Warunkiem koniecznym równowagi statecznej jest warunek kinematycznej niezmienności
Równowaga obojętna
Równowaga niestateczna
Równowaga obojętna
Warunek kinematycznej niezmienności nie jest warunkiem dostatecznym
Warunek ten jest narzucony na wartość obciążenia
P
P
P
P
P
Punkt bifurkacji
S
S
Pkr


P  Pkr

P  Pkr
Wyboczenie

Zadanie wyznaczenia siły krytycznej dokonane zostało przez Eulera w 1744 r.
Pkr 
E - Moduł Younga
 2 EJ min
l2
J min - najmniejszy moment bezwładności
l - długość pręta
y
y
y
J x  J min
J y  J min
J y  J min
J y  J min
x
y
x
y
y
Różne rodzaje podparcia
Pkr
Pkr
Pkr
l
l
lw  l
 1
l
Pkr
l
lw  2l
lw  0,5l
lw  0,71l
 2
  0,5
  0,71
Ogólnie
lw  l
Pkr 
l w - długość wyboczeniowa
0,71l
l
2
l
 2 EJmin
lw
2
Smukłość pręta

lw
i
i – promień bezwładności pręta
i
Pkr 
 kr 
J min
A
Pkr  2 EJmin

2
A
A  lw
 2 EJmin
lw
2
2 E
2
Wyboczenie sprężyste
Równanie hiperboli

R pl
R pr

 kr  Rpr
2 
 2E
 kr
gr  
E
R pr
Parabola Johnsona-Ostenfelda
 kr
Prosta Tetmajera-Jasińskiego
R pl
Hiperbola Eulera
gr

0
Wyboczenie niesprężyste
Wzrost ściskania
Wzór Tetmajera-Jasińskiego
 kr  Rpl 
  gr
Rpl  Rpr
gr

 kr  Rpl  Rpl  Rpr  Rpr
Zmniejszenie ściskania
Wzór Johnsona-Ostenfelda
 kr  Rpl 
  0
R pl2
4 2 E
0  
2E
R pl
2
 kr  R pl 
R pl2
4 E
2
2
2 E R pl

R pl
2
Przeskok węzła kratownicy
  40
105