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Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss
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Partie 2 : Théorie des modules effectifs Approximations de Voigt et Reuss
•1. Théorie des modules effectifs
• 1.1 Localisation
• 1.2 Définition directe des tenseurs effectifs
• 1.3 Caractérisation énergétique, propriétés variationnelles
•2. Approximations de Voigt et Reuss
• 2.1 Approximation de Voigt
• 2.2 Approximation de Reuss
• 2.3 Bornes de Voigt et Reuss
• 2.4 Exemple
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S. DRAPIER
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Propriétés
Les matériaux qui nous intéressent
x
x
l
Thermoélasticité linéaire
x
Macrohétérogène, microhétérogène
Propriétés
l
Microhétérogène, macrohomogène
Propriétés
Propriétés
Macrohétérogène, microhomogène
x
x
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S. DRAPIER
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1. Théorie des modules effectifs
Matériau homogène à l’échelle macroscopique
Méthodes d’homogénéisation
Matériau hétérogène à une échelle plus fine
Notre cadre : élasticité linéaire et déformations infinitésimales
s, e : tenseurs de contraintes et de déformations définis à
l’échelle des hétérogénéités.
S, E : tenseurs de contraintes et de déformations définis à l’échelle
macroscopique.
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S. DRAPIER
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Rappel : relation entre les tenseurs des contraintes et des
déformations aux échelles locale et macroscopique :
1
<sij> = Sij = 
sij(r)d

|

1

<eij> = Eij =
eij(r)d

|

V ou  est le VER (volume élémentaire représentatif)
h
Eij,
h
Sij )
<sij> =
Ces moyennes ( <eij> =
sont valables en
l’absence de cavités, fissures, inclusions
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S. DRAPIER
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Pour S ou E connu :
1.1 Localisation
Quels sont les champs locaux qui en résultent dans  ?
Analyse mécanique  Équations du problème
divx(s(x)) = 0 ,  x  
h
Équilibre intérieur
h
<s> = S ou <e> = E , x  
Condition de moyenne
sx = L(x) : e(u(x)) ,  x  
Loi de comportement
mais
pas complètement défini
Non unicité de la solution (sollicitation)
Conditions aux limites : homogène au contour
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Sollicitation homogène au contour
Formulation d’un problème avec conditions sur la frontière 
Déformations homogènes imposées
h
ui - Eijxj = 0
Contraintes homogènes imposées
h
Sij -
(
sij) nj=0
Résultats démontrés
1
h
<eij> = 
e
(r)d
=
E
ij
|  ij

1
e (r)d
<eij> = Eij =
|  ij

1
h
1

<s
>
=
s
(r)d
=
S
<sij> = Sij = 
s (r)d
ij
ij
|  ij
|  ij


_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
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Condition de contraintes homogènes au bord
sij  Sij ) nj = 0,  x  
• Problème local à Sd donné:
divx(s(x)) = 0 , sx = L(x) e(u(x)) ,  x  
d
sx  S ) nx = 0 ,  x  
PCH
• Problème local à Ed donnée :
divx(s(x)) = 0 , sx = L(x) e(u(x)) ,  x  
d
sx  s) nx = 0 ,  x  , <eu>=E
P’CH
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S. DRAPIER
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Condition de déformations homogènes au bord
ui  Eij xj = 0,  x  
• Problème local à Ed donnée:
divx(s(x)) = 0 , sx = L(x) e(u(x)) ,  x  
d
ux  E x = 0 ,  x  
PDH
• Problème local à Sd donné :
divx(s(x)) = 0 , sx = L(x) e(u(x)) ,  x  
d
ux  e(u) x = 0 ,  x  , <s>=S
P’DH
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S. DRAPIER
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Remarques sur les conditions de contraintes et
déformations homogènes
Si on impose des contraintes homogènes sur 
d
sij-Sij) nj =0
d
S ij
VER
<s  S
d
mais
ui -
h
Eij
xj  0
Déformations inhomogènes sur 
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Tenseur de localisation et de concentration :
Propriétés en élasticité linéaire HPP - fonctionnelles linéaires
Ax : Tenseur de localisation des déformations
x
eij(x)  Aijkl (x) Ekl
x
x
x
Aijkl(x) = Ajikl(x) = Aijlk(x),
x
<A > = I
Symétrie des déformations (E,e)
Bx : Tenseur de concentration des contraintes
x
sij(x)  ijkl (x) Skl
x
x
x
Bijkl(x) = Bjikl(x) = Bijlk(x),
x
<B > = I
Symétrie des contraintes (S,s)
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1.2 Définition DIRECTE des tenseurs effectifs
Tenseur des modules effectifs :
E
PDH
E
h
S = <s  L : <e(u)> = L : E
Tenseur des souplesses effectives :
S
PCH
S
E = <e(u)>  M : <s> = M : S
h
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S. DRAPIER
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Propriétés des tenseurs effectifs :
E
S
L = <L : A>
E
Lijkl
=
E
Ljikl
=
E
Lijlk
M = <M : B>
S
Mijkl
et
=
S
Mjikl
=
S
Mijlk
Remarques :
1/ La loi des mélanges correspondrait à A = I et B = I
2/ Seule la connaissance moyenne par phase de A et B est nécessaire
L = <L : A> = r fr L : A
E
r
r
r
M = <M : B> = r fr M : B
S
r
r
r
A =<A>Vr B = <B>Vr
Vr
et fr =
V
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S. DRAPIER
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Cas particulier : matériau biphasé
L1(M1)
M
M
L (M )
E
M
1
M
1
1
M
L = L + f1 A (L - L )
S
1
M
M = M + f1 B (M -M )
1
1
A =<A>V1 B = <B>V1
V1
et f1=
V
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S. DRAPIER
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1.3.1 Caractérisation ENERGETIQUE :
• Suite des propriétés des tenseurs effectifs : Lemme de Hill
h
< s*
<e'ij(u’)>  Sij Eij
ij e'ij(u’) > = <s*>
ij
Lemme de Hill
1
2
E
Lijkl
démo
h
= < Lpqrs Arskl Apqij>
h
S
<s: M : s > = S :  : S
h
Lpqrs = Lrspq
E
Lijkl
E
= Lklij
E
h
h
<e: L : e > = E : L : E
• Relations de comportement inverses
S
-1
Lpqrs ASrskl
ASpqij>
eij = Aijkl <eij>)
E
E
Lpqrs Brskl
E
Bpqij>
sij = Bijkl <sij>)
(Mijkl) =L'ijkl = <
E
-1
S
S
(Lijkl) =M'ijkl = <
E
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1.3.2 Propriétés variationnelles :
Utilisation des Principes de Minimum
S.A. =
{s(x).n=Fd,
x F, div(s=0, x }
C.A. ={u(x)=ud, x u}
Fd
F
u
f
ud

• Principe du minimum en déplacements : Énergie Potentielle
1
d


P(v) = 
e(v):L:e(v)
d

f.v
d
F

 .v d
2


F
P(v) = W(v) - L(v)
(v C.A.)
u  F = 
u  F =
Travail des efforts donnés
Énergie de déformation
Parmi tous les champs de déplacement v(x) C.A, la solution u(x) minimise l’EP
P(u)  P(v)
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S. DRAPIER
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• Principe du minimum en contraintes : Énergie Potentielle Complémentaire
1
d d

P*() = - 
:M:
d

:e
(u ) d ( S.A.)

2
u

P*() =  W*() + L*()
Travail des contraintes dans les déplacements donnés
Énergie de déformation complémentaire
Parmi tous les champs de contraintes (x) S.A, la solution s(x) maximise l’EPC
P*(s)  P*()
• Formules de Clapeyron : si (u,s) solution
W(u) = W*(s) = L(u) + L*(s)
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S. DRAPIER
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Énergies de déformation moyennes
||
||
W(u) = < w(u)> =
< e(u):L:e(u) > =
< s > : <e(u)>
2
2
<X> =
1
X (r)d
|  j

Lemme de Hill
||
h
• En déformations homogènes au contour W(u) = 2 < s > : E
si (u(x), s ) solution
|| h E h
W(u) =
E :L :E
2
• En contraintes homogènes au contour
||
|| h
h
S
si (u(x), s) solution W*(s) =
<
s::s
>
=
S
:
M
:
S
2
2
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S. DRAPIER
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Encadrement des tenseurs effectifs
Sh
• Énergie Potentielle
Eh
(L(u)=0)
Sh
(L*()=0)
f(x) = 0 (forces de volume)
||
h
W(v) – L(v) =
< e(v):L:e(v) > - || S :<e(v)>
2
u(x) sol.
|| h
h
S
=S :M :S
2
Clapeyron
u(x) sol.
||
|| h
E
h
W(v)=
< e(v):L:e(v) >
W(u)
=
E
:
L
:
E
2
2
||
W*() =
< :M: >
2
s sol.
|| h
h
=
S : MS: S
2
• Énergie Pot. Complémentaire
Eh
||
h
W*() – L*() =
< :M: > - || <>: E
2
s sol.
|| h E h
=E :L :E
2
Clapeyron
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S. DRAPIER
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Encadrement des tenseurs effectifs
Eh
1
1
1
h
E
h
<>: E - < :M: > 
E : L : E  2 < e(v):L:e(v) >
2
2
h
Sh
1
1
1 h
h
h
S
- < :M: >  - S : M : S  < e(v):L:e(v) > - S :<e(v)>
2
2
2
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
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1.3.3 Influence des conditions de contour
Exemple : composite AL/Sic à fibres longues
Module d’Young Coefficient de Poisson
(GPa)
Matrice Al
70
0.3
Renforts Sic
420
0.2
• fibres circulaires, régulièrement réparties
• fraction volumique : Vf=0,385
• composite supposé à symétrie carrée (symétries de l’arrangement)
1
2
3
t, L, Et, EL,t , L
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
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Résolution numérique de PCH et P’DH
• déformation ou contrainte homogène au contour
• contrainte moyenne imposée
• influence du maillage :
5 VER : V, Vm avec m=2,4,6,8 contenant mm fibres
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
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Résultats :
modules de cisaillement transverse (t) et de compressibilité latérale (K) (Hashin,1966)
DH
t
E
CH
= L66 ; t
= L'66S
S
S
L
+
L
L
'
+
L
'
11
12
11
12
DH
CH
et K =
;
K
=
2
2
E
E
# = homogénéisation périodique
>10%
1,5%
0,2%
1,25%
 1

 2
Rappel : sij =  e pp ij + 2 e ij = k epp ij + 2 eij - epp ij = k- epp ij + 2 e ij
 3

 3
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
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ux  e(u) x = 0 ,  x  ,
<s>=S
d
d
sx  S ) nx = 0 ,  x  
Déformation équivalente
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
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Influence des conditions de contour : Conclusions
• Suquet (1982)
E
lim Lm = = lim
m+
m+
Lm'S
#
=L
• Hill-Mandel
MS:LE = I + O(d3/l3)
Si l>>d : (M’S )1=LE et (L’E )1 = MS
M-1H=LH et L-1H = MH
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
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2. Approximations de Voigt et Reuss :
Bornes du premier ordre
2.1 Approximation de Voigt (1887):
• Déformations uniformes dans : e(u(x)) = E x   et u(x) C.A.
h
r
A=I, on lève la nécessité de connaître les A =<A>Vr
V
L = <L>
LH =<L:A>
• Encadrement (Hill, 1952)
h
H
h
h
V
E :L :E E :L :E
h
Le tenseur des rigidités de Voigt est une estimation par excès
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
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2.2 Approximation de Reuss (1929):
• Contraintes uniformes dans : s
h
= S x   et s(x) S.A.
MH =<M:B>
R
M = <M>
B=I
• Encadrement (Hill, 1952)
h
H
h
h
R
S :M :S S :M :S
h
Le tenseur des souplesses de Reuss est une estimation par excès
Remarques
• la connaissance de Lr et Mr suffisent
• pas a priori de connaissance des symétries du MHE (->21 coeffs)
• illustration sur un exemple isotrope macroscopiquement et dans les phases
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S. DRAPIER
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2.3 Bornes de Voigt et Reuss
Matériaux composites isotropes et à phases isotropes :
R -1
H
V
(M )  L  L
au sens quadratique
Encadrement des modules de compressibilité
et de cisaillement
-1
  fr 
  
 r
 r=0 
-1
n

n
 
( fr r)
r=0
 n  fr 
  
 Kr
 r=0 

n
 K
( frKr)
r=0
• Encadrement valable pour k et  intervenant de manière découplée
(partie hydrostatique et déviatorique) : plus valide pour E et 
-1
-1
-1 -1
1
E
<>
1
 E  ? <>
3
1

+ <k> 
9

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
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2.4 Exemple
Deux phases isotropes du composite Al/SiCp:
Module d’Young
(GPa)
Coefficient de Poisson
Matrice Al
70
0.3
Renforts Sic
420
0.2
A faire
1/ Calcul des bornes de Voigt et Reuss
2/ Montrer la relation précédente pour E
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
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Module de cisaillement pour un matériau composite isotrope
de type Al/SiCp
7
t composite / t matrice
6
5
Voigt
4
3,12
3
#t=1,56
2
Reuss
1,48
1
0,385
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fraction volumique de fibres
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
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Module de compressibilité latérale pour un matériau composite
isotrope de type Al/SiCp
2,28
K#=1,52
1,42
0,385
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S. DRAPIER
84