Transcript Echelle3

Méthodes de Changement d’Échelle : homogénéisation des milieux à structure périodique
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Partie 3 : Propriétés linéaires des
composites à microstructure périodique
•1 Notions spécifiques aux microstructures périodiques
• 1.1 Cellule de base
• 1.2 Champs de déformation et de contrainte périodiques
• 1.3 Méthode des échelles multiples
•2 Propriétés élastiques effectives
•2.1 Loi de comportement effective
•2.2 Problème local
•2.3 Exemple 1D
•3 Méthode des éléments finis
•4 Exemples
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Propriétés linéaires des composites à
microstructure périodique
Intérêt par rapport à l’homogénéisation des
microstructures aléatoires :
- présente dans les composites (UD, tissus, tricots, …),
milieux poreux, mousses, ...
- cadre mathématique rigoureux (méthode des échelles
multiples)
- calculs numériques (utilisation de codes de calculs EF)
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1.1 Choix d’une cellule de base :
périodicité + taille minimale d
l
• Définit le milieu par translation le long de trois vecteurs
• Propriétés effectives indépendantes de son choix (non unicité de son choix)
2
1
3
1’
2’
3’
périodicité
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1.2 Champ de déformation et de contrainte périodique
• Conditions en déformations périodiques :
Rappel :
conditions homogènes au contour du VER  déformations périodiques si
dl
Par exemple, on impose E11 seul :
ud2-E11l=0
ud1-E110=0
d
2
1
ud1=0
0
1
l
2
d
ud2=E11 l u3=2 E11 l
Direction de périodicité
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Déplacements dans les cellules :
2
1
1
2
3
Variation rapide à
l’échelle des constituants
u
4 E11 l 1
3 E11 l
Variation lente à
l ’échelle de la structure
2 E11 l
E11 l
0
Direction de périodicité
u1 = u1 + u1’
0
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• Conditions de déplacement micro périodiques (u’#)
• Contraintes anti-périodiques (s -#)
contraintes S.A.
u'(x)
s1(-n) = -s1n
u'(x+l)
s 1n
d
1
2
l
1
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1.3 Méthode des échelles multiples  zoom
y2
x2
Homothétie 1/ : zoom
x1
y1
x
xc

Y
x-xc
y=
, 2 = 1 pèriode


x = variable macro(méso) - échelle du pli par exemple
 x-xc
y=
= variable micro - échelle des constituants



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• Hypothèses : en HPP les champs u, e, s sont
• fonctions des 2 variables x et y supposées indépendantes
• périodique en y (y-périodique)
• Règles de dérivation
1
grad = gradx + grady ,

1
div = divx + divy

• Champs u, e, s
d
1 

=
+
d xi  xi   yi
variation lente
variation rapide
2
u(x,y) = u0(x,y) +  u1(x,y) +  u2(x,y) + …
2
s(x,y) = s0(x,y) +  s1(x,y) +  s2(x,y) + …
t
e
(x,y)
=
e
(u
)
+
e
(u
)
(
e
(v)
=
grad
(v)
+
grady(v))

x
0
y
1
y
ij
y
on montre que
macro
<e0> = <ex(u0)>= E
micro
<ey(u1)>= 0 (pèriodicité)
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2. Propriétés élastiques effectives
2.1 Loi de comportement effective
O(1/) div (s ) = 0 (champ auto-équilibré)
y 0
• Équation d’équilibre div s + f = 0
O(1)
s(x,y) = L(y) : (E(x) + ey(u1))
moyennes
+
périodicité
• Loi de comportement micro
divy(s1) + divx(s0) + f = 0
• Loi de comportement effective
et problème associé
divx< L(y):{E + ey(u1)} > + <f> = 0

H

=
L
:E

<s0>
<s0> = <L(y)>:E + <L(y) : ey(u1)>
H
=L :E
seule inconnue
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2.2 Problème local
Sur la cellule de base inconnue u1
À résoudre
divy s0 = 0

 s0 = L(y) : {E + ey(u1)}
 u#1 et s-#0 (Y-périodiques)
Données

Y, L(y)


 <ex(u0)> = <e0> = E
• u1 unique à un vecteur constant près
•
s0 défini de manière unique
• pb d’élasticité avec déformation résiduelle homogène ou de thermo-élasticité
 6 problèmes sur la cellule de base (Eij) + conditions de périodicité
• problèmes linéaires  solution dépend linéairement des données Eij
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2.3 Exemple 1D : Composite 1D
xc
F
M
F
M

F
Échelles multiples
M
u(x)
f(x)
déplacement longi.
force de volume
Problème global
Équilibres
ds

(divx  + <f> = 0)
dx + f(x)=0

du
H
(
=
L
: E)

=
<s>
=
<E(y)>


dx
À résoudre (problème local)
s(x,y)
=0
y

u1(x,y)

s0(x,y) = E(y) : E0 +
y


#
-#
u1 et s 0 (période 1)



-1 1
x-xc
y=
, varie de 2 à 2

x1
O(1)
s(x,y) s1(x,y)
+
+ f(x,y) = 0
x
y
O(1/)
Données
 1 
d
+
d x =


x


y


s(x,y)
=0
y
E(y) = Ef, Em


 <ex(u0)> = <e0>

= E0
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Composite 1D Résolution
problème local 
s(x)
 u1(x,y) s(x)
 y = E(y) - 
½
½
u (x,y)
 u1(x,y)
On remarque que par périodicité: < 1
>= 
dy = [u1.ny]-½ = 0
y
y

-½
1
1
 h=< >
E
E
u1(x,y)
1 
1
= s  - < >
y
E E 
u1(y) u1(x,y)
y
F
M
0
-½
y
½
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2. Résolution par éléments finis
On utilise la linéarité / Eij u1i (x,y) =  j (y) Eij (x)
kh
0 ½0


12
par exemple E (x) =  ½ 0 0 
 0 0 0
divy s0 = 0

 s0 = L(y) : {E + ey(u1)}
#
-#
 u1 et s 0 (Y-périodiques)
kh
k,h
dép. micro
kh
dép. macro
kh
divy S = 0
kh
kh
kh
 S (y)= L(y) : {I + ey( )}
 kh # et Skh -#(Y-périodiques)
Quand kh connus  Skh  s(x,y) = Skh (y) : Ekh
 (x) = < Skh(y)> : Ekh
H
kh
 Lijkl = Lijkl(y) + Lijpq(y) ey pq( )
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x2
Les composites à fibres longues
• Pas de dépendance en y3
u11 1u11 u12 u13
+

 2
y1 2y2 y1 y1

x
e (u ) =

x
1
y
u12
y2
x

u 
2
y

u
=0 
y
1
3
x1
x3
2
1
3
3
• On peut décomposer ces déformations en 2 catégories
3 problèmes plans
y2
11
22
12
2 problèmes anti-plans
23
+ le même tourné
de p/2
y1
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Composites à fibres longues, à matériaux constitutifs isotropes
(l(y), m(y)), on montre qu ’on doit résoudre 4 pbs plans + 2 pbs de type laplacien
sab(x,y)

=0

ab
y
ers
b
• 1 pbs plans 
1


u
données Eab (a,b=1,)  sab(x,y) = l(y)   (x,y)+E ab + 2m(y)(ey ab + Eab)

 y

pbs plans avec 3 déformations résiduelles
• 2nds
sab(x,y)

=0

y
b
pbs plans 33 
donnée E33
 ab
1
u  (x,y)

sab(x,y) = l(y)  y +E33 ab + 2m(y) ey ab
solution évidente pour les composites usuels (Ef
>> Em)  33
sa3(x,y)

=0
a3

y
a
• pbs anti-plans 
similaire à un pb de thermique
1



u
(x,y)
3
données Ea3
sa3(x,y) = m(y) 
+ Ea3 (de type laplacien)  a3


 ya

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4. Exemples
4.1 Matériau composite isotrope de type Al/SiCp à renforts sphériques
Module d’Young : 33
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Module d’Young
z
ur=0
Bord supérieur
Bord latéral
r
uz=0
Conditions aux limites périodiques :
- bords latéral et supérieur restent droits,
- sur les deux autres bords : conditions de déplacement nul
Chargement imposé sur le bord supérieur :
uz=u3
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Module d’Young pour un matériau composite isotrope
de type Al/SiCp (renforts sphériques)
E composite / E matrice
3.5
Voigt
3
2.5
Homog. Périodique
2
1.5
Reuss
1
0.5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Fraction volumique
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4.2 Composite organique Verre/Epoxyde à fibres longues (Léné, 1984)
matériaux constitutifs isotropes : l(y), m(y)
Module d’Young Coefficient de Poisson
(GPa)
Matrice Epoxyde
4
0,34
Renforts Verre/E
84
0,22
symétries
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Modules d’Young pour un Verre/Epoxyde à fibres longues
E composite / E matrice
18
16
14
12
E3
10
<Ei>
8
6
4
E1=E2
2
<(Ei)-1>-1
0
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
Fraction volumique de fibres
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Modules de cisaillement pour un Verre/Epoxyde à fibres longues
7.5
G composite / G matrice
6.5
5.5
4.5
3.5
2.5
Lo&Cristensen
<(Gi)-1>-1
G12
G13=G23
1.5
0.5
-0.5 0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
Fraction volumique de fibres
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Comparaison avec l’homogénéisation de type désordre parfait :
• Les matériaux étudiés ne sont pas les mêmes en principe
• Ici bonne prise en compte des hétérogénéités locales de s ou u
• La solution par MEF est relativement lourde ici / modèles de type
self-consistent
• Il existe d’autres mèthodes (Transformées de Fourier rapides)
• Utilisation outil numérique -> traitement des comportements
endommagés, plasticité, ...
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