Transcript Teoria gier a sport

Teoria gier a sport
Dylemat więźnia i draft w futbolu
amerykańskim
Wykonanie : Magdalena Bielawska , Karolina Dobruchowska, gr.1
Dylemat więźnia
Dylemat więźnia to jeden z
najsłynniejszych problemów w
teorii gier. Jest oparty na
n-osobowej grze o niezerowej
sumie, w której każdy z graczy
może zyskać oszukując
przeciwnika, ale wszyscy stracą
jeśli wszyscy będą oszukiwać.
Ogólna postać dylematu więźnia
C
D
C
D
R, R
T, S
S, T
U, U
C-cooperation, D-defection
R-reward, S-sucker, T-temptetion, U-uncooperative
T>R>U>S
R(S+T)/2
W tej grze oszukuj jest strategią ściśle
dominującą: niezależnie od tego co
robi przeciwnik, zawsze bardziej
opłaca się oszukiwać niż
współpracować. Każdy gracz
racjonalny będzie zatem oszukiwał i
jedyną równowagą Nasha jest
sytuacja, gdy obaj gracze oszukują.
W efekcie obaj zyskają mniej, niż
gdyby obaj współpracowali.
Przykładem, w którym występuje
dylemat więźnia jest draft.
Draft
Procedura sekwencyjnego wyboru
zawodników np. do drużyn futbolu
amerykańskiego.
Spośród zawodników wpisanych na
listy transferowe najsłabszy w
ostatnim sezonie zespół wybiera
jednego zawodnika jako pierwszy. Po
nim wybiera jednego zawodnika
drugi zespół od końca itd., a gdy
wszystkie zespoły wybiorą po jednym
zawodniku-procedurę powtarza się, w
tej samej kolejności, tak długo, aż nie
będzie kogo wybierać.
System daje przywilej pierwszeństwa
najsłabszej drużynie w doborze
nowych graczy. Amerykańskie ligi
nakładają ograniczenia na działalność
klubów by żaden nie uzyskał pozycji
dominującej i aby rozgrywki były
bardziej atrakcyjne dla kibiców.
Rozważmy najprostszy przypadek draftu. Mamy dwie
drużyny: Niebieskich i Czerwonych, a w drafcie jest
czterech zawodników:
A, B, C, D. Przyjmijmy, że zespoły mają następujące
preferencje co do graczy:
Niebiescy
A
B
C
D
Czerwoni
B
C
D
A
Załóżmy, że obie drużyny przyjęły szczere
strategie, a Niebiescy wybierali jako pierwsi.
I runda
II runda
Niebiescy
Czerwoni
A
B
B
C
C
D
D
A
Ostatecznie każda z drużyn dostanie
pierwszego i trzeciego zawodnika ze
swojej listy. Tak się dzieje gdy
drużyny wybierają szczerze. Jednakże
drużyny nie muszą szczerze wybierać
graczy i czasem mogą odnieść z tego
korzyść.
Załóżmy, że:
1)każdy zespół zna preferencje konkurentów
2) celem każdego z zespołów jest zdobycie swoich
najbardziej preferowanych graczy(a nie np.
uniemożliwienie innym zdobycia graczy
których potrzebują)
3) niezależność, każda drużyna działa niezależnie
od siebie, nie ma koalicji ani ukrytych
układów
Przebieg draftu przy wyborach
optymalnych:
Niebiescy
Czerwoni
II runda
A
B
I runda
B
C
C
D
D
A
W ogólnym przypadku gdy sytuacja
dotyczy dwóch drużyn i n-zawodników
możemy wygenerować model optymalny
za pomocą algorytmu KohleraChandrasekarana. Który obrazuje
Twierdzenie:
Jeśli mamy dwie drużyny, szukane
rozwiązanie wygenerowane przez algorytm
Kohlera-Chandrasekarana jest zawsze
paretooptymalne w odniesieniu do
porównania parami.
Algorytm Kohlera-Chandrasekarana
1)Przy optymalnej grze, w ostatniej rundzie Czerwoni
wybiorą gracza zajmującego na liście preferencji
Niebieskich ostatnią pozycję. Oznaczamy tego gracza jako
wybór Czerwonych w ostatniej rundzie i (w wyobraźni)
skreślmy go z listy preferencji obu drużyn
2)W ostatniej rundzie Niebiescy wybiorą zawodnika, który
jest na ostatniej pozycji zredukowanej listy Czerwonych.
Oznaczmy tego gracza jako wybór Niebieskich w ostatniej
rundzie i skreślmy go z listy preferencji obu drużyn
3)Powtarzajmy powyższą operację dla rund od przedostatniej
do pierwszej
Przebieg draftu przy wyborach
optymalnych:
Niebiescy
Czerwoni
II runda
A
C
III runda
B
D
I runda
C
A
D
F
E
E
F
B
Czerwoni stracili, ale Niebiescy
zyskali, a ostateczny wynik jest
paretooptymalny*.
*Wynik (profil strategii) jest nieoptymalny w sensie Pareto,
jeśli istnieje inny profil, który:
-daje każdemu graczowi co najmniej taką samą wypłatę
-przynajmniej jednemu graczowi daje wyższą wypłatę
W przeciwnym wypadku wynik nazywamy
paretooptymalnym.
Weźmy pod uwagę sytuację gdy w drafcie
biorą udział 3 zespoły i sześciu graczy.
Przebieg draftu przy szczerych wyborach:
Niebiescy
Czerwoni
Zieloni
I runda
A
E
C
II runda
B
F
F
C
B
E
D
A
D
E
D
A
F
C
B
Przebieg draftu przy nieszczerych wyborach
Zielonych
Niebiescy
Czerwoni
Zieloni
I runda
A
E
C
II runda
B
F
F
C
B
E
D
A
D
E
D
A
F
C
B
Przebieg draftu przy nieszczerych wyborach Czerwonych
Niebiescy
I runda
II runda
Czerwoni
Zieloni
A
E
C
B
F
F
C
B
E
D
A
D
E
D
A
F
C
B
Draft przy wyborach optymalnych
II runda
I runda
Niebiescy
Czerwoni
Zieloni
A
E
C
B
F
F
C
B
E
D
A
D
E
D
A
F
C
B
Jeżeli porównamy wyniki przy wyborach
optymalnych z pierwotnym wynikiem
draftu przy wyborach szczerych,
zauważymy że mieliśmy do czynienia z
Dylematem Więźnia. Wszystkie trzy
zespoły uzyskały w drafcie wyniki gorsze,
niż gdyby wszystkie wybierały szczerze –
racjonalne działanie mające na celu
zabezpieczenie własnego interesu
wszystkim przyniosły szkodę.
Twierdzenie
Jeśli mamy trzy lub więcej drużyn,
optymalna gra prowadzi do wyniku, który
nie jest paretooptymalny przez porównanie
parami. W rzeczywistości taki wynik może
być znacznie gorszy niż wyniki dla
wszystkich drużyn w przypadku szczerych
wyborów.
Twierdzenie
Jeśli mamy trzy lub więcej drużyn i
drużyny te stosują strategię draftu, drużyna
może osiągnąć większe korzyści poprzez
zajęcie dalszej pozycji w drafcie.
Ćwieczenie 1
Wypróbuj algorytm na przykładach, wyniki
porównaj ze skutkami szczerych wyborów.
Ćwiczenie 2
Dla danego przykładu z trzema drużynami
wykaż, że jeżeli w pierwszej rundzie
Niebiescy wybiorą zawodnika A, a
Czerwoni F, Zielonym bardziej opłaca się
wybrać E niż C, natomiast Czerwoni wyjdą
na tym gorzej niż gdyby wybrali E.