Transcript wyklad IV

WYMIANA CIEPŁA
Dr inż. Piotr Bzura
Konsultacje: PIĄTEK
godz. 10-12, pok. 602 f
ZADANIE
OBLICZYĆ TEMPERATURY W OSI i NA POWIERZCHNI WALCA ZE STALI
STOPOWEJ O ŚREDNICY 0,3 m i DŁUGOŚCI 0,6 m W GODZINĘ PO
UMIESZCZENIU GO Z TEMPERATURĄ 20°C W PIECU O TEMPERATURZE 1020°C.
WSPÓŁCZYNNIK PRZEJMOWANIA CIEPŁA NA POWIERZCHNI WALCA WYNOSI
230 W/m2·K, PRZEWODNOŚĆ CIEPLNA STALI STOPOWEJ: 35 W/m·K, CIEPŁO
WŁAŚCIWE: 0,7 kJ/kg·K, A GĘSTOŚĆ: 7800 kg/m3.
Dane:
Szukane:
 = 35W/mK
T1
c = 0,7kJ/kgK
T2
 = 7800kg/m3
T3
 = 230W/m2K
T4
= 7800 kg/m3
 = 3600s
0,6m
PLAN WYKŁADÓW
Wykład 4: NIEUSTALONE PRZEWODZENIE
CIEPŁA
• WPROWADZENIE
•PRZEWODZENIE W STANIE NIEUSTALONYM– ROZWIĄZANIE
ANALITYCZNE
• OBLICZENIA PRAKTYCZNE NIEUSTALONEGO
PRZEWODZENIA CIEPŁA
WPROWADZENIE
1. ZMIANA TEMPERATURY W WYNIKU OGRZEWANIA LUB CHŁODZENIA. TA SYTUACJA
DOTYCZY RÓWNIEŻ NAGŁEJ ZMIANY TEMPERATURY
Na przykład przedmiot o
temperaturze t1 umieszczony
(nagle) w płynie o temperaturze
wyższej tf > t1 będzie przejmował
ciepło od płynu wskutek tej
różnicy temperatur.
2. OKRESOWA ZMIANA TEMPERATURY PŁYNU OMYWAJĄCEGO POWIERZCHNIĘ
PRZEWODZENIE W STANIE NIEUSTALONYM W PŁUCIE
NIESKOŃCZONEJ – ROZWIĄZANIE ANALITYCZNE
RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE NIEUSTALONEGO PRZEWODZENIA CIEPŁA WRAZ Z
WARUNKAMI
JEDNOZNACZNOŚCI
ROZWIĄZANIA JEST
ANALITYCZNYM
MODELEM ROZPATRYWANEGO ZJAWISKA
 T
T
T
T
 a   2  T  a   2  2  2

y
z
 x
T
 2T
 a 2

x
dla
  0  t  t 0 (T  T0 )
T
0


T
dla x   
   Tw  Tf 
2
x
T  f ( x )  g( )
T

 f ( x )  g( )


dla
 2T
x
2
x0
 g ( ) 
2
x
2
f (x)




PRZEWODZENIE W STANIE NIEUSTALONYM W PŁUCIE
NIESKOŃCZONEJ – ROZWIĄZANIE ANALITYCZNE
1
2
1

 2 f (x) 
 g ()
f ( x ) x
a  g() 
2
1 dg

  2  g()  A'e a 
g() d
1 d 2f
 2   2  f ( x )  B' cosx  C' sinx
f ( x ) dx
Te
 a 2 
 A  cosx
 T 



x

x 




 a 2 
e
 A   sin  ctg  2
2
2 Bi
2
liczba Biota: Bi 



2
PRZEWODZENIE W STANIE NIEUSTALONYM W PŁUCIE
NIESKOŃCZONEJ – ROZWIĄZANIE ANALITYCZNE


ctg  2
2 Bi

Nieskończenie wiele rozwiązań
Uzyskana z powyższego równania wartość n daje rozwiązanie szczególne ze stałą An.

T

e a n   A n  cos n  x  A n 
2
n 1
n  x
n / 2
T
e  n Fo 
,


sin


cos

n
n
n
n 1


Q     To

A
a
2TO sin n 

2



 n  sin n  cos n
2
2
2
2TO sin  n cos
n 

i 1
liczba Fouriera: Fo 
2
sin2  n
 1  e  n Fo 

 n   n sin  n  cos  n 
, dla :  n 
a

 
2
2

 n
2
OBLICZENIA PRAKTYCZNE NIEUSTALONEGO
PRZEWODZENIA CIEPŁA
W praktyce korzysta się z gotowych rozwiązań otrzymanych na drodze analitycznej (jak
wyżej), ale przedstawionych bezwymiarowo w postaci wykresów dla nieskończenie
długich płyt i walców oraz dla kul.
Temperaturę bierze się zazwyczaj jako jej nadwyżkę ponad temperaturą otaczającego
płynu: (T - Tf ).
T  Tf


x


  m 
 f  Bi, Fo, 
T0  Tf 0
0
l

Ilość ciepła wyznacza się z wykresów funkcji:
Q
Q 
 f (Bi, Fo)
Qo
*
 dla walca : Q 0  c      r02  T0  Tf 
4
 dla kuli: Q 0  c      r03  T0  Tf 
3
OBLICZENIA PRAKTYCZNE NIEUSTALONEGO
PRZEWODZENIA CIEPŁA
Dla ciał, których kształt powstaje z przecięcia płyty, walca i kul, otrzymuje się rozwiązanie
metodą A. B. Newmana. W szczególności stosuje się ją dla płyt i walców o skończonych
rozmiarach - jako że przedstawione wyżej zależności graficzne ważne są dla tworów
nieskończenie rozciągniętych.
Na przykład dla walca o długości L bierzemy temperatury dla
walca o nieskończonej długości i dla płyty o grubości 2=L i
mnożymy przez siebie:
 T  Tf
T  Tf
 
T0  Tf  T0  Tf
x x

 l
2

 T  Tf




T T
f
 WALEC  0



 PLYTA
WYKRES DO OKREŚLANIA TEMPERATURY W ŚRODKU SYMETRYCZNIE
OGRZEWANEJ LUB CHŁODZONEJ NIEOGRANICZONEJ PŁYTY
WYKRES DO OKREŚLANIA TEMPERATURY W DOWOLNYM PUKCIE
SYMETRYCZNIE OGRZEWANEJ LUB CHŁODZONEJ NIEOGRANICZONEJ PŁYTY
LUB WALCA
WYKRES DO OBLICZANIA ILOŚCI CIEPŁA WYMIENIONEGO NA POWIERZCHNI
SYMETRYCZNIE OGRZEWANEJ LUB CHŁODZONEJ NIEOGRANICZONEJ PŁYTY
WYKRES DO OKREŚLANIA TEMPERATURY W OSI SYMETRYCZNIE
OGRZEWANEGO LUB CHŁODZONEGO NIEOGRANICZONEGO WALCA
WYKRES DO OBLICZANIA ILOŚCI CIEPŁA WYMIENIONEGO NA POWIERZCHNI
SYMETRYCZNEGO OGRZEWANEGO LUB CHŁODZONEGO
NIEOGRANICZONEGO WALCA
ZADANIE
OBLICZYĆ TEMPERATURY W OSI i NA POWIERZCHNI WALCA ZE STALI
STOPOWEJ O ŚREDNICY 0,3 m i DŁUGOŚCI 0,6 m W GODZINĘ PO
UMIESZCZENIU GO Z TEMPERATURĄ 20°C W PIECU O TEMPERATURZE 1020°C.
WSPÓŁCZYNNIK PRZEJMOWANIA CIEPŁA NA POWIERZCHNI WALCA WYNOSI
230 W/m2·K, PRZEWODNOŚĆ CIEPLNA STALI STOPOWEJ: 35 W/m·K, CIEPŁO
WŁAŚCIWE: 0,7 kJ/kg·K, A GĘSTOŚĆ: 7800 kg/m3.
Dane:
Szukane:
 = 35W/mK
T1
c = 0,7kJ/kgK
T2
 = 7800kg/m3
T3
 = 230W/m2K
T4
= 7800 kg/m3
 = 3600s
0,6m
PROCEDURA ROZWIĄZANIA:
1. WYZNACZYĆ LICZBY BEZWYMIAROWE DLA WALCA: 1/Bi i Fo
2.
Z
WYKRESU
ODCZYTAĆ
NIEOGRANICZONEGO WALCA
TEMPERATURĘ
 TM  Tf

 T T
f
 0
W
OSI
SYMETRII


 TM  ......

 WALEC
3.Z WYKRESU WYZNACZYĆ TEMPERATURĘ NA POWIERZCHNI WALCA
 TX  Tf

 T T
f
 0


 TW  .........

 WALEC
4. WYZNACZYĆ LICZBY BEZWYMIAROWE DLA PŁYTY: 1/Bi DLA =1.5L i Fo
5.Z WYKRESU WYZNACZYĆ TEMPERATURĘ DLA ŚRODKA POWIERZCHNI
NIEOGRANICZONEJ PŁYTY
 TM  Tf

 T T
f
 0


 TM  ......

 PLYTA
6. WYZNACZYĆ TEMPERATURĘ NA POWIERZCHNI NIEOGRANICZONEJ PŁYTY
 TX  Tf

 T T
f
 0


 TW  .........

 PLYTA
PROCEDURA ROZWIĄZANIA:
7. MNOŻĄC ODPOWIEDNIE STOSUNKI DLA WALCA i PŁYTY OTRZYMUJEMY W
ODPOWIEDNICH MIEJSCACH TEMPERATURY:
 T1  Tf

T T
f
 0
  TX  Tf

  T T
f
  0

 TX  Tf

 

 WALEC  T0  Tf


 T1  ......

 PLYTA
 T2  Tf

T T
f
 0
  TM  Tf

  T T
f
  0

 TX  Tf

 

 WALEC  T0  Tf


 T2  ......

 PLYTA
 T3  Tf

T T
f
 0
  TX  Tf

  T T
f
  0

 TM  Tf

 

 WALEC  T0  Tf


 T3  ......

 PLYTA
 T4  Tf

T T
f
 0
  TM  Tf

  T T
f
  0

 TM  Tf

 

 WALEC  T0  Tf


 T4  ......

 PLYTA