Transcript Echelle4

Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Partie 4 A: Problèmes d ’inclusions Opérateurs de Green
• 1 - Inclusion en milieu infini
• 1.1 problème homogène,
• 1.2 problème inhomogène et tenseur d'influence de Hill,
• 1.3 problème inhomogène avec chargement à l'infini,
• 1.4 estimation aux faibles concentrations.
• 2 - Opérateur de Green
• 2.1 solution élémentaire en milieu infini,
• 2.2 opérateur de Green modifié,
• 3 - Bilan
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
107
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Motivations
Solution pour une inclusion dans un milieu 
• Inclusion - Eshelby
• Opérateur de Green
• Tenseur de localisation
Homogénéisation des milieux à distribution aléatoires
estimations d’ordre 1et 2
Idée : connaître la solution pour une inclusion dans un milieu de
nature différente  connaître la solution d’une inclusion, possédant
des déformations initiales, constituée du même matériau que le milieu
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
108
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
1. Inclusion dans un milieu 
1.1 Problème de l’inclusion homogène - Eshelby
Utilisation des déformations libres - scénario d ’Eshelby
• Rappel : déformation libre
= déformation d’un milieu sans générer de contraintes,
si le milieu est libre de changer de morphologie
• dilatation volumique résultant d’une élévation de température
• déformations résiduelles, plasticité, ...
• Inclusion :
déformation libre dans l’inclusion t(x  I)
t
x
1
2
I
t
t
 (x  I) =  (x) I(x), x  V
déformation totale dans l’inclusion (mesurable)
I
3
V (domaine)
t
ij (x) = ij (x) + ij (x) I
Totale
Compatible
Libre
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
109
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Solution proposée par Eshelby (1957)
  I
0  I
t
0  I
0  I
V
t
0
0
I
  I
0  I
I
État naturel
initial relaxé
SE : tenseur d'Eshelby
t : déformation libre homogène
V
t
 : ES  I
) t   I  ( : IL  I 
0
0
V
I
Incompatibilité
de déformation
0
0
I
Équilibre final
V : milieu infini
I : inclusion
L : tenseur des modules du milieu infini
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
110
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Problème formulé par Eshelby (1957)
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
111
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Problème homogène
L’inclusion I a les mêmes propriétés que le milieu V qui l’entoure
I
1
• Les déformations doivent être compatibles   u(x) \ ij = (ui,j + uj,i)
2
• d’où l’expression des contraintes (en utilisant la symétrie de L) :
t
ij(x) = Lijkl (uk,l(x) - kl (x) I),  x  V
• et l’équilibre statique :
t
Lijkl uk,lj(x) - Lijklkl,j (x) I = 0,  x  V
t
Lijkl uk,lj(x) + fi =0,  x  V en posant fi = - Lijklkl,j (x) I
Efforts qu’il faut imposer sur la frontière de l‘inclusion pour
la ramener à une forme compatible
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
112
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
t
t
: S  
E
I
) t   I ( : L  I 
)   ( : L  
t
I
I
0
0
V
 : ES  I
V
t
Fi = Lijklkl nj
n
I
I
A résoudre
Lijkl uk,lj(x) =0,  x  V
t
ij nj = Fi = Lijklkl nj I  x  I
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
113
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Résolution : fonction de Green en élasticité linéaire
u(x)
x
x'
1
2
3
V
f(x’)
Fonction de Green : gij(x-x')
permet d ’exprimer le déplacement u(x) dans la
direction xi résultant de l’application d'une force
unitaire f en x' dans la direction xj
ui(x) = gij(x-x') fj(x')
Eshelby ui(x) = 
gij(x-x') fj(x') dx' = 
gij(x-x') Fj(x') dx'
I
I
On montre pour Eshelby :
pour un milieu  non contraint
1
t


ij (x) = - 2 Lklpq 
g
(x-x')
dv'
+
g
(x-x')
dv'

 jk,li
 ik,lj
 pq
I
I

E
t
Cadre mathématique au §2.1
ij (x) = Sijpq pq
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
114
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Propriétés du tenseur d’Eshelby :
• tenseur du 4ieme ordre
E
E
• partiellement symétrique Sijkl = Sjikl = Sijlk mais Sijlk Sklij
E
E
E
• expressions analytiques dans les cas simples :
ellipsoïde isotrope, déformation uniforme dans l’inclusion
Dépend uniquement du coefficient de Poisson et des facteurs
géométriques de l’inclusion
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
115
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Tenseur d’Eshelby
d
l
1
2
3
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
116
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
1
2
3
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
117
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Généralisation
Pour généraliser la démarche précédente, on peut passer par la polarisation
• Équation de comportement dans l'inclusion : I
= L:I + t
t : tenseur de polarisation (symétrique) tel que t-L:t
Contrainte qui apparaîtrait dans l’inclusion si après la
transformation (thermique, …) on bloquait la déformation
• Autres tenseurs (Hill, 1965)
• Déformation dans l'inclusion : I = -P:t
• Contrainte dans l'inclusion : I = -Q:t
• Propriétés de P
(plus intéressantes que SE)
(P = SE :L-1 = SE:M)
(Q = L - L:P:L)
symétrique, défini positif
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
118
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
1.2 Problème inhomogène et tenseur d'influence de Hill (L*)²
Extension de la solution d’Eshelby homogène (ellipsoïdale)
• LI=L+DLI
V
Symétrique non nul, mais
pas forcément défini positif
I
LI
L
• t : polarisation = contrainte correspondant à
t si inclusion seule, i.e. sans matériau V\I
= L: dans V\I
I= L:I +
t’ dans I,
= L:I + DLI:I + t
 C.A. dans V
 S.A. dans V
t = -LI : t
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
119
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Hypothèse : champ de polarisation homogène dans l’inclusion
 déformation constante dans l’inclusion
Eshelby
I = -P : t’
L*=P-1-L
= (SE:M)-1 -L
I = - [L* + LI ]-1 : t
Tenseur d’influence de Hill
• L* exprime la réaction du milieu infini sur l'inclusion en réponse à la
déformation que celle-ci lui impose, (illustration ci-après)
• tenseur symétrique, défini positif, de la dimension des modules d’élasticité
• dépend uniquement des modules du milieu
 et de la géométrie de l’inclusion
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
120
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Interprétation du tenseur d ’influence de Hill :
On vérifie
V
n
u=.x
I
u=.x
T=(-L*:).n
T=(L:).n
I= -L*:I
n
I
L
L
Effort à imposer pour
induire un déplacement u
Cavité dans un milieu 
Élément de matière
Si l’inclusion est beaucoup plus rigide que le milieu , on montre que
I
-1
t
t
  - [M*] :  = - L*: 
L’inclusion impose sa déformation libre au milieu
(la part d ’origine ‘élastique’ de la contrainte est négligeable)
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
121
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
1.3 Problème inhomogène avec chargement à l'infini
= L: dans V\I
I= L:I + t’ dans I, avec LI = L+DLI
o= L:o chargement à l'infini
 C.A. dans V
 S.A. dans V
• Élasticité linéaire : superposition des champs macro aux solutions
I - o=-L*:[I - o]
(une seule inclusion inhomogène noyée dans le milieu infini)
• Déformation et contraintes homogènes dans l’inclusion :
I = -P:t’ + o
I = - LI:P:t’ + LI o + o
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
122
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Remarque : inhomogénéité et Eshelby avec chargement à l ’
La solution précédente s’applique au cas où la déformation est COMPATIBLE
(la déformation libre est nulle)
I - o= -L*:[I - o] dans V\I
I= LI:I dans I
o= L:o chargement à l'infini
 C.A. dans V
 S.A. dans V
I = [L*+ LI]-1:[L*+L]:o
• Remarques :
x
 ij(x) Aijkl (x) Ekl
Localisation
• Solution indépendante des propriétés mécaniques de l’inclusion :
L*=L:[(SE)-1-I]
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
123
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
1.4 Plusieurs inclusions
Eshelby avec 2 inclusions disjointes (centrées en xi) subissant une transformation
homogène caractérisée respectivement par t1 et t2
V
(t1;t2)
I1
I2
 C.A. dans V (dérive d'un champ de dép.)
  0 loin de (I1  I2)
 = L: dans V\(I1  I2)
I1 = LI1: + t1 dans I1
I2 = LI2: + t2 dans I2
 S.A. dans V
Équations linéaires
Superposition :
(t1 = t;t2 = 0)
+ (t1 = 0;t2 = t)
(t1;t2)
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
124
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Solution
 x  V, (x) = - g1(x-x1):t1 - g2(x-x1):t2
polarisation dans I1
polarisation dans I2
Effets des polarisations
Dans I1 par exemple :
déformation = déf. homogène induite par t1 + effet à distance de t2 (déf. Inhomogène)
Généralisation
• Généralisation possible avec plusieurs inclusions homogènes
• Pas de généralisation possible avec plusieurs inhomogénéités car
 = Li :  + ti
= L : +[( Li - L ): + ti]
t’i n’est pas constant dans Ii: varie
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
125
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
• Problème inhomogène à une inclusion :
 x  V, (x) = - g(x-x0):t0
Déformation homogène dans Io
• Plusieurs inclusions et chargement à l'infini :
 x  V, (x) = 0 -
n
 gi(x-xi):ti
i=1
Déformation non homogène dans Ii
ti : polarisation due à l'inclusion Ii
xi : centre de l'inclusion Ii
gi : tenseur symétrique dépendant de L et de la forme de Ii
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
126
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
1.5 Estimation aux faibles concentrations
Inclusions distantes les unes des autres  : (milieu infini=matrice)
• seule la polarisation de l'inclusion sur elle même est considérée
• milieu
 = VER, L = Lm , LI = Li
Déformation homogène dans une inclusion :
déf. macroscopique
i =[L* m + Li]-1:[L*m+L]:E
Cas d'un composite à particules (fraction volumique ci) :
 contrainte macroscopique :  = Lm : E+ <[L - Lm]:>VER
Tenseur des modules effectifs (estimation au 1er ordre) :
LFC = Lm + ci [Li- Lm]:[L*m + Li]-1:[L*m+Lm]
Lm : tenseur des modules de la matrice
Li : tenseur des modules des inclusions
L*m : tenseur d’influence construit à partir des modules de la matrice et des formes des inclusions
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
127
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
2. Opérateur de Green
2.1 Solution élémentaire (g) de l ’élasticité en milieu infini
Soient xV et o(x) S.A. , avec fo un effort constant appliqué sur le volume
v centré en xo. On a uo(x), o(x) C.A., et uo0, o0 loin de xo.
Linéarité et invariance des champs par translation donc :
 g tel que uo(x) = g(x-xo).fov
o(x) = h(x-xo).fov
o(x) = L:h(x-xo).fov
g : opérateur de Green = distribution de tenseurs d'ordre 2
h : champ de tenseur d'ordre 3
1  dg jk
dg ik 
(x ) +
(x )
h ijk (x )  
2  dx i
dx j

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
128
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
2.2 Opérateur de Green modifié, solution d'un problème d'élasticité
Soient (x) S.A. avec f et (x) C.A. tels que : (x) = L:(x) + t(x)
PTV avec (u, ) et o :
 (x ) :  (x )dx  u(x ).f v
o
o
o
V
PTV avec (uo, o) et  :
 (x ) :  (x )dx   u (x ).f (x )dx
o
V
-
o
V
u (x o )    h ' (x o  x ) : t(x )dx +  g(x o  x ).f (x )dx
v
v
(x o )    ( x o  x ) : t( x )dx +  h ( x o  x ).f (x )dx
V
opérateur de Green modifié en déformation
dérivations
h'ijk(x)=hjki(-x)
V
dh ' jkl 
1  dh 'ikl
(x ) +
(x )
ijkl (x )  
2  dx j
dx i

Donne le champ de déplacement dû à une polarisation élémentaire tv en xo
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
129
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
2.3 Problème d'inclusions
Soit une inclusion I de forme ellipsoïdale dans un domaine V,
I centrée à l'origine, t la polarisation homogène dans I alors :
x  V, (x )   (x  y)dy : t
I
1
Propriétés de pour tout x0 :
ijkl = - symétrique
4
- homogène de degré -3
- faible variation loin de l'origine, singularité en 0
• Eshelby - rappel : polarisation
( gil,jk + gik,jl + gjl,ik + gjk,il)
t-L:t
-1
1
1
 (x) = - L  [ gik,lj(x-x') + gjk,li(x-x')] dv' : (-L : t) =  [ gik,lj(x-x') + gjk,li(x-x')] dv' : t
2
2
I
I
En symétrisant / (i,j), (k,l), on retrouve ijkl
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
130
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
3. Bilan
polarisation
1/ Eshelby inclusion
t
: S  
E
I
V
) t   I ( : L  I 
I = L:I + t
solution I = -P:t
I
2/ Problème inhomogène (LI,L) et tenseur de Hill
Tenseur d’influence de Hill
L*=P-1-L
= (SE:M) -1 -L
I= L:I +t’
I= -L*:I
3/ Inhomogénéité et Eshelby avec chargement à l ’
o, o
V
I - o=-L*:[I - o]
Déformation libre nulle  LOCALISATION
I
I = [L*+ LI]-1:[L*+L]:o
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
131
Méthodes de Changement d’Échelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires
_______________________________________________________________________________________________________________________________
L’essentiel
I - o=-L*:[I - o]
x
ij(x) Aijkl (x) Ekl
I =[L*+ LI]-1:[L*+L]:o
Moyenne sur les VER
Estimations courantes
• Hashin - Strikman : polarisation homogène/phase
• Mori - Tanaka : milieu  = matrice
• Autocohérent : milieu  = composite (définition
implicite)
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
132