Transcript chapitre 6

Objectifs du chapitre sur le
khi-carré (χ2)
o Connaître les propriétés de la
distribution de khi-carré (χ2)
o Savoir calculer le test du χ2 dans les
situations
 à 1 facteur de classification
 dans les tableaux de contingence à 2
facteurs de classification
La distribution
khi-carré (χ2) (1)
• Fréquence d’apparition des valeurs
d’une variable
– quelle que soit la nature de ces valeurs
– et la forme de leur distribution
 χ  
1
2
k
2
2 (k / 2)
χ
2(k / 2 ) 1
e
( χ 2 ) / 2
La distribution
khi-carré (χ2) (2)
 Son équation
 χ  
1
2
k
2
χ
2(k / 2 ) 1
e
( χ 2 ) / 2
2 (k / 2)
 1 seule variable: k,
le nombre de catégories
 dl = k-1
 Ses caractéristiques statistiques
 Moyenne = k
 Variance = 2k
Liens avec d’autres
distributions
 Distribution normale:
population de valeurs continues
χ2(1)  z2
 Variance:
à distribution normale
χ 2(N1)
(n  1)s2

σ2
s χ
2
2
(N1)
σ2
(n  1)
Le test du
khi-carré (χ2)
à 1 facteur de classification
 Principe:
Comparaison
 des fréquences observées des différentes
valeurs d’une variable discrète et
 des fréquences attendues définies
 soit par le hasard
 soit par un modèle pré- déterminé
 La formule
N
Oi  Ei 2
i1
Ei
χ 2dl  
où dl = k-1
D’où vient la formule du khicarré (χ2)
 Nous savons que
χ 2(1)
2


X μ
2
z 
σ2
 or, selon la binomiale,
μ  Np
σ 2  Npq
 donc, en remplaçant,
X  Np 
2
χ
2
(1)

Np

X  Np 

2
χ
2
(1)
Npq

N  X  Nq 

2
Nq
Solution du problème 6.3
Nombre de phrases répondues comme
Pas du
tout moi
...
tout à fait
moi
10 20
8
4
5
10 20 10
5
Oi  Ei 
i 1
Ei
85  1010  2020  810  45
2
2

2
5
10
2
20
2
10
3  0  0  2  1  9  4  1  1,8  0,4  0,2  2,4
2

...
8
N
 dl2  
...
5
2
10
2
20
2
10
2
5
5 10 5
2
5
Solution du problème 6.1
Nombre d’inscriptions au cours de/du
10H
11H
Midi
Prof. Henrion Prof. Ducarme Prof. Bouton
32
25
10
22,33
22,33
22,33
Solution du problème 6.1
N
Oi  Ei 
i 1
Ei
 dl2  
3222,33  2522,33  1022,33
2
2

22,33
2
2
22,33
22,33






9
,
67
2
,
67

12
,
33
93,44 7,11 152,11 252,66







 11,31
2
22,33
2
22,33
2
22,33
22,33 22,33
22,33
22,33
Autre exemple de tableau de
contingence

la distribution est elle pareille au hasard?
les distributions sont-elles semblables?
En faveur
d’une loi sur
les armes
à feu
Oui Non
Mon
groupe
47
23
Hasard
35
35
Extension aux tableaux de
contingence
 Tableaux de contingence:
tableau où est fait le rapport entre les
classes de deux variables
Gars
Filles
connaît la
chanson
10
10
ne la
connaît pas
10
10
Le test du khi-carré (χ2)
dans les tableaux de
contingence
 La même … formule
N
χ 
2
dl
i1
Oi  Ei 
2
où dl = (l-1)(c-1)
Ei
 2 différences:
 les fréquences attendues sont définies
par
Li xC j
Eij 
N
 un dl différent, dl = (l-1)(c-1)
Solution du problème 6.14
Choc
inévitable
évitable
aucun
Rejet
8
19
18
45
pas de rejet
22
11
15
48
30
30
33
93
Solution du problème 6.14
30  45 10  45 450
E11  93  31  31  14,5
E12 
30  45 10  45 450

E 21 93  31  31  14,5
E 22 
30  48 10  48 480


 15,5
93
31
31
33  45 11  45 495

E 31 93  31  31  16
E 32 
33  48 11  48 528


 17
93
31
31
30  48 10  48 480


 15,5
93
31
31
Solution du problème 6.14
Choc
inévitable
Rejet
pas de rejet
évitable
aucun
814,5
19
18
45
16
14,5
22
11
1517 48
30
30
33
15,5
15,5
93
Solution du problème 6.14
N
Oi  Ei 2
i 1
Ei
 
2
dl

814,5  2215,5  1914,5  1115,5  1816  1517 
2
2
14,5
15,5
2
2
14,5
15,5
2
2
16
17
6,5  6,5  4,5  4,5  2  2  42,25  42,25  20,25  20,25  4  4 
2
2
2
2
14,5
15,5
14,5
15,5
16
2,91 2,72  1,40  1,31 0,25  0,23  8,83
2
2
17
14,5
15,5
14,5
15,5
16 17
Solution du problème 6.15
nombre
d’observateurs
Aide recherchée
oui
non
0
11
2
13
1
16
10
26
4
4
9
13
31
21
52
Solution du problème 6.15
31 13 31
E11  52  4  7,75
E 21 
31  26 31

 15,5
52
2
31 13 31

E 31 52  4  7,75
E12 
21 13 21

 5,25
52
4
E 22 
21  26 21

 10,5
52
2
E 32 
21 13 21

 5,25
52
4
Solution du problème 6.15
nombre
d’observateurs
0
Aide recherchée
oui
non
11
2
13
16
10
26
4
9
13
21
52
7,75
1
15,5
4
7,75
31
5,25
10,5
5,25
Solution du problème 6.15
N
Oi  Ei 2
i 1
Ei
 
2
dl

117,75  25,25  1615,5  1010,5  47,75   95,25 
2
7,75
2
2
5,25
2
15,5
2
10,5
2
7,75
5,25
3,25  3,25  0,5   0,5   3,75  3,75  10,56  10,56  0,25  0,25  14,06  14,06 
2
2
2
7,75
5,25
15,5
10,5
1,36  2,01 0,02  0,02  1,81 2,68  7,90
2
2
7,75
2
5,25
7,75
5,25
15,5
10,5
7,75
5,25
Remarques générales (1)
sur le khi-carré (χ2)
 2 conditions d’application:
 indépendance des observations et des
classes du tableau de contingence
 Eij > 5
 N est maintenant rapporté
Remarques générales (2)
sur le khi-carré (χ2)
 χ2 indique l’existence d’un lien,
Φ le quantifie
 χ2 : somme de carrés orthogonaux,
peut se décomposer