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Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ milieu hétérogène multiphases 5. Méthodologie de l'homogénéisation Représentation 5.1 Représentation (définition du VER) Localisation sij,eij = f(Eij,Sij, Lhijkl) Milieu Homogène Équivalent VER Homogénéisation Chargement homogène (Lhijkl) (Eij,Sij) (Eij,Sij) __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 35 Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5.1 Représentation (définition du VER) Hypothèse : VER représente globalement tous les volumes élémentaires • A priori, faux pour les aciers, céramiques, polymères, ... mais pour nous VER • Quasiment vérifié pour les structures ordonnées (composites à fibres longues,tissus, …) VER ~> une cellule élémentaire de l’arrangement périodique __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 36 Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1/ Choix échelle microscopique + description statistique topologique Caractéristiques géométriques et distribution spatiale (VE tous différents) • géométrie des phases (ellipsoïdes, sphères,…) • répartition • fraction volumique 2/ Identification mécanique Comportement mécanique des phases Utilisation d'outils d'analyse statistiques (moyennes des descriptions fines des positions, orientations, …) ou probabilistes x sij(x,t)= Lijkl ekl(x,t’) t't x eij(x,t)= Mijkl skl(x,t’) Définition du VER Recherche, étude et description des constituants homogènes mais description complète impossible (sauf cas périodiques) Estimations ou un encadrement des caractéristiques effectives du Milieu Homogène Equivalent __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 37 Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ milieu hétérogène multiphases 5. Méthodologie de l'homogénéisation 5.2 Localisation Localisation sij,eij = f(Eij,Sij, Lhijkl) VER Homogénéisation Chargement homogène (Lh ) ijkl (Eij,Sij) Milieu Homogène Équivalent (Eij,Sij) __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 38 Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5.2 Localisation VER = modèle de matériau hétérogène Analyse mécanique Problème de calcul de structures (computational mechanics) mais pas complètement défini À préciser • Sollicitations • Description statistique (fonctionnelle Y(x,t)) __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 39 Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Sollicitations Sollicitations sur le VER Efforts au point macroscopique M F correspondant relations de moyennes F Il faut revenir à un problème avec Conditions aux Limites classique ???? M Milieu Homogène Équivalent __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 40 Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Déformations homogènes ui - h Eij * xj = 0 * pas forcément connu Imposé Solution (quand c’est possible) : contraintes ou déformations homogènes au contour Formulation d’un problème avec conditions sur la frontière W Contraintes homogènes * h sij-Sij) nj =0 Résultats démontrés h 1 <eij> = e (r)dW = Eij |W ij W 1 e (r)dW <eij> = Eij = |W ij W h 1 1 <sij> = sij(r)dW = Sij sij(r)dW On définit <sij> = Sij = |W |W W W __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 41 Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Conditions homogènes au contour : justifiées quand l >> d ui - h Eij sij - xj = 0 h S ij) d nj = 0 h ui - Eij xj (Shij - sij ) nj d l d 0 eij(x),sij(x) b<<l x __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 42 Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Conditions homogènes au contour : Remarques • Contraintes homogènes déformations homogènes Comportement homogénéisés si l >> d • Pour les milieux périodiques Conditions homogènes au contour dl ud1-E1j(x1+l) ud1-E1jx1 s1(-n) = -s1n s 1n d • Conditions de déplacement périodiques • Contraintes anti-périodiques contraintes S.A. 1 2 l 1 __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 43 Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Conditions en déformations périodiques : ud1(x1,x2) = ud1(x1+l,x2) = E11(x1,x2) x1 + E12(x1,x2) x2 d E11(x1+l,x2) (x1+l) + E12(x1+l,x2) x2 2 1 1 l Par exemple, on impose E11 seul : ud2-E11l=0 ud1-E110=0 d 2 1 ud1=0 0 1 l 2 d ud2=E11 l u3=2 E11 l Direction de périodicité __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 44 Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Encadrements et estimations : Conditions de moyenne sur le VER + description statistique Non-unicité de la solution 2 Démarches possibles 1/ Hypothèses supplémentaires solution unique mais sens physique des hypothèses cadre de validité des ESTIMATIONS (modèle) 2/ Similaire aux approches variationnelles champ de contraintes et de déformations admissibles (contraintes S.A., déformations compatibles) Localisation relier ces ‘ champs d’approche ’ aux grandeurs macroscopiques imposées et paramètres de description Principe : ENCADREMENT (méthodes des bornes) Raffinement Encadrement optimal __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 45 Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Considérons le problème de localisation résolu complètement : Local x e(x,t) A [E(t’),Y(x’,t’)] x, x’ W, t’ t Histoire du comportement Fonctionnelle spatio-temporelle de Ensemble des paramètres de description - localisation des déformations géométrique et mécanique du VER - concentration des contraintes Déformations (Contraintes) macroscopiques x s(x,t) B [S(t’),Y(x',t’)] x, x’ W, t’’ t’ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 46 Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ milieu hétérogène multiphases 5. Méthodologie de l'homogénéisation 5.3 Homogénéisation Localisation sij,eij = f(Eij,Sij, Lhijkl) VER Homogénéisation Chargement homogène (Lh ) ijkl (Eij,Sij) Milieu Homogène Équivalent (Eij,Sij) __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 47 Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5.3 Homogénéisation Détermination du comportement effectif à partir du comportement local relations de localisation relations de moyennes (<>) x sij(x,t)= Lijkl ekl(x,t’) Loi de comportement locale Comportement du Matériau Homogène Équivalent __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 48 Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ De manière formelle : pour les contraintes En utilisant la loi de comportement locale et l’expression de la fonctionnelle de localisation correspondante : x S(t) = < s(x,t) > = < L e(x,t’)> x x L A [E(t’’),Y(x’,t’’)] t’ t x’ W, t’’ t’ Soit finalement la loi de comportement équivalente : (qu’on suppose pouvoir s’écrire formellement) Hom Sij(t) = Lijkl Ekl(t’) t’ t __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 49 Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ De manière formelle : pour les déformations En utilisant la loi de comportement locale et l’expression de la fonctionnelle de localisation correspondante : x (t) = < e(x,t) > = < M s(x,t’)> x t’ t x M B [S(t’’),Y(x’,t’’)] x’ W, t’’ t’ Soit finalement la loi de comportement équivalente : (qu’on suppose pouvoir s’écrire formellement) Hom ij(t) = Mijkl Skl(t’) t’ t __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 50 Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Remarques • On rappelle que les fonctionnelles homogénéisées LH et MH dépendent en toute rigueur du type de conditions au contour considérées, • de plus, rien ne garantit que ces 2 fonctionnelles soient, au contraire des fonctionnelles locales, inverses l’une de l’autre Pour tester ce dernier point, on peut utiliser le Lemme de Hill Ce théorème sera également utilisé dans les estimations des bornes d ’encadrement __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 51 Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Lemme de Hill (condition de macrohomogénéité de Hill ou condition de Hill-Mandel) Si s* est un champ de contrainte S.A. et e’ un champ de déformation compatible div(s*)=0 e’ e’(u’) soit en contraintes homogènes au contour h < s* ij e'ij(u’) > = Sij < e'ij(u’) > soit en déformations homogènes au contour h < s* ij e'ij(u’) > = < s* ij > Eij En conditions homogènes au contour et en homogénéisation périodique, on a égalité du travail macroscopique et de la moyenne spatiale du travail microscopique : h h < s* ij e'ij(u’) > = Sij Eij __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 52 Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5. Méthodologie de l'homogénéisation 5.4 Remarques et conclusion L’homogénéisation peut être une étape intermédiaire dans le calcul de réponses de matériaux : • comportement macroscopique très sensible aux comportements microscopiques (endommagement, rupture, ...). •dans le cadre de grandes transformations Homogénéisation VER (Y(x,t)) LH (MH) Localisation s,e • Application d’un critère local • Actualisation de la représentation locale • Pour la suite : élasticité linéaire et déformations infinitésimales __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 53 Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5.5 Synthèse de la démarche Y(x,t) VER sx)Bx[Sh,Y] Sh Eh sx) Homogénéisation sx) Localisation MH-S LH-E S ex)E ex) Comportement local ex) sx) __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 54