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Finanzmathematik
Die immunisierende Eigenschaft der Duration Duration und Convexity
Bonn, 10 Juni 2011
Referent:
Christoph Dreesen
10.06.2011
Christoph Dreesen / MAF BN SS 2011
Gliederung
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Exkurs: Zinsänderungsrisiko
Duration als Maß für das Zinsänderungsrisiko
Problemstellung und Zielsetzung
Immunisierungswirkung der Duration
Duration und Konvexität
Übungsaufgaben
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1. Exkurs: Zinsänderungsrisiko
(1)
Zinsänderungsrisiko im engeren Sinne:
Endwertänderungsrisiko, Wiederanlagerisiko
Bei einer Änderung des für die Wiederanlage relevanten
Marktzinses während der Laufzeit kann ein fixierter, geplanter
Endwert bzw. geplante Rendite bis zu einem bestimmten
Planungszeitraum nicht erzielt werden.
Der Anlageerfolg der ausgeschütteten Zinsen verändert sich
entsprechend (=Wiederanlagerisiko).
Bezugsbasis für die Bewertung des ZÄR ist ein zukünftiger
Zeitpunkt (= endwertoriertierte Betrachtung).
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1. Exkurs: Zinsänderungsrisiko
(2)
Marktwertänderungsrisiko (in der Praxis)
Wenn sich der Marktzins verändert , verändert sich der Barwert der
Anleihe. Bezugsbasis für die Bewertung des ZÄR ist der
gegenwärtige Zeitpunkt (=barwertorientierte Betrachtung).

Marktzinsänderungen wirken sich auf


die zukünftigen Wiederanlagebedingungen (1)
und den gegenwärtigen Kurswert (2)
gegenläufig aus.
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2. Duration als Maß für das Zinsänderungsrisiko
Die Duration bezeichnet denjenigen Zeitraum, den die
Zahlungen aus einem Investitions-/Finanzierungsprojekt im
gewogenen Durchschnitt bis zum Rückfluss benötigen.
„durchschnittliche Kapitalbindungsdauer bspw. eines
festverzinslichen Wertpapiers “
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2. Duration als Maß für das Zinsänderungsrisiko
Exkurs: Prämissen des Durationsmodells:
• Es existiert eine flache Zinsstrukturkurve
• Es findet (nur) eine einmalige Zinsänderung in t = 0+ statt
• Dieser Zinssprung bewirkt eine Parallelverschiebung der flachen
Zinsstrukturkurve
• Investoren haben einen festen Planungshorizont; es werden
zwischenzeitlich keine Beträge entnommen
• Zwischenzeitliche Zahlungen werden zum Marktzinssatz wieder
angelegt
• Keine Steuern und Transaktionskosten
• Der theoretische Kurs ergibt sich aus dem Barwertkonzept
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3. Problemstellung und Zielsetzung
Gibt es eventuell eine Zeitspanne/Laufzeit für festverzinsliche
Wertpapiere, die - wenn sie als Haltedauer für das Papier
interpretiert wird - die genannten unterschiedlichen Effekte
aufwiegt/überkompensiert; zu diesem Zeitpunkt dem
Wertpapierinhaber also mindestens dasselbe Endvermögen
garantiert, als hätte keine Zinsschwankung stattgefunden?
Kurz:
Kann man ein festverzinsliches Wertpapier oder ein entsprechendes Wertpapier-Portfeuille gegen Zinsschwankungen (egal in
welche Richtung) „immunisieren“?
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4. Immunisierungswirkung der Duration
Denkbar sind folgende Szenarien bei Veräußerung einer
Kuponanleihe während der Restlaufzeit (z.B. T Jahre, (T < n)):
• Hat sich der Zinssatz in t = 0+ erhöht, so konnten zwar die ersten
Kuponzahlungen zu dem höheren Zinssatz angelegt werden; die im Zeitpunkt
T noch ausstehenden Zahlungen werden jedoch stärker abgezinst und liefern
einen geringeren Barwert. (Z ; Kurs )
• Ist hingegen der Zinssatz in t = 0+ gesunken, so konnten zwar die ersten
Kupons zu einem geringeren Zinssatz angelegt werden, dafür erzielt der
Investor in T für die noch ausstehenden Zahlungen einen höheren Preis, da
weniger stark abgezinst werden muss. (Z ; Kurs )
 Gibt es einen optimalen Haltepunkt T, so dass unabhängig von
Ausmaß und Richtung der Zinsänderung das Gesamtergebnis WT so
ausfällt, als habe es überhaupt keine Zinssatzänderung gegeben?
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4. Immunisierungswirkung der Duration
Betrachten wir dazu ein Beispiel:
Der Zeitwert WT der Anleihe im Zeitpunkt T ist eine Funktion WT(q) des
Zinsfaktors q = (1 + i) im betrachteten Zeitraum:
WT(q) = (10q-1+10q-2+110q-3)*qT = 10*(q-1+q-2+11q-3)*q2,75
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4. Immunisierungswirkung der Duration
Stellt man die vorgenannte Funktion grafisch dar, ergibt sich folgendes Bild:
• Zeitwert WT hat ein Minimum
an der Stelle q = 1,0575
• für das Marktzinsniveau 5,75%
p.a. ist der Gesamtwert WT der
Anleihe in t = T = 2,75 minimal
• Ist der Zinssatz mit 5,75% p.a.
als geplanter, noch nicht geänderter Marktzins vorgegeben,
so führt jeder andere Zinssatz
in T = 2,75 zu einem höheren
Gesamtwert als geplant
 „Immunisierung“
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4. Immunisierungswirkung der Duration
Wir können das Beispiel verallgemeinern:
A priori errechnet der Investor sein Gesamtvermögen WT nach Ablauf seiner
individuell geplanten Haltedauer T (d.h. im Zeitpunkt T) als (auf- bzw.
abgezinster) Zeitwert sämtlicher Zahlungen aus der Anleihe.
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4. Immunisierungswirkung der Duration
Um das Minimum zu erreichen wendet man die entsprechende notwendige
Extremalbedingung W‘T(q) = 0 der Differentialrechnung an:
!
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4. Immunisierungswirkung der Duration
Ergebnis = Immunisierende Eigenschaft der Duration
•
Wenn die Haltedauer T mit der Duration der Anleihe übereinstimmt, dann ist
der (mit dem ursprünglichen Marktzinsfaktor q ermittelte) Zeitwert WT(q) der
Anleihe kleiner als für jeden anderen Marktzins.
•
Angenommen der Investor plane eine Haltedauer genau in der Höhe der
Duration, dann führt jede Zinsschwankung (t = 0+) zu einem höheren
Gesamtzeitwert W (q*) der Anleihe in T = D, als hätte keine Zinsänderung
stattgefunden - die ursprünglich geplante Rendite i ist daher die
Mindestrendite, die der Investor im Zeitpunkt T realisieren kann.
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4. Immunisierungswirkung der Duration
• Wie gezeigt („Exkurs: Zinsänderungsrisiko“), wirken sich
Zinsänderungen auf Endwert und Barwert gegenläufig aus
• Die Duration beschreibt daher den Zeitpunkt, in dem sich die beiden
Effekte vollständig kompensieren.
• Sie gibt an, wann der Wert einer Anleihe gegen Zinsänderungen „immun“ ist
• Eine Haltedauer T in Höhe der Macauly-Duration D führt also zur
Immunisierung des Anleihewertes WT(q) gegenüber Zinssatzschwankungen
(in t = 0+)
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4. Immunisierungswirkung der Duration
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4. Immunisierungswirkung der Duration
Immunisierende Eigenschaft der Duration für ein Wertpapierportfolio
• Berechnung der Duration für jedes Wertpapier im Portfolio
• Gewichtung der Duration mit dem Anteil des entsprechenden
Wertpapiers
• Summe der gewichteten Einzeldurationen ergibt die Duration des
Portfolios
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4. Immunisierungswirkung der Duration
Allgemeiner Beweis für zwei beliebige Wertpapiere A1 und A2:
(1)
(2)
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4. Immunisierungswirkung der Duration
Allgemeiner Beweis für zwei beliebige Wertpapiere A1 und A2:
(3)
• Für mehr als zwei Papiere verläuft der Beweis analog
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4. Immunisierungswirkung der Duration
Für den Investor eines Wertpapierportfolios lassen sich somit insbesondere
folgende zwei Fragestellungen beantworten:
(1)
Mit der Investition von C0 [€] soll in t = 0 ein WP-Portfolio aufgebaut
werden. Der Investor habe eine Planungshorizont von T Jahren. Also
wird er - um gegen Zinsänderungsschwankungen geschützt zu sein aus den am Markt vorhandenen Anleihen im Rahmen seines Budgets
eine Auswahl treffen, dass die Gesamtduration DP des Portfolios genau
seinem Planungshorizont T entspricht.
(2)
Der Investor besitze bereits in t = 0 ein aus verschiedenen Wertpapieren
bestehendes Portfolio. Wie lange soll er an diesem Portfolio festhalten,
um gegen Zinsänderungen geschützt zu sein? Lösung durch Ermittlung
der Gesamtduration DP seines Portfolios und Anpassung des
Anlagehorizonts T = DP
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5. Duration und Konvexität
• Die Duration D bzw. die modifizierte Duration MD kann als Maß für die
Zinssensivität des Anleihekurses verwendet werden
• Die Anwendung der MD ermöglicht eine einfache Annäherung der
Kursschwankungen einzelner Titel oder ganzer Portfolios für verschiedene
Marktzinsänderungen nach der Formel:
• „Convexity-Problem“: D bzw. MD unterstellt einen linearen Zusammenhang
zwischen Anleihekurs C0 und Marktzins i. Tatsächlich ist die Funktion C0(i)
jedoch nichtlinear, sondern linksgekrümmt (konvex)!
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5. Duration und Konvexität
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5. Duration und Konvexität
•
•
•
•
Folgen von Marktzinserhöhungen werden überschätzt; von Marktzinssenkungen unterschätzt
Der Investor steht immer besser dar, als es die Duration anzeigt (unter dem
Aspekt der vorsichtigen Bewertung kann dies auch positiv gesehen werden)
Aber: Aufgrund der Konvexität entsteht ein Fehler, der umso größer ist, je
größer die Zinsänderung ausfällt
Alternative zur Reduzierung des „Schätzfehlers“ durch nichtlineare
Näherungen, bspw. durch quadratische Approximationen:
 An Stelle i0 soll - als „Näherungsersatz“ für die Originalfunktion C0(i) - ein
quadratisches Näherungs-Polynom C0N (i) (Funktion zweiten Grades) erzeugt
werden, das die Originalfunktion besonders gut approximiert.
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5. Duration und Konvexität
•
Ein quadratisches Polynom C0N (i) stellt - in der Umgebung einer
ausgewählten Stelle i0 - eine besonders gute Näherung für die
Originalfunktion C0(i) dar, wenn an der Stelle i0 gilt:
•
C0 (i) hat die allgemeine Form: C0 (i) = a + bi + ci². Da für uns die Stelle i0
bedeutsam ist, verwenden wir zweckmäßigerweise anstelle von i die
Differenz i – i0, so dass das Näherungspolynom C0N (i) lautet:
N
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N
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5. Duration und Konvexität
(1)
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5. Duration und Konvexität
(3)
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5. Duration und Konvexität
Herleitung der Konvexität:
(1) 1. Ableitung
(2) 2. Ableitung
(3)
(4)
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6. Übungsaufgaben
Beispiele 7.3.10 - 7.3.12; 7.4.12
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Quellen
• Doerks, W./ Hübner, S.:
Portfoliomanagement, Konvexität festverzinslicher Wertpapiere, in: Die Bank
2/93, S. 102-105
• Steiner, P./ Uhlir, H.:
Wertpapieranalyse, 4. Auflage, Heidelberg 2001
• Süchtig, J.:
Finanzmanagement: Theorie und Politik der Unternehmensfinanzierung,
6. Auflage, Wiesbaden 1995
• Tietze, J.:
Einführung in die Finanzmathematik, 9. Auflage, Wiesbaden 2009
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Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!
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