Transcript Wykład nr 9 - Analiza pręta zginanego

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa
w Nysie
Instytut Zarządzania
Projektowanie Inżynierskie
Analiza pręta zginanego
Prowadzący: dr inż. Piotr Chwastyk
e-mail: [email protected]
www.chwastyk.pwsz.nysa.pl
Wytrzymałość materiałów
Momenty gnące i siły tnące w belkach prostych
Belki proste stanowią różnego rodzaju elementy konstrukcji
nośnych, służące do przenoszenia sił wewnętrznych jednej części
konstrukcji na części pozostałe. W celu określenia stanów
naprężenia i odkształcenia w belce zginanej obciążonej siłami
zewnętrznymi musimy obliczyć wartości i kierunki reakcji podpór.
W belkach prostych najczęściej spotykane są następujące sposoby
podparcia elementów konstrukcji: podpora przegubowa stała,
podpora przegubowa przesuwna, utwierdzenie całkowite.
Reakcje podpór wyznaczamy w układzie płaskim z trzech
równań równowagi. Zatem, mogą wystąpić tylko trzy niewiadome
reakcje. Wyznaczenie reakcji stanowi pierwszy i niezbędny etap
analizy pręta.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 2
Wytrzymałość materiałów
Momenty gnące i siły tnące w belkach prostych
Rozpatrzymy to zagadnienie na przykładzie belki AC, podpartej na podporze
stałej przegubowej w punkcie A i na podporze przegubowej przesuwnej w
punkcie C. Obciążenie zewnętrzne stanowi pionowa siła P przyłożona w
punkcie B. W przyjętym układzie współrzędnych Axy równania równowagi są
następujące:
Pix  RAx  0
Piy  RAy  P  RC  0
M iA   Pa  RC (a  b)  0
Z rozwiązania tego układu trzech równań otrzymujemy reakcje podpór
b
a
RAx  0, RAy  P
, RC  P
ab
ab
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 3
Wytrzymałość materiałów
Momenty gnące i siły tnące w belkach prostych
Moment gnący w dowolnym przekroju poprzecznym belki równa się
składowej stycznej wektora momentu wszystkich sił działających po jednej
stronie tego przekroju względem jego środka ciężkości.
Siła tnąca w dowolnym przekroju belki równa się sumie rzutów wszystkich
sił działających po jednej stronie przekroju na kierunek prostopadły do osi
belki.
Funkcję momentów gnących i sił tnących można przedstawić graficznie w
postaci wykresów momentów gnących i sił tnących. Wykresy te sporządza
się zazwyczaj pod schematem rozpatrywanej belki z zachowaniem skali
długości i skali sił.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 4
Wytrzymałość materiałów
Momenty gnące i siły tnące w belkach prostych
W celu sporządzenia wykresu momentów gnących musimy przeanalizować
funkcje momentów M(x). W przytoczonym przykładzie interesują nas dwa
przedziały, w których przeanalizujemy wartości momentów gnących M(x1) i
M(x2).
W pierwszym przedziale moment
gnący wyniesie
b
M g ( x1 )  RAy  x1  P
 x1
ab
Dla x1=0
Mg  0
Dla x1=a
ab
Mg  P
ab
Ponieważ funkcja momentu gnącego jest liniowa, dlatego łączymy wyznaczone
punkty linią prostą.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 5
Wytrzymałość materiałów
Momenty gnące i siły tnące w belkach prostych
Podobnie postępujemy w przypadku drugiego przedziału. Moment gnący jest równy
b
M g ( x2 )  RAy  x2  P( x2  a )  P
 x2  P ( x2  a )
ab
Dla x2=0
ab
Mg  P
ab
Dla x2=a+b
Mg  0
I w tym przypadku funkcja momentu gnącego jest liniowa, dlatego również
łączymy wyznaczone punkty linią prostą.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 6
Wytrzymałość materiałów
Momenty gnące i siły tnące w belkach prostych
Funkcje sił tnących są funkcjami stałymi, a więc nie zależą od wartości zmiennej x. Stąd
będą one równoległe do osi odciętych wykresu.
b
T ( x1 )  Ray  P
ab
b
T ( x2 )  Ray  P  P
P
ab
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 7
Wytrzymałość materiałów
Momenty gnące i siły tnące w belkach prostych
Przyjmujemy, że momenty wywołujące wygięcie osi
belki wypukłością ku dołowi będziemy uważali za
dodatnie. Odwrotnie, jeżeli momenty gnące wywołują
wygięcie osi belki wypukłością ku górze, będziemy je
uważać za ujemne. Należy zaznaczyć, że znak
momentów nie ma nic wspólnego ze znakami tych
samych momentów w równaniach równowagi belki.
Znak siły tnącej zależy od tego, czy jest ona
wyznaczana z sumy sił znajdujących się z lewej
strony rozpatrywanego przekroju, czy z jego prawej
strony. Siły tnące, które starają się obrócić element
belki zgodnie z dodatnim obrotem układu osi
współrzędnych, będziemy przyjmować za dodatnie.
W przypadku gdy siły tnące starają się obrócić
element belki w kierunku przeciwnym, będziemy je
przyjmować za ujemne.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 8
Wytrzymałość materiałów
Zależności między momentem gnącym, siłą tnącą a obciążeniem ciągłym
Równanie równowagi myślowo wyciętego
elementu belki o długości dx umożliwi
wyprowadzenie zależności różniczkowych,
wiążących funkcję momentów gnących z
funkcją siły tnącej i obciążenia ciągłego.
Równanie momentów gnących wszystkich
sił
zewnętrznych
i
wewnętrznych
względem punktu D wynosi
M iD  (M  dM )  M  Tdx  (qdx)(0,5dx)  0
Pomijając małe wyższego rzędu niż jeden, tzn. wyraz (qdx)(0,5dx), otrzymamy
dM
T
dx
Z warunku sumy rzutów sił na oś Oy możemy napisać równanie
Piy  T  (T  dT)  qdx  0
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 9
Wytrzymałość materiałów
Zależności między momentem gnącym, siłą tnącą a obciążeniem ciągłym
Stąd
dT
q
dx
Różniczkując stronami równanie na siłę tnącą i wykorzystując powyższą zależność,
otrzymamy równanie wiążące moment gnący z obciążeniem ciągłym
2
d M dT

 q
2
dx
dx
Ze uzyskanych związków wynika, że pochodna względem x funkcji momentu
gnącego równa się funkcji siły tnącej i pochodna względem x funkcji siły tnącej
równa się ujemnej wartości funkcji obciążenia ciągłego.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 10
Wytrzymałość materiałów
Wykresy momentów gnących, sił tnących i normalnych
Rozpatrzymy kilka przypadków obciążeń oraz sporządzimy dla nich
wykresy momentów gnących i sił tnących. Metodyka rozwiązywania tych
przykładów jest następująca:
a) wyznaczamy wartości reakcji podpór,
b) ustalamy przedziały zmienności funkcji momentów i sił tnących,
c) wyznaczamy funkcje momentów i sił tnących,
d) sporządzamy wykresy momentów gnących i sił tnących z
zachowaniem przyjętych znaków.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 11
Wytrzymałość materiałów
Zależności między momentem gnącym, siłą tnącą a obciążeniem ciągłym
Przykład 1
Sporządzić wykres momentów gnących
i sił tnących dla belki wspornikowej o
długości l obciążonej na całej długości
obciążeniem ciągłym q
Rozwiązanie
W celu wyznaczenia reakcji w utwierdzeniu A zapiszemy trzy równania równowagi
l
Pix  RAx  0, Piy  RAy  ql  0, M iA  M A  ql   0
2
Stąd
2
ql
RAx  0, RAy  ql, M A 
2
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 12
Wytrzymałość materiałów
Zależności między momentem gnącym, siłą tnącą a obciążeniem ciągłym
Rozpatrywana belka ma tylko jeden przedział zmienności momentów gnących i sił
tnących: 0  x  l
Funkcje momentów gnących i sił tnących są określone zależnościami

qx2
ql 2 qx2
l 2 x2 
M ( x)  RAy x  M A 
 qlx 

 q lx   
2
2
2
2 2

T ( x)  RAy  qx  ql  qx  q(l  x)
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 13
Wytrzymałość materiałów
Zależności między momentem gnącym, siłą tnącą a obciążeniem ciągłym
Aby narysować wykres otrzymanych
funkcji, należy wyznaczyć co najmniej po
trzy punkty każdego wykresu
 dla x  0
l
 dla x 
2
 dla x  l
dr inż. Piotr Chwastyk
ql 2
M ( x)  
, T ( x)  ql
2
ql 2
ql
M ( x)  
, T ( x) 
8
2
M ( x)  0, T ( x)  0
Wprowadzenie – nr 14
Wytrzymałość materiałów
Zależności między momentem gnącym, siłą tnącą a obciążeniem ciągłym
Przykład 2
Na rysunku przedstawiono schemat obciążenia belki spoczywającej na dwóch
podporach. Sporządzić wykresy momentów gnących i sił tnących. Do obliczeń przyjąć
a = 1 m, P = 5 kN, M = 10 kNm, q = 4 kN/m.
Rozwiązanie
W celu wyznaczenia reakcji
w punkcie B i C zapiszemy
trzy równania równowagi
Piy  P  RB  q  2a  RC  0
M iB  Pa  M  q  2a  a  RC  2a  0
Po rozwiązaniu równań otrzymujemy
RB  8,5 kN,
dr inż. Piotr Chwastyk
RC  11,5 kN
Wprowadzenie – nr 15
Wytrzymałość materiałów
Zależności między momentem gnącym, siłą tnącą a obciążeniem ciągłym
Momenty gnące i siły tnące wyznaczamy analizując
dwa przedziały
Dla 0  x1  a
M ( x1 )  P  x1  5x1 ,
T ( x1 )  P  5
dla x1  a M ( x1 )  5a  5kNm, T ( x1 )  5kN
8
dla x1  0 M ( x1 )  0, T ( x1 )  5kN
Dla a  x2  3a
q ( x2  a ) 2
M ( x2 )  P  x2  M  RB ( x2  a ) 
,
T ( x2 )  P  RB  q ( x2  a )
2
q(a  a) 2
dla x2  a M ( x2 )  Pa  M  RB (a  a ) 
 Pa  M  15kNm
2
T ( x2 )  P  RB  q(a  a)  P  RB  3,5kN
q (3a  a ) 2
dla x2  3a M ( x2 )  P  3a  M  RB (3a  a ) 
0
2
T ( x2 )  P  RB  q(3a  a )  P  RB  q  2a  8kN
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 16
Wytrzymałość materiałów
Naprężenia normalne przy czystym zginaniu
Na podstawie sporządzonych wykresów momentów gnących, sił tnących i sił normalnych
potrafimy znaleźć niebezpieczny przekrój belki i ramy, w którym moment gnący osiąga
wartość maksymalną. Przeanalizujemy sposób rozkładu naprężeń normalnych w
przekroju zginanego elementu konstrukcji i wyprowadzimy wzór, z którego będziemy
obliczać te naprężenia. Rozpatrzymy przypadek czystego zginania. W przekrojach
rozpatrywanej belki będzie działał tylko moment gnący. Oznacza to, że przy czystym
zginaniu w przekrojach poprzecznych pręta nie ma naprężeń stycznych.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 17
Wytrzymałość materiałów
Naprężenia normalne przy czystym zginaniu
W elementarnej teorii zginania prętów prostych przyjmuje się następujące
założenia:
1. Przekroje poprzeczne, płaskie przed odkształceniem, pozostają płaskie po
odkształceniu (hipoteza płaskich przekrojów), przy czym w obu stanach
przekroje te są prostopadłe do osi pręta. Stąd, przy czystym zginaniu
przekroje poprzeczne pręta obracają się tylko o pewien kąt, który jest miarą
odkształcenia.
2. Wskutek obrotu przekrojów pręta odkształcają się jego wzdłużne elementy,
zwane umownie włóknami. Założono, że włókna nie wywierają na siebie
nacisku i znajdują się w jednowymiarowym stanie naprężenia (proste
rozciąganie i ściskanie).
3. Odkształcenia włókien równoległych do osi pręta i znajdujących się w
płaszczyźnie równoległej do warstwy obojętnej nie zależą od ich położenia
w tej płaszczyźnie. Stąd naprężenia normalne w punktach przekroju,
znajdujących się w tej samej odległości od warstwy obojętnej, są takie
same.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 18
Wytrzymałość materiałów
Naprężenia normalne przy czystym zginaniu
Rozpatrzymy obecnie odcinek belki o długości dx, wycięty z belki poddanej
czystemu zginaniu. W celu uproszczenia wyprowadzenia wzoru na naprężenia
normalne przyjęto, że przekrój poprzeczny belki jest prostokątem, oś Ox pokrywa
się z nie odkształconą osią belki, natomiast osie Oy i Oz są jednocześnie głównymi
osiami bezwładności pola przekroju poprzecznego. Przy zginaniu tego odcinka
belki górne włókna ulegają skróceniu, a dolne wydłużeniu. Zatem, istnieją również
włókna, które po odkształceniu nie zmieniają swojej długości. Warstwę składającą
się z tych włókien nazywamy warstwą obojętną, a prostą powstałą z przecięcia tej
warstwy z przekrojem poprzecznym pręta nazywamy osią obojętną.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 19
Wytrzymałość materiałów
Naprężenia normalne przy czystym zginaniu
Rozpatrzymy wydłużenie względne włókna o długości dx, znajdującego się w
odległości y od warstwy obojętnej. Długość tego włókna po odkształceniu wynosi
dx+(dx) = ( +y)d, gdzie  oznacza promień krzywizny. Początkowa długość
tego włókna przed odkształceniem była równa d. Stąd wydłużenie względne tego
włókna obliczamy ze wzoru
(dx) yd y



dx
d 
Zgodnie z drugim założeniem, przyjętym dla czystego zginania, zastosujemy prawo
Hooke'a
  E  E
dr inż. Piotr Chwastyk
y

Wprowadzenie – nr 20
Wytrzymałość materiałów
Naprężenia normalne przy czystym zginaniu
W celu określenia zależności wiążącej naprężenia normalne z momentem gnącym i
wymiarami belki zginanej musimy wykorzystać równania równowagi elementu belki.
Redukując układ sił wewnętrznych w przekroju belki określonym współrzędną x
stwierdzamy, że siły wewnętrzne redukują się do pary sił działającej w płaszczyźnie
obciążenia.
Wynika stąd, że układ sił działających na
rozpatrywany odcinek belki jest płaskim układem
sił, gdzie możemy ułożyć trzy równania
równowagi. Wydzielmy na polu przekroju element
pola dA, na który działa siła normalna dA. Suma
rzutów tych sił na oś Ox jest równa zeru
Pix   dA  0
A
Warunek równowagi momentów gnących względem
osi Oz możemy zapisać
M iz  M   ydA  0
A
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 21
Wytrzymałość materiałów
Naprężenia normalne przy czystym zginaniu
Po uwzględnieniu w powyższym równaniu wcześniejszych zależności otrzymamy
M
gdzie
E

y
dA

2
A
2
y
 dA jest głównym momentem bezwładności względem osi obojętnej przekroju
A
poprzecznego zginanego pręta i oznaczany jest Iz.
Z powyższego związku otrzymujemy zależność określającą krzywiznę osi belki poddanej
czystemu zginaniu
1
M

 EI z
Iloczyn EIZ nazywamy sztywnością zginania belki.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 22
Wytrzymałość materiałów
Naprężenia normalne przy czystym zginaniu
W celu określenia funkcji naprężeń normalnych podstawimy do wzoru Hooke’a otrzymaną
zależność
Mymax
 max 
Iz
Największe naprężenie normalne max i -max
występuje we włóknach najdalej położonych od osi
obojętnej przekroju poprzecznego
My

Iz
We wzorze tym iloraz Iz/ymax = Wz nosi nazwę wskaźnika wytrzymałości przekroju na
zginanie. Możemy więc zapisać
 max
dr inż. Piotr Chwastyk
M

Wz
Wprowadzenie – nr 23
Wytrzymałość materiałów
Naprężenia normalne przy czystym zginaniu
Stąd maksymalne naprężenia normalne są równe
M
6M
 max  
 2
Wz
bh
Wskaźnik wytrzymałości dla przekroju kołowego o średnicy d wynosi
d 4
3
Iy
d
64
Wz  Wy  

 0,1d 3
d
d
32
2
2
Obliczenia wytrzymałościowe belek zginanych sprowadzają się do określenia
największego naprężenia normalnego, występującego w przekroju poprzecznym belki.
Warunek wytrzymałościowy przedstawia się następująco
M
 max 
 kg
Wz
gdzie kg oznacza dopuszczalne naprężenie zginające.
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 25
Wytrzymałość materiałów
Naprężenia normalne przy czystym zginaniu
Przykład
Wyznaczyć
wymiary
przekroju
poprzecznego belki o długości l = 2 m,
obciążonej siłą skupioną P = 70 kN. Do
obliczeń przyjąć, że przekrój poprzeczny
belki jest kwadratem, a naprężenie
dopuszczalne na zginanie dla stali wynosi
kg = 160 MPa.
Rozwiązanie
Maksymalny moment gnący występuje w środku belki i wynosi
M g max
Pl 70 kN  2m


 35kNm
4
4
Wskaźnik wytrzymałości przekroju poprzecznego jest równy
a  a 2 a3
Wz 

6
6
dr inż. Piotr Chwastyk
Wprowadzenie – nr 26
Wytrzymałość materiałów
Naprężenia normalne przy czystym zginaniu
Maksymalne naprężenie normalne
 max 
M g max
Wz
M g max

 kg
3
a
6
stąd
a3
6  M g max
dr inż. Piotr Chwastyk
kg
6  35kNm 3 6  35kNm
6  35kNm



 0,11m  110m m
3
160MPa
16010 kPa 3 160103 kN
m2
3
Wprowadzenie – nr 27