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Aspekte der Risikoanalyse das Duration-Konzept
Die Duration als Maß für die
Zinsempfindlichkeit von Anleihen
Zinsänderungen bei festverzinslichen
Wertpapieren – Barwertbetrachtung
• (Wieder-)Verkaufspreis (d.h. der Kurs) eines
Wertpapiers (WP) unterliegt Schwankungen;
diese richten sich nach dem Marktzins i
• Steigender Marktzins  sinkender Kurs, da
Investoren aufgrund der festgelegten Zahlungen
eine entsprechende Rendite nur über den Kurs
erwirtschaften können
• Sinkender Marktzins  steigender Kurs für das
WP, da die Rückzahlungen nicht mehr so stark
abgezinst werden  höherer Barwert (= Kurs)
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Zinsänderungen bei festverzinslichen
Wertpapieren - Endwertbetrachtung
• Endwert eines Wertpapiers (WP) ist abhängig
von den Änderungen des Marktzinses i  hier
gegenläufiger Effekt zur Barwertbetrachtung
• Steigender Marktzins  höherer Endwert, da die
laufenden Kupon-Zahlungen (Zinszahlungen) zu
dem höheren Marktzins wieder angelegt werden
können
• Sinkender Marktzins  sinkender Endwert, da
laufende Kuponzahlungen nur zu dem
geringeren Marktzins wieder angelegt werden
können
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Zinsänderungen bei festverzinslichen
Wertpapieren – Ausmaß der Kursänderung
• Fragestellungen:
– Welche Eigenschaften eines festverzinslichen
WPs (z.B. Laufzeit, Kuponhöhe) und welche
externen Einflussfaktoren (z.B.
Marktzinsniveau) beeinflussen die
Kursempfindlichkeit des WP?
– Gibt es eine Laufzeit eines WP, die als
Haltedauer interpretiert, die unterschiedlichen
Effekte der Zinsänderung aufwiegt, d.h.
immunisiert?  siehe Vortrag von Hr.
Dreesen
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Duration als Sensitivitätskennzahl
• Die Duration ist eine Sensitivitätskennzahl,
welche die durchschnittliche
Kapitalbindungsdauer einer Geldanlage in ein
festverzinsliches WP bezeichnet.
• Die Duration ist der gewichtete Mittelwert der
Zeitpunkte, zu denen der Anleger Zahlungen
(Kupons) aus dem WP erhält.
• Als Gewichtungsfaktor des Durchschnitts
werden die Barwerte der Zinszahlungen der
jeweiligen Geldanlage (WP) herangezogen.
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Annahmen des Durationskonzepts
• Flache Zinsstrukturkurve: vereinfachte Annahme
laufzeitunabhängiger Zinsen; dadurch können
Zahlungen, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten
anfallen, mit einem einheitlichen Zinssatz
abgezinst werden
• Einmalige Änderung des Marktzinsniveaus:
Änderung erfolgt unmittelbar nach Erwerb des
WP
• Wiederanlage der Kuponzahlungen erfolgt zum
Marktzins i
• Keine Transaktionskosten und keine Steuern
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Duration – Ausgangspunkt (1)
• Beispiel: Anleihe A besteht aus zukünftigen
Kuponzahlungen Zk zu den Zeitpunkten tk (k = 1,..,n).
Rücknahmekurs Cn im Zeitpunkt tn ist dabei in der
letzten Zahlung Zn bereits enthalten!
• Zum Zeitpunkt t=0 ergibt sich der finanzmathematische
Wert (dirty price, Bruttopreis) C0 der Anleihe durch
Abzinsen sämtlicher Zahlungen Zk mit dem im Zeitpunkt
t=0 herrschenden Marktzins i.
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Duration – Ausgangspunkt (2)
• Ist i der stetige Periodenzinssatz, so gilt:
• Ist i der diskrete exponentielle Periodenzinssatz,
so gilt:
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Beispiel – Berechnung Barwert nach stetiger
und diskreter Methode
• Anleihe (Nennwert 100 €), Laufzeit k = 5 Jahre,
Kupon i.H.v. 10 €, Rücknahmepreis 100 €,
Marktzins i = 8%
• Stetiger Barwert:
C0 = 106,62 €
• Diskreter Barwert:
C0 = 107,99 €
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Empfindlichkeit des Kurses C0 durch
Änderung der unabhängigen Variablen i
• Berechnung der Änderung der Variablen C0 bei
Änderung der unabhängigen Variablen i um
eine kleine Einheit di erfolgt durch die erste
Ableitung C´0 (i) bzw. durch
das Differential dC0 = C`0 (i) * di
• D.h.
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Empfindlichkeit des Kurses C0 durch
Änderung der unabhängigen Variablen i
• Die Relative (prozentuale) Veränderung
dC0 / C0 des Anleihepreises folgt in
Abhängigkeit von der Zinsänderung di:
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Definition – Duration
(bei stetiger Zinsformel)
• Unter der Duration D einer gegebenen
Zahlungsreihe Z1, Z 2, …, Zn (fällig bezogen auf
t=0 – zu den Zeitpunkten t1, t2, …, tn) beim
Marktzinsniveau i (als stetiger Zinssatz) versteht
man die Zahl D mit:
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Sensitivität von Anleihen bzgl.
Zinsschwankungen
• Gegeben sei eine Zahlungsreihe (z.B. Anleihe)
Z1, Z2, …, Zn zu den Zeitpunkten t1, t2, …, tn und
– bei flacher Zinskurve – ein stetiger
Marktzinssatz i.
Die Duration der Zahlungsreihe sei D.
• Unmittelbar nach Bewertung der Zahlungsreihe
durch ihren Barwert C0 ändere sich der
Marktzins i um di.
• Dann ist die resultierende relative (prozentuale)
Änderung dC0 / C0 des Barwerts C0
(näherungsweise) gegeben durch:
dC0 / C0 = -D * di
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Ermittlung der Duration anhand eines
Beispiels (1)
• Bsp.: Anleihe (Nennwert 100 €), Laufzeit k = 5 Jahre,
Kupon i.H.v. 10 €, Rücknahmepreis 100 €,
Marktzins i = 8%
Zeitpunkt t
Zahlung Zt Barwert C0
Zt* e-0,08t
Zeitpunkt * Barwert
t * Zt * e-0,08t
1
10
9,2312
9,2312
2
10
8,5214
17,0429
3
10
7,8663
23,5988
4
10
7,2615
29,0460
5
110
73,7352
368,6760
106,6156 (= C0)
447,5949
Summe
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Ermittlung der Duration anhand eines
Beispiels (2)
• dC0 = 447,5949
• C0 = 106,6156
• Duration D = dC0/C0 = 447,5949/106,6156
D = 4,1982
• Somit können wir die relative Änderung des
Anleihepreises ermitteln, wenn sich unmittelbar nach t=0
der Marktzins um einen kleinen Betrag di ändert.
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Ermittlung der Duration anhand eines
Beispiels (3)
• Bsp.: di = 0,001, d.h. der stetige Marktzins ändert sich
von 8,0% auf 8,1%
• dC0 / C0 = -D*di
-4,1982*0,001 = -0,0041982
• D.h., dass der Barwert C0 des Papiers um 0,41982%
von 106,6156 auf 106,1680 ≈ 106,17 € fallen müsste.
Zeitpunkt t
Zahlung Z
Barwert C
• Probe:
t
0
Zt*
1
10
9,2219369
2
10
8,5044121
3
10
7,8427151
4
10
7,2325024
5
110
73,367449
Summe
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e-0,081t
106,16902 (=C0)
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Alternative Definition der Duration
• Vorne haben wir gesehen, dass die Sensitivität
dC0/C0 eines Wertpapiers ggü.
Zinsschwankungen mit Hilfe der Duration D
gemessen werden kann (= -D*di).
• Umgekehrt (nach D aufgelöst) bedeutet dies:
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Interpretation der „Durations-Formel“
• Umformung:
• Interpretation:
– Der geklammerte Term: Im Zähler steht der Barwert der k-ten
Zahlung; im Nenner der Barwert (Kurs) der gesamten
Zahlungsreihe  Der Bruch enthält den Barwert-Anteil der k-ten
Zahlung am Gesamt-Barwert
– Die geklammerten Terme sind „Gewichte“, die mit den jeweiligen
Laufzeiten bzw. Zeitpunkte tk der Zahlungen Zk multipliziert
werden. Jeder zukünftige Zahlungszeitpunkt tk wird mit dem
Barwert gewichtet, den die zugehörige Zahlung zum Barwert C0
beiträgt.
– Duration D = gewogener Durchschnitt aller dieser Laufzeiten.
Somit „durchschnittliche Bindungsdauer“ des eingesetzten
Kapitals bis zum vollständigen Rückfluss oder „durchschnittliche
gewichtete Fälligkeit“ der Kapitalanlage.
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Definition – Duration
(bei diskreter Zinsformel)
• Unter der Duration D einer gegebenen
Zahlungsreihe Z1, Z 2, …, Zn (fällig bezogen auf
t=0 – zu den Zeitpunkten t1, t2, …, tn) beim
Marktzinsniveau i (als diskreter Zinssatz)
versteht man die Zahl D mit
sog. MacaulayDuration
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Empfindlichkeit des Kurses C0 durch
Änderung der unabhängigen Variablen i
• Berechnung der Änderung der Variablen C0 bei
Änderung der unabhängigen Variablen i um eine
kleine Einheit di erfolgt durch die erste Ableitung
C´0 (i) bzw. durch das Differential dC0 = C`0 (i) * di

d.h.
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Empfindlichkeit des Kurses C0 durch
Änderung der unabhängigen Variablen i
• Die Relative (prozentuale) Veränderung
dC0 / C0 des Anleihepreises folgt in Abhängigkeit
von der Zinsänderung di:
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Einheitliche Darstellung der
Zinsempfindlichkeit des Anleihekurses C0
• Stetige Zinsformel mit i = stetiger Marktzins
• Diskrete Zinsformel mit i = diskreter Marktzins
• Einheitliche Darstellung:
wobei: modifizierte Duration MD = D/(1+i) und
D = Macaulay-Duration
 Die MD spielt bei Verwendung der diskreten
Zinsformel dieselbe Rolle wie Duration D bei
Verwendung der stetigen Zinsformel
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Modifizierte Duration MD
• Die Modifizierte Duration gibt an, wie stark sich
der Gesamtertrag einer Anleihe (bestehend aus
den Tilgungen, Kuponzahlungen sowie
Zinseszinseffekt bei der Wiederanlage der
Rückzahlungen) ändert, wenn sich der Zinssatz
am Markt ändert.
• Die Modifizierte Duration MD steht mit der
Macaulay-Duration (D) in folgendem
Zusammenhang:
MD = D * [1/(1+i)] bzw. MD = D/(1+i)
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Ermittlung der Macaulay-Duration anhand
eines Beispiels (1)
• Bsp.: Anleihe (Nennwert 100 €), Laufzeit k = 5 Jahre,
Kupon i.H.v. 10 €, Rücknahmepreis 100 €,
Marktzins i = 8%
Zeitpunkt t
Zahlung Zt Barwert C0
Zt* 1,08-t
Zeitpunkt * Barwert
t * Zt * 1,08-t
1
10
9,2593
9,2593
2
10
8,5734
17,1468
3
10
7,9383
23,8150
4
10
7,3503
29,4012
5
110
74,8641
374,3207
107,9854 (= C0)
453,9430
Summe
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Ermittlung der Macaulay-Duration anhand
eines Beispiels (2)
• dC0 = 453,9430
• C0 = 107,9854
• Duration D = dC0/C0 = 453,9430/107,9854
D = 4,2037
• Somit können wir die relative Änderung des
Anleihepreises ermitteln, wenn sich unmittelbar nach t=0
der Marktzins um einen kleinen Betrag di ändert.
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Ermittlung der Macaulay-Duration anhand
eines Beispiels (3)
• Bsp.: di = 0,001, d.h. der diskrete Marktzins ändert sich
von 8,0% auf 8,1%
• dC0 / C0 = -MD*di = [-D/(1+i)]*di
(-4,1982/1,08)*0,001 = -0,0038923
• D.h., dass der Barwert C0 bzw. Preis des Papiers um
0,38923% von 107,9854 auf 107,5651 ≈ 107,57 € fallen
Zeitpunkt t
Zahlung Z
Barwert C
müsste.
Z * 1,081
• Probe:
1
10
9,2506938
t
0
t
2
10
8,5575336
3
10
7,9163123
4
10
7,3231381
5
110
74,518519
Summe
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-t
107,5662 (=C0)
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Definition der Duration als Elastizitätswert
(1)
• Elastizitätsbegriff als Antwort auf Untersuchung
der relativen (prozentualen) Änderung dC0/C0
bzw. d(1+i)/(1+i) (d.h. Änderung des
Anleihewertes C0 bei kleiner Marktzinsänderung
d(1+i))
• Unter Elastizität εC0,q des Anleihepreises C0 in
Bezug auf den Marktzinsfaktor q (=1+i) versteht
man den Quotienten der relativen (prozentualen)
Veränderung der beiden Variablen C0 und q
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Definition der Duration als Elastizitätswert
(2)
• Mit Hilfe der Differentialrechnung, der Formel
dC0/di und der klassischen diskreten
Verzinsungsformel erhält man (unter Beachtung
von dq = d (1+i) = di):
MacaulayDuration
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Definition der Duration als Elastizitätswert
(3)
• Die Macaulay-Duration D beschreibt somit die
prozentuale Veränderung des Anleihewertes C0
bei Änderung des Zinsfaktors um einen Prozent
– eine Modifikation von D ist somit nicht
notwendig.
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Definition der Duration als Elastizitätswert
(4) - Beispiel
• Man nehme die Daten aus dem Beispiel von Folie 24f.:
wobei i = 8%, di = 0,1%,
D = 4,2037
• dq = di = 0,1%-Punkte stellen eine Zunahme des
Zinsfaktors 1,08 (=q) um 0,092592% (=0,1/1,08) dar
• Aus εC0, q = -D = -4,2037 folgt:
• dC0/C0 = -4,2037 * dq/q = -4,2037*0,092592% = 0,38923%
• Dies ist somit dasselbe Ergebnis, wie es mit der
modifizierten Duration MD ermittelt wurde (siehe Folie
26)!
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