Transcript Wyklad 2 - Wydział Biologii Uniwersytetu Warszawskiego

Wykład 2
Relacje i funkcje
Zbiory
Zbór w matematyce jest pojęciem pierwotnym, niedefiniowalnym.
Przynależność elementu do zbioru (zdanie logiczne xX) jest
pojęciem pierwotnym
Pojęcia te wraz z logiką formalną i systemem aksjomatów ZF
Choć współczesna matematyka jest nauką aksjomatyczna, nie znaczy to że nie ma nic
(Zermelo
Fraenkla
z początku
XX
obecniew dziedzinę
wspólnego
z otaczającym
nas światem.
Niewieku)
będziemytworzą
wnikać i wchodzić
abstrakcyjnie
formułowanezwaną
systemy teorią
aksjomatyczne
współczesnej
matematyki.
Spróbujemy
po prostu
matematyki
mnogości
(set theory).
Teoria
ta stanowi
wyciągnąć z różnych dziedzin matematyki to, co używane jest w biologii.
podstawę wszystkich dziedzin matematyki.
Zbiory w biologii wyróżnić jest łatwo, a ogólność tego sformułowania powoduje, że każdy
zestaw, kolekcja czegokolwiek jest zbiorem.
Element, grupa, kolekcja – inne nazwy pojęcia zbiór
Przykład: Biocenoza jest zbiorem populacji
Populacja jest zbiorem osobników
Osobnik jest zbiorem komórek
Komórka jest zbiorem cząsteczek i atomów
Atom jest zbiorem kwarków .....
Podstawowe symbole i oznaczenia
- zbiór pusty
AA, AB, BA, BA – zbiór A jest podzbiorem zbioru B
AB – suma mnogościowa dwóch zbiorów
Symbole sumy i iloczynu zbiorów, oznaczenie zbioru pustego, pojawiają się niekiedy w
pracach
biologicznych
(choć najczęściej
w jakiś zbiorów
matematycznych aneksach). Częściej
AB
– iloczyn
mnogościowy
dwóch
stosuje się słowny opis pewnych operacji mnogościowych (typu ogół wszystkich
osobników należących do badanych populacji zamiast oznaczenia sumy mnogościowej
A-B
(rzadziej A\B) – różnica zbiorów
badanych populacji). Stosowanie symboli skraca zapis pewnych formuł i nadaje im
jednoznaczność. Symbole stosujemy, kiedy zależy nam na ścisłości, jednoznacznym i
krótkim opisie operacji mnogościowych.
Gdytumamy
zestaw
zbiorów
A1,Aznane
rodzinę zbiorów)
Pokazane
symbole
są dobrze
wszystkim
ze szkoły i przypuszczam,
że z ich
2,... (indeksowaną
zapamiętaniem nie będzie kłopotu.
 Ai
- Ogół wszystkich elementów zbiorów A1, A2,...
i
 Ai
i
- Wybrane elementy należące do każdego ze zbiorów A1, A2,...
Podstawowe symbole i oznaczenia
{a1, a2, ... , ak} – zbiór elementów
(a1, a2, ... , ak) – uporządkowany zbiór elementów (ciąg elementów)
Choć indeksowanie elementów i określaniem ich pozycji wydaje się być już określeniem
pewnej funkcji i związane z określeniem relacji porządki - matematycy znaleźli sposób na
Przy zmianie porządku:
ich zdefiniowanie uporządkowanych zbiorów bez posługiwania się tymi pojęciami. Nie
będziemy analizować tej definicji, bo i tak wszyscy wiedzą o co chodzi. Warto jednak
{a1,typowe
a2, ...zapisy
, ak} zbioru
= {ai1nieuporządkowanego
, ai2, ... , aik} i uporządkowanego, gdyż
zwrócić uwagę na
oznaczenia te przyjęły się powszechnie i są używane także w biologii.
(a1, a2, ... , ak)  (ai1, ai2, ... , aik)
Dobrze jest wszystkim znana definicja iloczynu kartezjańskiego zbiorów. Jej symboliczny zapis
jest krótki i warto zwrócić uwagę na jego składnię. Czasami biolodzy muszą zdefiniować
jakiś zbiór i robi się to podobnie (nawias klamrowy, rodzaj elementów definiowanego
Iloczyn
kartezjański
dwóch zbiorów
– ogół wszystkich par
zbioru, średnik,
warunki połączone
spójnikami logicznymi).
(uporządkowanych zbiorów dwóch elementów), z których
pierwszy należy do pierwszego zbioru, a drugi do drugiego.
AB = {(a,b); aA i bB}
Relacja – definicja
Definicja powszechnie stosowanego w nauce pojęcia „relacja” jest bardzo ogólna. Obejmuje
wszystkiejest
rodzaje
związków, jakie
można określić
międzykartezjańskiego
elementami dwóch zbiorów,
Relacja
to dowolny
podzbiór
iloczynu
dwócha
także jednego zbioru (gdy A=B i relacja jest podzbiorem AA). Definicję relacji często
zbiorów
próbuje się formułować nieco inaczej, mówiąc o elementach będących i nie będących w
relacji, tak aby nie kojarzyć słowa relacja ze zbiorem. Mówi się o zależności elementów
(nie wyjaśniając co to jest zależność),
albo stosujeto
sięRdefinicje
typu – jest to jedno z
Jeżeli
RAB
jest
relacją
podstawowych pojęć matematycznych.
Przedstawiona tu definicja nie jest moim wymysłem. Tak definiuje się relację w teorii
JeżelidoRsformułowania:
jest relacjąelement
to istnieją
mnogości. Definicja ta upoważnia
„a” jest takie
w relacjizbiory
„R” z
elementem „b” jeżeli para elementów
(a,b)
należy do relacji R. Można to wtedy traktować
A i B, że
RAB
jako definicję odpowiedniego sformułowania.
Element a jest w relacji R z b wtedy i tylko wtedy gdy (a,b)R
aRb
oznacza to samo, co (a,b)R
Najważniejsze rodzaje relacji
Relacja zwrotna
RAA
 aRa
aA
Cała teoria mnogości jest pełna różnych definicji i twierdzeń wynikających z implikacji bądź
  one
aRbpotrzebne,
 bRa że nie
równoważności
różnych definicji.
Biologom tak rzadko
Relacja
symetryczna
RAA
aA są
bB
będziemy rozwijać w sposób matematyczny tej teorii. Pokazane tu rodzaje relacji
funkcjonują zarówno w matematyce jak i naukach przyrodniczych. Warto zatem wiedzieć
  aRb  ( bRa )
Relacja
asymetryczna
RAA
co one oznaczają.
Na szczęście,
pomimo abstrakcyjnych
aA bB sformułowań definicji kojarzą
się one w sposób naturalny ze swoimi nazwami.
  relacji.
 aRbJest
i bRc
 aRc(czyli
Zauważmy,
w matematyce funkcja
jest specjalnym rodzajem
to relacja
Relacja żeprzechodnia
RAA
aA bA cA
podzbiór iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów), w którym co najwyżej jeden element
zbioru B może być w relacji z pewnym elementem zbioru a. Elementowi aA nie mogą
zwrotna, symetryczna,
przechodnia
Relacja
równoważności
RAA
być przyporządkowane
dwa lub więcej
różnych elementów
zbioru B.
Relacja liniowego porządku
(mocnego)
Funkcja
RAA
asymetryczna, przechodnia,
  aRb lub bRa lub a  b 
aA bA
RAB
  aRb i aRc  b  c
aA bB
Relacja równoważności – podstawowe własności
Relacje równoważności (zwrotne, symetryczne i przechodnie) występują wtedy, gdy określają
nam podział badanego zbioru na rozłączne podzbiory. Wydzielanie podzbiorów nie jest
Podziałem
zbioru A anazywamy
takiprzykładem
zbiór {A1jest
,A2,...,A
wcale rzadkie w badaniach
biologicznych,
typowym tego
podział
k}
populacji na rodziny spokrewnionych
sobą osobników,
osobników korzystających z
podzbiorówzezbioru
A, że:
tych samych karmników, śpiących w tych samych norach itd. Poprzez obserwacje
1. Podzbiory
A1,A2,...,A
behawioralne lub eksperymenty
genetyczne
możemy
określić, rozłączne
które osobniki są ze sobą
k są parami
w relacji pokrewieństwa i relacja ta dzieli nam populację na grupy osobników
spokrewnionych ze 2.
sobą.Suma mnogościowa tych podzbiorów jest równa A
Istnieją algorytmy pozwalające naOgół
wydzielanie
grup osobników
wynikających podz(A)
z określonej
podziałów
zbioru A oznaczymy:
relacji równoważności.
Relacja
jest relacją
równoważności
Problem polegać może na
tym, żeRAA
między niektórymi
osobnikami
z przyczyn
technicznych nie
jest zbadane pokrewieństwo. Wtedy można skorzystać z twierdzenia mówiącego o
 relacji dopewnej
aRbrelacji
 (równoważności.
a  A i i b  A i )Relacja ta jest
istnieniu minimalnego{A
dopełnienia
i
1 ,A 2 ,...,A k }podz( A ) a, bA
określona jednoznacznie, a zatem i odpowiedni podział populacji będzie jednoznacznie
określony. Przy dużej liczbie braków w określeniu relacji między osobnikami może się
Każdy
podział
zbioru
definiuje relację
równoważności
każda relacja
zdarzyć,
że osobniki
w rzeczywistości
spokrewnione
zostanąiumieszczone
w kilku
różnych grupach.określa
Gdy niepewien
zdarza się
to zbytzbioru
często – to opisane postępowanie pozwala
równoważności
podział
wyciągnięcie pewnych wniosków populacyjnych (np. dotyczące wielkości i liczby rodzin w
różnych sytuacjach
środowiskowych)
Dla dowolnej
relacji RAA
istnieje relacja równoważności QAA taka, że:

Zobaczmy
RQjak to pracuje na przykładzie:
Q jest najmniejszą relacją równoważności zawierającą R
Q jest określona jednoznacznie

Relacja
równoważności
– przykład
zastosowania
Ssaki z rodzaju
mus i ratus
(myszy i szczury) żyją
w grupach rodzinnych
z dominujących
samcem, jedną lub kilkoma dominującymi (rozradzającymi się) samicami i całą plejadą
subdominantów (osobniki młodociane i ustępujące dorosłe, rzadko rozradzające się). W
warunkach kontrolowanych (w wolierach) grupy zajmują rozłączne terytoria z jednym lub
kilkoma karmnikami i starają się nie wchodzić sobie w drogę. Czasami zdarzają się
przejścia osobników z jednych grup do innych, przepędzenia pewnych osobników z grup,
rozpad grup po śmierci dominanta i inne zdarzenia, które kończą trwanie pewnych grup
lub zaczynają trwanie innych.
Miałam kiedyś okazję brać udział w badaniach myszy domowej w Instytucie Ekologii PAN.
Dotyczyły one dzikiej populacji, która zamieszkała wolierę. Było w niej 48 karmników, do
Badania
w latach
1986-1998
których
codziennie
wysypywano owies. W karmnikach tych umieszczono po 4 pułapki i w
156 serii
połowów
czasie
serii połowów pokarm umieszczano tylko w pułapkach. Myszy łowiły się chętnie i
czasietrwała
12 lat badań
Każdaw seria
5 dni stwierdzono 34643 złowień 4252 myszy. Informacje o złowieniach
były jedynymi jakie posiadano, gdyż nie prowadzono innych obserwacji populacji (woliera
10 przeglądów
w każdej serii
była ziemna i w czasie dnia myszy przebywały głęboko w norach). Jak zatem określić
grupy rodzinne?
Grupy rodzinne myszy mają charakter socjalny. Nie wszystkie osobniki w grupie muszą być
braku pokrewieństwa
dominującym
Dwaspokrewnione,
osobniki są awnawet
relacjioczekuje
R jeżelisiępodczas
danej jednejmiędzy
serii połowów
każdy z
a dominującymi
samicami.
Dobrym
kryterium
byłosamym
odwiedzanie
w tym
tychsamcem,
osobników
złowił się co
najmniej
dwa razy
w tym
punkcie
lubsamym
co
czasie tego samego karmnika. Pozwoliło to na określenie relacji między osobnikami,
najmniej
po jednym razie w dwóch tych samych punktach.
która dopełniona do relacji równoważności wydzieliła w populacji grupy. Choć osobniki,
które łowiły się rzadko nie zostały przypisane do żadnej grupy (a pewnie większość z
nich do
którejś
procedura ta pozwoliła
na analizę
wielkościjej
i trwałości
grup i
Relacja
R nie
jestnależała)
relacja równoważności,
ale można
rozważać
dopełnienie
zależności
tych parametrów
od różnych
czynników.
do relacji
równoważności
i dzielić
populację
na grupy i samotników.
Relacje porządku
Relacja porządku
  aRb  ( bRa )
aA bB
Często
badania ekologiczne związane są z poszukiwaniem
w grupie
   aRb pewnego
i bRc  porządku
aRc
(mocnego)
aA bA warunek
cA
badanych obiektów. Relacja porządku spełnia
asymetryczności lub quasiasymetryczności. Pierwsza z nich pokazuje, że nigdy obiekt nie może być w relacji z
  aRb lub bRa lub a  b 
samym sobą, druga dopuszcza taka możliwość.
aA bA Jest to relacja przechodnia, a ponadto
oczekujemy, że dla dowolnych dwóch różnych obiektów możemy określić relację miedzy
nimi. Ten ostatni warunek określa nam tak zwany liniowy porządek i w różnych
uogólnieniach relacjiTu
porządku
rezygnuje
z niego <
lub izastępuje
warunkami słabszymi.
mieszczą
się się
relacje
>
Powstają wtedy relacje częściowego porządku o różnych własnościach.
Uporządkowanie elementów w zbiorze powoduje, że możemy stosować zapis typu:
a1 < a2 < a3 < a4 ...
  aRb i bRa   (a  b)
Relacja porządku
co oznacza koniunkcję zdań:
aA bB
a1 < a2 i a2 < a3 i a3 < a4 ...
aA bA cA
(słabego)
   aRb i bRc  aRc
  aRb lub bRa 
Przechodniość relacji porządku powoduje, że prawdziwe są też zdania a1 < a3, a1 < a4 itd.
aA bA
Tu mieszczą się relacje  i 
Relacja porządku – przykład zastosowania
Hierarchia socjalna w stadzie
- porządek dziobania
- dominacja i ustępowania
Przykładem relacji porządku istniejącymi w populacjach jest hierarchia socjalna. U kur opisano
zjawisko zwane porządkiem dziobania. Możemy zapisać za pomocą symbolu > zdanie:
kura A dziobie kurę B jako A>B. Okazuje się, że w typowym stadzie > jest relacją
A dziobie B, A dziobie C, A dziobie D
mocnego porządku i porządkuje nam kury od tej która dziobie wszystkich do tej, która nie
dziobie nikogo. B dziobie C, B dziobie D
U ssaków układy socjalne są bardziej złożone i w typowym stadzie możemy określić
C dziobie D
dominanta i kilka kategorii subdominantów. Badając organizację stada grupujemy
> B >pokazujący,
C > D która grupa dominuje nad
osobniki oraz określamy porządek międzyA
grupami
którą.
A dominuje
namawszystkimi
W porządkowaniu elementów
zbioru nie
nic tajemniczego. Jest to naturalna operacja
dobrze wszystkim znana i dlatego nie będziemy więcej o niej mówić.
B i C dominują nad D, E, F
Wśród D, E i F nie ma układu dominacji
A > {B,C} > {D, E, F}
Relacje porządku w zbiorach liczbowych
ℕ - Zbiór liczb naturalnych (całkowitych dodatnich){1,2,3,....}
ℕ - Zbiór liczb naturalnych (całkowitych dodatnich){1,2,3,....}
ℕ0 – Zbiór liczb całkowitych nieujemnych {0,1,2,....}
ℝ - Zbiór liczb
rzeczywistych
Wprowadzone
tu oznaczenia
zbiorów liczb naturalnych i rzeczywistych nie są standardem w
ℝ -biologii,
Zbiór liczb
ale tezrzeczywistych.
takiego standardu nie ma. Kiedy występuje konieczność zastosowania
tego typu oznaczeń w pracy należy jakieś ozdobne, pogrubione duże R i N odpowiednio
zdefiniować (zawsze R będzie związane z liczbami rzeczywistymi, real numbers, a N z
Relacje
<, >, ,natural
 numbers). Bardzo rzadko potrzebne są oznaczenia dla
liczbami
naturalnymi,
zbioru liczb całkowitych, wymiernych lub zespolonych.
Przedziały
liczbowe:
Relacje porządku w zbiorach
liczbowych
oznaczany jest standardowo znakami <, >, , , które
wszyscy dobrze znają
w pracy definiować.
(a,b) i=nie
{x;trzeba
x>a ich
i x<b}={x;
a<x<b}
Czasami w pracy należy
zastosować
przedziałów.
Przedziały otwarte oznacza się tak
[a,b)
= {x; xasymbole
i x<b}={x;
ax<b}
samo jak parę liczb i nic na to nie poradzimy. W niektórych podręcznikach matematyki
(a,b]
= {x; x>a
i xb}={x;
stosuje się czasem
zaostrzone
nawiasy
dla par a<xb}
i ciągów oraz bardziej zaokrąglone dla
przedziałów – ale[a,b]
biolodzy
korzystając
z typowych
znaków klawiatury nie maja wyboru.
= {x;
xa i xb}={x;
axb}
Dobrym sposobem rozróżnienia tych innych obiektów matematycznych jest poprzedzanie
(a,) odpowiednim
= {x; x>a} wyrażeniem: para liczb (a,b), przedział (a,b).
stosowanego symbolu
[a,) = {x; xa}
(-,b) = {x; x<b}
(-,b] = {x; xb}
Funkcje
Teoriomnogościowa definicja funkcji ma jedną wielka zaletę. Nie używa się w niej
niedefiniowalnych
wyrażeń
typuwarunek:
zależność, przyporządkowanie, podstawowe pojęcie itd.
Relacja
spełniająca jeden
tylko
Jest bardzo ogólna i obejmuje wszystko to co może być uważane za funkcję. Zawsze gdy
 jeden
aRbi tylko
i aRcjeden
 element
b  c innego zbioru
pewnym elementom
zbioru odpowiada
Funkcjajednego
RAB
aA bB
mamy do czynienia z funkcją.
Funkcje dobrze są wszystkim znane przede wszystkim z lekcji matematyki, przede wszystkim
jaki opis zależności liczbowych za pomocą ściśle zdefiniowanych formuł. Pojęcie to jest
znacznie szersze. Przykładowo jest to wzrost, ciężar, wiek, płeć, kolor osobnika z
populacji
w danym oznacza
momencie,
że w danym
Funkcje
tradycyjnie
sięjako
literami
f lub Fmomencie osobniki maja tylko jeden
wzrost, ciężar, wiek, płeć i kolor. Jest to krzywa wzrostu, krzywa zmian ciężaru, długość
życia osobników w populacji badanej przez wiele pokoleń osobników, jako że każdemu
osobnikowi można przypisać
tylko
opisującą jego wzrost, zmiany ciężaru w
oznacza
sięjedną
jako:krzywą
fAB
f:AB
czasie całego życia, długość życia itd. Po wykonaniu jakiegoś eksperymentu mamy
wyniki wyrażone jaką liczbą lub charakterystyką, bądź ciągiem takich wyrażeń i
przyporządkowanie „eksperyment”  „wyniki” jest funkcją. Już taki przegląd pokazuje, że
w biologii
operuje się
funkcjami rozumianymi
y=f(x)
(x,y)f
Zamiast
lub xfyw bardzo
piszeogólny
się sposób.
Funkcje pojawiają się także w informatyce jako zestawy instrukcji pozwalające na wyliczenie
konkretnych wartości (liczb, ciągów licz i innych wielkości) dla określonych wartości
parametrów. Jest to zgodne z ogólną definicją funkcji, w której zestawom parametrów
przyporządkowuje się określoną, w jednoznaczny sposób wyliczoną wartość.
Ciągi i działania jako funkcje
ℕ - Zbiór liczb naturalnych (całkowitych dodatnich){1,2,3,....}
Definicja funkcji obejmuje wiele pojęć traktowanych w matematyce szkolnej nieco odmiennie.
funkcje,
których dziedziną
są liczby
całkowite nieujemne lub liczby naturalne
ℕ0 Ciągami
– Zbiór są
liczb
całkowitych
nieujemnych
{0,1,2,....}
(bądź też podzbiór liczb całkowitych nieujemnych). Właściwości ciągów wynikają przede
wszystkim z faktu, że w zbiorze liczb całkowitych istnieje naturalny porządek. Jeżeli w
biologiiCiągiem
pojawiająnazywamy
się ciągi to wynikają
one z uporządkowania pewnych wielkości, faktów,
każdą funkcję:
wyników.
f: ℕ A
W definicji funkcji
mieszczą się wszystkie działania. Reguły typowych działań określonych dla
liczb rzeczywistych poznaliście we wczesnym dzieciństwie i wydają się one być czymś
A – dowolny zbiór
innym niż funkcje. Tymczasem jako obiekt matematyczny są to funkcje określone jako
podzbiory iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów, z których pierwszy jest iloczynem
kartezjańskim dwóch zbiorów liczbowych, a drugi zbiorem liczb rzeczywistych. Typowe
Działania
są funkcjami.
działania
prosteliczb
funkcje
dwóch zmiennych (jak
powiedziałtakże
by matematyk)
lub
ℝ to
- Zbiór
rzeczywistych
dwuczynnikowe (wg. biologów). Warto jednak wiedzieć, że w wielu programach składnia
ℝℝ(x,y)(x+y)ℝ
funkcji będących typowymi działaniami jest inaczej
zdefiniowana. Odpowiada temu, z
czym spotykamy się w szkole, a więc jest symbolem pomiędzy liczbami, a nie symbolem
ℝℝ(x,y)(x-y)ℝ
funkcji z nawiasami i liczbami miedzy nawiasami.
Dotyczy to tych symboli, które są na
klawiaturze.
ℝℝ(x,y)(x*y)ℝ
ℝ(ℝ-{0})(x,y)(x/y)ℝ
Definicje pojęć związanych z funkcją
Podstawowe pojęcia związane z funkcją jak dziedzina i zbiór wartości są dobrze wszystkim
znane. Nie przyjęło się jakieś jedno oznaczenie dla tych zbiorów i niestety w biologii
Dana
jest funkcja
f:XY
operowanie
dziedziną funkcji
lub jej zbiorem wartości wymaga słownego opisu. Nie ma
też jednej ogólnie przyjętej nazwy dla funkcji, której dziedziną jest cały zbiór X, lub funkcji
której zbiorem wartości jest
matematyki definiowane są
{xcały
 Xzbiór
; Y.f W
( xpodręcznikach
)  y}
Dziedzina
funkcji:
yY
czasem tego typu funkcje jako odwzorowania
lub przyporządkowania, ale niezbyt
konsekwentnie (różni autorzy stosują różne definicje). W biologii odwzorowanie i
przyporządkowanie
jest synonimem
{y funkcji,
Y;  które
f ( x )można
 y} używać zamiennie, gdy operuje
Zbiór
wartości funkcji:
xX
się tym pojęciem.
Ważnymi funkcjami w biologii są natomiast zmienne. Są to pomiary badanych osobników,
ocena środowisk, wyniki eksperymentów – wszystko co może przyjmować różne
Synonimy
odwzorowanie,
przyporządkowanie
wartości, afunkcji:
pod względem
pomiarowym
stanowi określoną wielkość fizyczną. Zmienną
przykładowo jest ciężar myszy z określonej populacji złowionych w danym dniu,
temperatura powietrza w określonym miejsce i czasie, pH gleby z określonego miejsca w
Zmienna
– specyficzna
której dziedziną
jest zbiór
badanychzbiór
danym okresie.
Dziedzinąfunkcja,
tych zmiennych
jest zbiór badanych
osobników,
momentów czasowych,
w których
dokonywanoapomiarów
zbiór pomiaru
próbek
rzeczywistych
obiektów
(np. osobników),
zbiorem temperatury,
wartości wynik
gleby,
dla których zmierzono pH. Ciężar, pH są wielkościami fizycznymi, które posiadają
lub
eksperymentu
wszystkie osobniki populacji, wszystkie możliwe próbki gleby, a temperaturę powietrza w
danym miejscu można przypisać wszystkim momentom czasowym - nie tylko tym
mierzonym.
Złapanie
myszy i jej zważenie
jako
losowe,(np.
a
Zmienna
losowa
– specyficzna
funkcja,można
którejtraktować
dziedziną
jestzdarzenie
zbiór zdarzeń
wynik pomiaru (ciężar) jest wtedy zmienną losową. Wyniki jakiejś serii eksperymentów
złowień
osobników),
a zbiorem
wynik wśród
pomiaru
lub eksperymentu
też można
traktować jako
zmiennewartości
losowe wybrane
wyników
z hipotetycznej
nieskończonej serii eksperymentów. Konsekwencje takiego podejścia do badań
biologicznych omówimy w drugiej części naszych wykładów.
Bazy danych
Bazy danych wykonywaneWątroba
w biologii
Tłuszczmaja ściśle określona strukturę, która nosi nazwę „baza
Nr
Gat
Masa Bazami
Dług
F/T
masa są masa
Watr_Pb
Watr_Cd Watr_Zn
Skora_Pb
Skora_Cd Skora_Zn
Miesnie_Pb Miesnie_Cd
danych”.
danych
książki
telefoniczne,
karty
katalogowe
w bibliotece,
dane Miesnie_Zn
TB1
RA
29.23 w dziekanacie,
6.8
2.4
1.43 listy0.38
12.13 i ich
3.31cen130.13
25.91
1.17
0.42i podobne
0.29
115.09
osobowe
towarów
wyświetlające
się w440.02
kasach
TB2
RA
24.82 które
6.8 przechowuje
2.3
0.98
0.85
6.00
171.57
10.56
0.84
836.61
0.91
0.21
184.68
struktury,
się w 18.49
specjalnych
programach
nazywanych
także
„bazami
TB3
RA
27.85
6.8
2.7
0.97
0.19
1.09
4.44
103.33
27.33
0.77
301.66
0.72
0.25
92.87
danych”.
TB4
RA
28.16
7.3
2.6
1.06
0.24
0.90
4.12
132.65
27.01
0.47
280.42
0.74
0.02
97.98
TB9
RA
26.07
6.7
2.5
0.57
0.02
72.55
7.93
204.40
35.10
1.59
567.71
2.34
0.66
177.85
DaneRAsą ciągiem
informacji
zapisywanych
w ściśle
określonej
kolejności
(ale nie1.11koniecznie
w120.92
TB5
29.52
6.9
2.3
1.30
0.28
8.76
3.72
176.83
5.93
0.68
398.85
0.18
takiej31.76
samej 6.8
kolejności
wyświetlanych
na 7.00
ekranie).
Bazę
danych
najlepiej
wyobrazić
sobie
TB6
RA
2.7
1.01
0.15
3.59
158.20
11.29
1.14
235.56
0.53
0.17
116.98
jako tabelę złożoną z wierszy i kolumn, w której w wierszach umieszczone są informacje
TB7
RA
25.43
6.2
2.3
0.79
0.03
11.81
11.15
138.18
6.76
0.92
242.90
0.12
0.23
91.27
o badanych obiektach, a kolumny dotyczą informacji określonego typu. Ponadto typ
TB8
RA
25.46
6.3
2.3
0.68
0.06
12.59
10.43
142.16
7.01
0.95
255.11
1.04
0.46
126.16
informacji (kolumna) ma swoja nazwę, która także trzeba wprowadzić do bazy danych.
TR1
RT
22.09
5.7
Pokazane
przykłady
TR5
2.8 danych
0.47
0.61 zrobione
8.40
173.28
83.41
2.05 należącym
1702.78
0.36
0.47
104.20
baz
są
w25.87
Excelu
(w programie
do tzw.
RT
18.13 kalkulacyjnych).
6.3
2.7
0.42 Większość
0.61
5.76
23.59
276.03
54.43
1.57
1604.35
0.26
125.41
arkuszy
z was
wykonując
w przyszłości
swoje0.20
badania
RT
20.68
6.4
2.8ich 0.64
7.33 w Excelu
45.41
348.76
39.01
3.31 danych),
1796.97
0.54 powinna
0.48 to 117.24
będzie
zapisywała
wyniki0.26
właśnie
(a nie w
bazach
ale
RT
0.31 jak0.14
2.75
49.91
423.78
45.01
2.82 wiersz,
2088.55 tylko
2.49 jeden
0.62z
167.61
zrobić13.48
w taki6.3sam2.5
sposób
to pokazano
na ekranie
(pierwszy
RT
15.90 kolumn,
6.2
2.1
0.30 wiersze
0.13
18.51
323.36
41.03
2.02
1870.45
0.38
172.57
nazwami
kolejne
–0.91
informacje
o obiektach
badań
i wyniki 0.01
pomiarów.
TR6
RT
24.94
7.0
2.8
0.52
0.35
7.66
41.95
328.03
106.36
5.21
3499.76
0.01
0.92
232.14
TR14
RT
16.98
5.8
2.4
0.47
0.18
0.00
26.41
270.97
32.17
3.54
2006.06
0.00
0.66
163.60
TR15
RT
11.28
4.6
1.7
20.09
1.33
699.52
0.00
0.24
133.56
TR2
TR3
TR4
Pierwsza z tych baz dotyczy stężeń metali ciężkich(cynku, kadmu i ołowiu) w różnych
TR7
RT
21.80
6.2
2.3
0.46
0.06
19.30
41.35
398.53
78.34
3.84
1861.29
0.36
0.83
184.79
organach dwóch gatunków żab (trawna i moczarowa) złapanych w stawie opodal hałdy w
TR8
RT
22.74
6.3
2.4
0.40
0.44
2.27
24.61
428.17
51.13
1.85
2527.30
0.13
0.33
196.42
Miasteczku Śląskim. Zauważmy, że każda z tych żab dostała swój identyfikator.
TR9
RT
18.29
5.5
2.5
0.52
0.65
1.36
26.02
211.72
33.65
2.27
2019.25
0.00
0.44
192.20
Identyfikator ten był umieszczany na każdej próbówce z organami żab gdy szły one do
TR10
RT
17.47
5.6
2.5
0.36
0.10
1.26
16.70
450.54
42.76
2.20
1039.47
0.00
0.44
132.02
kolejnych analiz. Choć przyporządkowanie identyfikatora żabie można traktować już jako
TR11
RT
20.87
6.2
2.0
0.43
0.11
33.12
22.08
492.04
52.07
1.82
1139.52
0.13
0.32
133.55
funkcję – jest to funkcja wzajemnie jednoznaczna (każdej żabie odpowiada określony
TR12
RT
20.38
5.4
2.7
0.49
0.17
1.25
22.40
425.38
41.24
2.83
2627.38
0.00
0.48
207.06
identyfikator i każdemu identyfikatorowi odpowiada określona żaba). Wyniki ważeń i
TR13
RT
15.74
5.3
2.2
0.32
0.18
5.85
18.24
309.89
33.99
1.74
983.93
0.10
0.37
159.49
analiz przyporządkowane są tym identyfikatorom, a więc i odpowiednim żabom.
0.24
Bazy danych
głebokość
powierzchnia max.jeziora
głębokość
jezioro
jeziora ha
m
nr.próby prob cm
HCH  HCH 44'DDE 24'DDT hept
Kuc
98.8
28 I
0 do 5
0
0.1
31
0
0
Kuc
98.8
28 II
0 do 5
0
0.1
125
0
0
Kuc
98.8
28 I
5 do 10
0.1
30
187
100
0
Kuc
98.8
28 II
5 do 10
7
30
62
0
0
Kuc
98.8
28 I
10 do 15
0.1
0.1
46
50
0
Kuc
98.8
28 II
10 do 15
0
0
62
44
0
Druga z przykładowych
baz
danych
nie
dotyczy
osobników,
ale
prób
glebowych
pobranych
z
Kuc
98.8
28 I
15 do 20
0
0
0
0
0
Kuc
98.8
II
do 20
10 poprzez
15
125
0
tzw. „głęboczków”
czterech
jezior.28Próby
te15pobierane
były
wbicie
z 0dno jeziora
Majcz
163.5
16.4 I
0 do 5
0.1
0.1
0.1
0
0
długiej
(20 cm) rurki, 163.5
zatkanie jej16.4
końca
i wyciągnięcie.
Ponadto
5 powtórzeń
Majcz
II
0 do 5
0
0.1 wykonano
0.1
0.1
0
Majcz
163.5
16.4
I
5
do
10
0
0.1
15
0
0 iw
takiej operacji (tu pokazano dwie). Materiał z rurki podzielono następnie na 4 części
Majcz
16.4 II
5 do 10
0
15
15
0
0
każdej
z nich badano163.5
stężenie kilkunastu
pestycydów
stosowanych
w
przeszłości
w
Majcz
163.5
16.4 I
10 do 15
0
10
10
32
0
rolnictwie
oraz
ich
metabolitów.
Pięć
z
tych
związków
pojawiło
się
w
próbach.
Majcz
163.5
16.4 II
10 do 15
0
10
10
0
0
Majcz
163.5
16.4
I
15
do
20
0.1
9
21
0
Charakterystyczne jest w tej bazie danych jest brak jednego identyfikatora próby. 0
Majcz
163.5
16.4 II
do 20
0
9
21
Identyfikacji
próby można
dokonać
poprzez15
trzy
pola (Nazwa
jeziora,
numer00 próby00i
Syczyńskie
5.6
2.9 I
0 do 5
0
44
16
głębokość
osadu). Takiej
są wyniki
analiz
laboratoryjnych.
Syczyńskie
5.6 trójce przyporządkowane
2.9 II
0 do 5
0
44
32
0
0
Syczyńskie
5.6
2.9 I
5 do 10
0
7
16
0
0
Syczyńskie
5.6
2.9 II
5 do 10
0
7
24
0
0
Syczyńskie
5.6
2.9 I
10 do 15
0
0
13
0
0
Syczyńskie
5.6
2.9 II
10 do 15
0
0
6
0
0
Syczyńskie
5.6
2.9 I
15 do 20
0
6
32
21
0
Syczyńskie
5.6
2.9 II
15 do 20
0
6
26
21
0
Sumin
84.5
6.5 I
0 do 5
0.1
0
0
0.1
0
Sumin
84.5
6.5 II
0 do 5
0.1
0
0
0.1
0
Sumin
84.5
6.5 I
5 do 10
0.1
14
32
106
0
Sumin
84.5
6.5 II
5 do 10
0.1
0.1
0.1
0
0
Sumin
84.5
6.5 I
10 do 15
0.1
0.1
0
0
0.1
Sumin
84.5
6.5 II
10 do 15
0.1
0.1
0.1
0
0
Sumin
84.5
6.5 I
15 do 20
0
14
15
0
0.1
Sumin
84.5
6.5 II
15 do 20
0.1
0.1
0.1
0
1
Wielofunkcje i funkcje wielu zmiennych
Króciutkie wejrzenie w bazy danych utworzone przez waszych starszych kolegów przy okazji
wykonywania pracy magisterskiej
pokazało
z jakimi materiałami pracują biolodzy. Po
Wielofunkcja:
f:XY1Y
...Y
2
k rodzajów pomiarów. Wyniki tych
pierwsze po pozyskaniu próby wykonuje się wiele
pomiarów to ciąg liczb – bardzo rzadko jedna liczba. Innymi słowy przyporządkowanie
f(x)=(y
1,y2,...,y
k)
wyniku danej
próbie,
osobnikowi,
eksperymentowi najczęściej jest wielofunkcją (ang.
multifunction) inaczej nazywaną funkcją wielowartościową. Czasami przy analizach
Jeżeli dla każdego i=1,2,...,k oznaczymy:
materiału wykorzystuje się ten fakt, choć najczęściej analizuje się wpływ różnych
czynników
na każdą
kategorie wyników osobno. Korzysta się tu z prostego twierdzenia,
fi(x)=y
i to f=(f1,f2,...,fk)
że wielofunkcję można traktować jako ciąg pojedynczych funkcji.
Przy opracowaniu materiału często trzeba uwzględnić, że kilka czynników może wpływać na
pojedynczy wynik. Tworzy się wtedy funkcję wieloczynnikowej (ang. multifactor function)
Funkcja
zwaną teżwielu
funkcją zmiennych:
wielu zmiennych. f:X1  X2  ...XkY
Pokazane definicje są proste, ale niestety to nie wszystkie rodzaje funkcji rozpatrywane w
biologii. Kiedy
np. Populację w dłuższym okresie czasu możemy każdemu
f(x1,xanalizujemy
2,...,xk)=y
osobnikowi przyporządkować krzywą jego wzrostu (pewne funkcje czasozależne),
numery identyfikacyjne osobników będące jego potomkami (zbiory lub ciągi
identyfikatorów)
wiele innych wielkości
należących
pod względem
do
Zmienne są inajczęściej
zarówno
funkcjami
wielu matematycznym
zmiennych jak
różnych kategorii obiektów. Jest to dość istotne, bo standardy opracowania materiały
idotyczą
wielofunkcjami.
w zasadzie tylko liczb. W innych sytuacjach trzeba szukać w literaturze
sposobów analizy materiału lub wręcz tworzyć własne rozwiązania.
Nie wyczerpuje to wszystkich rodzajów funkcji rozpatrywanych
w biologii.
Bazy danych – etap w tworzeniu pracy dyplomowej
Badania terenowe, pomiary, eksperymenty
Utworzenie bazy danych jest dopiero początkiem procesu, którego celem jest napisanie pracy
dyplomowej. Jest to jednak ważny i niezbędny etap. Baza danych – to podstawowe
informacje o wykonanych przez studentów obserwacjach i eksperymentach. Pod
względem prawnym jest
jednak własnością
Uniwersytetu
Utworzenie
bazy
danychWarszawskiego, który
finansował badania. Powinna być załącznikiem do pracy dyplomowej, choć teraz nie jest
to wymagane przepisami. Wielu jednak promotorów, wiele zakładów wymaga dołączenia
do pracy właśnie bazy danych. Dodam też, że często to się studentom opłaca. Bazy
danych zawierające obserwacje
terenowe mają
dłuższy żywot naukowy niż prace
Opracowanie
wyników
dyplomowe. Mody na opracowanie materiału zmieniają się, a to co stwierdzono w terenie
teraz za wiele lat będzie być może jedyna informacja porównawczą dla przyszłych
badań. Dodam też że bazy danych są tak samo chronione jak prace dyplomowe. Przy ich
wykorzystaniu należyPisanie
podać autora
wykonywanych
badań. Pod względem prawnym ani
pracy
dyplomowej
prace dyplomowe ani bazy danych nie podlegają ochronie praw autorskim i ich
nielegalnego wykorzystania nie można ścigać sądownie (miejmy nadzieje, że to się
zmieni). Nie mniej zgłoszenie dziekanowi lub rektorowi faktu bezprawnego korzystania z
zebranych danych bez
informacji opracy
tym kto (egzamin)
te dane zbierał, może się dla osoby
Przyjęcie
oskarżonej skończyć wyrzuceniem ze studiów albo anulowaniem jego pracy dyplomowej.
Formalności
Przypatrzmy się teraz jak opracowuje się materiał dla potrzeb pracy dyplomowej. Po pierwsze
Co dalej ?
rozpatruje się różne zależności tworząc relacje między zmiennymi mogącymi wpływać na
wyniki, a wynikami. Jest to utworzenie i analiza różnych relacji.
Stężenia Pb w wątrobie
[mg.g-1]
Stężenie Pb w
skórze [mg.g-1]
Przykład pierwszy dotyczy stężenia ołowiu w skórze żab dwóch gatunków. Mamy tu rozrzut
wyników. Można sobie wyobrazić, że wszystkie żaby
150 żyjące w badanej sadzawce (oraz te,
które mogłyby żyć w danych warunkach środowiska) określonego gatunku mają podobne
stężenia ołowiu w skórze. Moglibyśmy zagęścić pokazany
rozrzut wyników dodając kilka
100
Czy
stężenia
metali
wyjątków w pewnym oddaleniu od pokazanej chmury. Oczywiście nikt tego nie robi, ale z
danymiciężkich
warunkami były
środowiska
innemożna
u związać pewien
50 rozkład stężeń ołowiu w skórze dla
żaby moczarowej i żaby trawnej. Takie patrzenie na populację powoduje, że danym warunkom
różnych
gatunków?
środowiska
i strukturze
genetycznej osobników przyporządkowuje
się pewien rozkład danych,
0
który zapewne istnieje, tylko nie jest nam znany. Znana nam jest tylko próba uzyskana dla
moczarowa
Żaba trawna
konkretnych osobników, a co więcej wyniki pomiarów tychŻaba
osobników
obarczone
są pewnym
błędem. Obserwując jednak rozrzuty danych dla prób skłonni jesteśmy podejrzewać, że w
skórze żab trawnych jest więcej ołowiu niż u żab moczarowych. Formułujemy taką hipotezę,
25
ale zauważmy dotyczy ona tego nieznanego nam rozkładu wszystkich możliwych stężeń
20
ołowiu w skórze jakie występują i mogłyby u żab wystąpić. Hipoteza ta formułowana bywa
różnie15ale dotyczy przesunięcia „w górę” całego rozkładu
stężeń Pb umetali
żab trawnych w
Czy stężenia
10 do rozkładu Pb u żab moczarowych.
stosunku
ciężkich zależały od
Innego typu relacja powstaje gdy analizujemy zależność między ciężarem osobnika a stężeniem
0
ciężaru osobników?
ołowiu w wątrobie. Tak się złożyło, że w próbie analizowanych osobników nie było dwóch
5
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
ważących tyle samo. Można mówić można zatem o funkcji między ciężarem osobnika a
Ciężar osobników
Żaba moczarowa
stężeniem
Pb w wątrobie – ale to nic nie znaczy. Znowu zastanawiamy się nad tym jak to
Żaba trawna
byłoby dla wszystkich osobników w populacji. Wtedy biorąc pod uwagę różne historie życiowe
osobników ważących tyle samo można by u nich różne stężenia Pb w wątrobie. Tak naprawdę
mamy tu do czynienia tylko z relacją między ciężarem osobnika a stężeniem Pb w wątrobie.
Relacje i funkcje liczbowe
RXY, f:XY
ℝ - zbiór liczb rzeczywistych
Procent
"zdrapowanych"
gniazd
Procent
"zdrapowanych"
gniazd
Tworząc na użytek pracy dyplomowej wykresy stwierdzonych w środowisku zależności bez
1. Relacje i funkcje, dla których X=ℝ, Y nie jest zbiorem liczbowym
przerwy rozważamy relacje między różnymi wielkościami liczbowymi i nieliczbowymi.
Wielkości
liczbowei cechuje
większa
liczba
analiz. Jest
wśród nich
2. Relacje
funkcje,znacznie
dla których
Y=ℝ,
Xmożliwych
nie jest zbiorem
liczbowym
określony naturalny porządek i są dla nich określone typowe działania (dodawanie,
odejmowanie,
mnożenie,
dzielenie
itd.). Relację
3. Relacje
i funkcje,
dla których
X=ℝmiędzy
i Y=ℝbrakiem i obecnością sójki w
lesie, a procentem gniazd wyjedzonych przez drapieżniki można zamienić na funkcję
między brakiem i obecnością sójki w lesie, a średnią liczbą wyjedzonych gniazd.
Podejście to można rozszerzyć dla relacji między dwiema zmiennymi liczbowymi: dla
150 można wyobrazić sobie, że istnieje
150
każdej wartości zmiennej niezależnej
pewna typowa
Sójka obecna
(np. średnia) wartość zmiennej zależnej. W ten sposób powstaje funkcja.
100
100
Brak sójki
50
50
0
0 20 40 60 80
0
25
50
75
0
Powierzchnia lasu [ha]
Powierzchnia lasu [ha]
Brak sójki Sójka obecna
-
Zmienna Y
Funkcje w biologii odgrywają dużą rolę i to nie tylko wtedy gdy patrzymy na funkcjonowanie
Funkcje liczbowe „tworzone przez przyrodę”
przyrody w sposób deterministyczny. Przy takiej filozofii uwzględnienie wszystkich przyczyn
danego zjawiska da jeden określony efekt. Występują także wtedy gdy analizujemy nie
wszystkie przyczyny jakiegoś zjawiska, spodziewamy się pewnego rozrzutu danych
f: ℝℝℝ
wynikającego
z nieuwzględnionych przyczyn ale wyliczamy ściśle zdefiniowana
f jest funkcją ciągłą w punkcje x0 wtedy i
charakterystykę takiego rozrzutu (np. średnią wartość) i uzyskujemy funkcję.
1.0
tylko wtedy gdy:
Jakie funkcje możemy w taki sposób uzyskać?
0.8
f (x 0 ) zależność
 tak
 by dlajakiejś jednej
f (x) wartości
 , f (x 0 ) 
Ciągłe
się 
0.6 gdyż rzeczywiste czynniki nie działają
 0  0 x( x 0  , x 0  )
nagle
0.4 zmieniała (innego typu zależność dla wszystkich x<x0 a inna dla x>x0)
0.2
Gładkie
czyli różniczkowalne, tzn. które w każdym punkcie posiadają jedną styczną. Trudno
f jest funkcja ciągłą wtedy i tylko wtedy gdy
sobie
0.0 wyobrazić zależność miedzy dwoma rzeczywistymi zmiennymi wyglądającą jak łamana.
jest ciągła
w każdym
punkcie
Jakiego
zmiennej
X mogłyby
dawać
taki efekt?
Ponownie
musielibyśmy dojść do
0.0 typu wartości
1.0
2.0
3.0
wniosku, że istnieja jakieś szczególne wartości zmiennych o odmiennych cechach niż wartości
Zmenna
X
minimalnie się od
nich różniące.
Opisane cechy tworzą pewna kategorię funkcji, które tworzy nam przyroda. Przykładowo, jeżeli
założymy,
żeróżniczkowalną
dane warunki środowiska
wielkość
nim osobników
f jest
funkcją
jeżeli wokreślają
każdymnam
punkcie
jej żyjących
wykresuwmożna
danej populacji to zależność miedzy długością osobnika, a średnim ciężarem jest funkcją
określić
tylko
jedną
styczną
(nie ma załamań)
utworzona
przez
przyrodę.
Zakładamy
przy tym, że każdy osobnik ma długość i ciężar,
długości i ciężary są liczbami rzeczywistymi (które mierzymy z pewna dokładności, ale to na
razie pomijamy), że w tym środowisku mogłyby żyć także inne osobniki o pewnym wzroście i
f jest
funkcją ograniczoną jeżeli zbiór wartości funkcji jest ograniczony
ciężarze. Zakładamy, że istnieje średni ciężar wszystkich możliwych osobników o takiej samej
długości. Funkcja przyporządkowująca określonej długości ten średni ciężar istnieje i ma jakiś
ciągły, gładki wykres.
Twierdzenie Weierstrassa
Twierdzenie 1
Wśród wszystkich funkcji ciągłych, różniczkowalnych, ograniczonych i
określonych na ograniczonym przedziale jest „więcej” funkcji, które nie
wyrażają się
jakimkolwiek
wzorem
matematycznym
niż tych,
które są afunkcjami
Przedstawione
tu twierdzenia
odgrywają
zasadnicza
rolę w analizie
rzeczywistości,
więc nie
w naukach
o tylko
jakimś
wzorze.przyrodniczych, ale także w fizyce, chemii i innych dziedzinach nauki.
Przedstawiam je tu niezbyt formalnie, ale chodzi przede wszystkim o zrozumienie istoty
tych twierdzeń. Była mowa o funkcjach istniejących w przyrodzie i pierwsza rzecz, która się
nasuwa – to jakim dane są one wzorem. Funkcje dane różnymi wzorami znane są wam ze
szkoły, ale nie2wszystkie
funkcje liczbowe musza być dane wzorem. Co więcej można
Twierdzenie
(Weierstrassa)
dowieść że w zbiorze wszystkich funkcji rzeczywistych ciągłych, różniczkowalnych i
ograniczonych,
podzbiór
funkcji
danychograniczone
wzorami jest o
znikomo
mały. Gdyby
losować można
jakąś
Wszystkie
funkcje
ciągłe,
gładkie,
ograniczonej
dziedzinie,
funkcję rzeczywistą,
ciągłą, różniczkowalna i ograniczoną to prawdopodobieństwo
przybliżać
wielomianami.
wylosowania funkcji danej wzorem jest równe 0.



Max[f ( x )  w ( x )]  
Przyroda nie musi się posługiwać
przez ludzi. Nie mniej drugie
f :[ a ,b ][ c,dwzorami
]  0
wwymyślonymi
x[ a ,b ]
wielomian przez Karla Weierstassa (XIX wiek) pokazuje,
twierdzenie udowodnione po raz pierwszy
że możliwe posługiwanie się funkcjami danymi wzorami do wyliczenia pewnych zależności
przyrodniczych. Błąd popełniany przy takich przybliżeniach można dowolnie zmniejszać
wybierając wielomiany coraz to wyższego stopnia.
Funkcjonowanie twierdzenia Weierstrassa
Zmienna Y
Podany przykład pokazuje jak zwiększając stopień wielomianu uzyskujemy coraz lepsze
przybliżenie nieznanej funkcji. Bardzo często wiemy, że nieznana zależność musi być
40
monotoniczna – malejąca lub rosnąca.
Wtedy przybliżenie funkcją liniową może być
1
30
wystarczające.
Takie przybliżenie zakłada, że tempo wzrostu/spadku Y przy wzroście X
20 Tak nie musi być, ale stosując
jest stałe.
to przybliżenie mamy prostą interpretację
2
wyliczonych
wartości parametrów funkcji liniowej.
Przy konieczności
10
Wielomian
stopniastosowania
n ma n+1
3
wielomianów
wyższego stopnia komplikuje się interpretacja kolejnych parametrów.
0
nieznanych parametrów. Nadawanie
Jesteśmy zatem
nawet niezbyt
dobrych przybliżeń
0 w naszych
50 badaniach
100 zdani na stosowanie
im interpretacji
biologicznej
funkcji generowanych przez przyrodę po to aby posługiwać się zrozumiałymi i
zaczyna nie mieć sensu.
Zmienna
X
interpretowalnymi
wzorami.
Zauważmy jeszcze jedną rzecz. Funkcje dane przez przyrodę są ciągłe i różniczkowalne. Przy
funkcja dana przez przyrodę
= ax +odbiegają
b
małym zakresie zmienności X takie funkcje rzeczywiścieyniewiele
od stycznej w
tych punktach.
Problem polega na tym, że często nie wiemy
czy zakres
zmienności X
tempo
funkcja liniowa
stała
stwierdzony w naszych badaniach był rzeczywiście mały.
zależności
funkcja kwadratowa
wielomian 3 stopnia
y = ax2 + bx+c
Połowa tempa tempo
stała
zmian tempa zależności
zależności
Wniosek z twierdzenia Weierstrassa
Każdą funkcję (także nieograniczone) można przybliżać funkcjami
Twierdzenie Weierstrassa dotyczy funkcji ograniczonych i określonych na ograniczonym
analitycznymi
przedziale, a nie wszystkie funkcje tworzone przez przyrodę są ograniczone. Niektóre
wielkości fizyczne są tak zdefiniowane (np. pH określone jako minus logarytm dziesiętny
- przekształcamy
funkcję
nieograniczoną
za pomocą
+, a właściwie
ze stężenia jonów
wodorowych H
hydroniowych
OH3+, odwracalnej
w roztworze
funkcji
analitycznej
dającą
funkcję
złożoną
ograniczoną
wyrażane w molach na metr sześcienny), że mogą zmierzać do nieskończoności.
Znacznie częściej
chcemy posługiwać
się funkcjami
które są określone na całym ℝ lub
- przybliżamy
funkcję ograniczona
wielomianem
ℝ+ a przyjmują ograniczone wartości (np.. Są procentem osobników zmarłych przy
- stosujemy przekształcenie odwrotne do pierwotnie zastosowanej
wzroście zanieczyszczenia wody. Od pewnej liczby wyrażającej tak duże
funkcji analitycznej
zanieczyszczenie, że brak tam będzie możliwości życia – mamy stałą wartość 100.
Problem z wielomianami jest taki że przy wzroście x do nieskończoności wartość
każdego wielomianu zmierza do  lub -.
Przykładowe rodziny funkcji przybliżające funkcje przyjmujące wartości zawsze
Poprzez stosowanie różnych przekształceń (wystarczy do tego użyć funkcji wykładniczych i
dodatnie:
n 1
logarytmicznych, funkcji tangens lub ncotangens)
możemy funkcje nieograniczone
 a n x  a n 1x
... a1x  a 0 
f
(
x
)

e
przekształcić na ograniczone i odwrotnie. Dla takiego złożenia można zastosować
przybliżenie wielomianem i zastosować przekształcenie odwrotne do pierwszego. W ten
sposób dochodzimy do wniosku, że wszystkie funkcje tworzone przez przyrodę możemy
Przykładowe
rodziny funkcjami
funkcji przybliżające
funkcje przyjmujące wartości zawsze
przybliżać pewnymi
danymi wzorami.
dodatnie i mniejsze od 100:
f (x) 
1 e

100
 a n x n a n 1x n 1 ...a1x a 0

Generalny wniosek z twierdzenia Weierstrassa
Najważniejszy wniosek z twierdzenia Weierstrassa zostawiłam na koniec wykładu. Jest to
możliwość tworzenia nauki i wiedzy, wiedzy w oparciu o wzory matematyczne, nawet
Wszystkie
procesy
biologiczne
wyrażające się funkcjami
wtedy gdy przyroda
wcale
się nimi nie posługuje.
liczbowymi
możemy
pewnymi
danymi
Nie
musimy porównując
wzrostprzybliżać
osobników dwóch
populacji funkcjami
zastanawiać się
jaka jest
wydajność cyklu Krebsa u osobników, jaki wydatek energii przeznaczają komórki na
wzorami
matematycznymi. Funkcje te nie są prawem natury, ale
detoksykację i rozważać wiele innych rzeczy, których ostatecznym efektem jest
mogą
w tak
dobry wzrost
sposób
pokazywać
liczbowe
(ilościowe)
mniejszy
lub większy
osobników.
Możemynam
rozkład
wzrostu właściwy
dla tych
populacji przybliżyć jakimiś funkcjami i prowadzić porównania i różne rozważania w
własności
różnych procesów, że można w oparciu o nie budować
oparciu o zmienność tych funkcji. Wydajność szlaków metabolocznych komórek
cywilizację.
osobników tych populacji i wszystko co wpływa na wzrost osobników są ukryte we
wzorach zastosowanych funkcji.