Transcript bab_4._ukuran_pemusatan

UKURAN PEMUSATAN
WAHYU WIDODO
ASSALAAMU ‘ALAIKUM
WARAKHMATULLAAHI WABAROKAATUH
BISMILLAHIRAHMANIRRAHIM
2
SILABI
•
•
•
•
•
Definisi
Mean (Rata-rata hitung)
Modus
Median
Perluasan Median
- Kuartil
- Desil
- Persentil
3
UKURAN PEMUSATAN DATA
(MEASURES OF CENTRAL TENDENCY)
suatu ukuran untuk meringkas / menyimpulkan
sekelompok data dalam satu nilai tunggal yang
spesifik yang letaknya di tengah dari nilai-nilai
pengamatan yang terhimpun dalam
sekelompok data
UKURAN PEMUSATAN
• UKURAN GEJALA PUSAT
- Rata-rata hitung
- Rata-rata ukur
- Rata-rata harmonik
- Modus
• UKURAN LETAK
- Median
- Kuartil
- Desil
- Persentil
MEAN (RATA-RATA HITUNG)
• Dihitung dengan membagi jumlah nilai oleh
n
banyak data
•
x1  x 2  ...  xn
x
n
• Atau secara sederhana
x
i
x
atau
x

x
i
n
• Dimana ∑xi = jumlah semua harga x
• n = banyak data
i 1
n
Contoh
• Data bobot badan 5 ekor sapi/ikan hiu sebagai
berikut:
• 70 kg, 69 kg, 45 kg, 80 kg, 56 kg
70  69  45  80  56
x
 64
5
• Jika ada 5 ekor sapi/ikan hiu berbobot 70 kg, 6 ekor
berbobot 69 kg, 3 ekor berbobot 45 kg dan masingmasing 1 ekor berbobot 80 kg dan 56 kg. Cari ratarata hitung!
• Jawab:
Rumus:
xi
fi
fixi
70
5
350
69
6
414
45
3
135
80
1
80
56
1
56
jumlah
16
1035
xi = bobot badan
fi = frequensi untuk nilai xi yang
bersesuaian
fx

x
f
i i
i
1035
 64 .6 kg
x
16
Rata-rata hitung dari distribusi frequensi
Bobot sapi
fi
31-40
1
35.5
35.5
41-50
2
45.5
91.0
51-60
5
55.5
277.5
61-70
15
65.5
982.5
71-80
25
75.5
1887.5
81-90
20
85.5
1710.0
91-100
12
95.5
1146.0
Jumlah
80
6130
x
 76 .62
80
xi (tanda kelas)
fixi
6130.0
•
Sifat Mean
Peka terhadap perubahan nilai
maupun jumlah pengamatan
Paling reliabel (dapat dipercaya)
MODUS
• Untuk menyatakan fenomena yang paling
banyak terjadi atau paling banyak terdapat
• Modus adalah nilai yang mempunyai frekuensi
terbesar dari sekelompok data.
• Pada data kuantitatif modus ditentukan oleh
adanya nilai-nilai pengamatan kembar.
xi
fi
12
1
14
2
28
2
34
4
Mo = 34
Dalam sekelompok data mungkin terdapat
1. Tanpa modus (nonmodal)
2. Satu modus (unimodal)
3. Dua modus (bimodal)
4. Lebih dari dua modus (multimodal)
Contoh 2.1
Lihat Contoh 1.1 dengan nilai pengamatan
25, 23, 20, 18, 20, 22, 30, 17, 25, 20
Modus dari distribusi frequensi
 b1 
Mo  b  p  
 b1+b
 2
• b = batas bawah kelas modal, ialah kelas
interval dengan frequensi terbanyak
• p = panjang kelas modal
• b1 = frequensi kelas modal dikurangi kelas
interval terdekat sebelumnya
• b2 = frequensi kelas modal dikurangi frequensi
kelas interval terdekat berikutnya
Contoh:
Bobot sapi
fi
Maka:
31-40
1
1. Kelas modal = kelas kelima
41-50
2
2. b = 70.5
51-60
5
61-70
15
71-80
25
4. b1 = 25 – 15 = 10
81-90
20
5. b2 = 25 – 20 = 5
91-100
12
Jumlah
3. p = 10
80
 10 
Mo  70.5  (10)

 10  5 
Mo = 77.17
• Sifat Modus
Kurang peka terhadap perubahan
nilai maupun jumlah pengamatan
Tidak reliabel (tidak dapat
dipercaya)
MEDIAN
Harga yang ditengah apabila angka-angka itu disusun
menurut besarnya. Jika sekumpulan angka itu genap
banyaknya, maka median ini adalah rata-rata dua
bilangan yang ditengah. Untuk data berjumlah genap
maka median terletak pada data ke (n + 1)/2
•
•
•
•
•
Contoh:
Data: 4, 12, 5, 7, 8, 10, 10
Disusun berurut: 4, 5, 7, 8. 10, 10, 12
Me = 8
Data berukuran genap : 12, 7, 8, 14, 16, 19,
10, 8
• Disusun berurut: 7, 8, 8, 10, 12, 14, 16, 19
• Me = ½ (10 + 12) = 11
Median dari distribusi frequensi
 1 / 2n  F 

Me  b  p
f


• b : batas bawah kelas median, ialah kelas
dimana median akan terletak
• p : panjang kelas median
• n : ukuran sampel atau banyak data
• F : jumlah semua frequensi sebelum kelas
median
• f : frequensi kelas median
Contoh:
Bobot sapi
fi
31-40
1
41-50
2
51-60
5
61-70
15
71-80
25
81-90
20
91-100
12
Jumlah
• Setengah dari seluruh data
ada 40 ekor. Jadi median
akan terletak di kelas
interval kelima, karena
sampai dengan ini jumlah
frequensi sudah lebih dari
40. Dari kelas median ini
didapat:
• b =70.5, p = 10, f = 25
• Adapun F = 1 + 2 + 5 + 15 =
23
80
 40  23 
Me  70.5  10
  77.3
 25 
• Kesimpulan:
• Ada data sebanyak
50% yang bernilai
paling rendah 77.3
dan setengahnya
lagi bernilai paling
tinggi 77.3
• Median
Kurang peka terhadap perubahan
nilai pengamatan tetapi peka
jumlah pengamatan
Kurang reliabel (kurang dapat
dipercaya)
HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA
HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS
Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva
distribusi data :
1) Jika nilai ketiganya hampir sama maka
kurva mendekati simetri.
2) Jika Mod<Med<rata-rata hitung, maka
kurva miring ke kanan.
3) Jika rata-rata hitung<Med<Mod, maka
kurva miring ke kiri.
HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATARATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS
(lanjutan)
Jika distribusi data tidak simetri, maka terdapat
hubungan :
Rata-rata hitung-Modus = 3 (Rata-rata hitung-Median)


X - Mod  3 X  Med
KUARTIL
• Jika sekumpulan data dibagi menjadi 4
bagian yang sama banyak, sesudah
disusun menurut urutan nilainya, maka
bilangan pembaginya disebut kuartil. Ada
tiga buah kuartil: K1, K2, K3. Untuk
menentukan nilai kuatil:
• Susun data menurut urutan nilainya
• Tentukan letak kuartilnya
• Tentukan nilai kuartilnya
• Kuartil adalah nilai yang membagi
sekelompok data menjadi empat bagian
yang sama sesudah disusun menurut
urutan nilainya.
I
II
K1
III
K2
Median
IV
K3
Letak kuartil ditentukan oleh rumus:
• Letak Ki = data ke
• Dengan i = 1, 2, 3
i (n  1)
4
• Contoh:
• Data: 75, 82, 66, 57, 64, 56, 92, 94, 86, 52, 60, 70
• Urutan: 52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94
1(12  1)
Letak K1 = data ke
= Data ke 3¼
4
Yaitu antara data ke-3 dan ke-4
seperempat jauh dari data ke-3
Nilai K1 = data ke 3 + ¼ (data ke-4 – data ke-3)
= 57 + ¼ (60 – 57) = 57¾
2(12  1)
Letak K2 = data ke
= Data ke 6½
4
Nilai K2 = data ke 6 + ½ (data ke-7 – data ke-6)
= 66 + ½ (70 – 66) = 68
3
(
12

1
)
Letak K3 = data ke
= Data ke 9¾
4
Nilai K3 = data ke 9 + ¾ (data ke-10 – data ke-9)
= 82 + ¾ (86 – 82) = 85
Kuartil dari distribusi frequensi
 in / 4  F 

Rumus: Ki  b  p
f

Dengan i: 1, 2, 3 
Dimana:
• b : batas bawah kelas Ki,
ialah kelas dimana Ki
akan terletak
• p : panjang kelas Ki
• n : ukuran sampel atau
banyak data
• F : jumlah semua frequensi
sebelum kelas Ki
• f : frequensi kelas Ki
Contoh:
Bobot sapi
fi
31-40
1
41-50
2
51-60
5
61-70
15
71-80
25
81-90
20
91-100
12
Jumlah
80
Letak K1 = ¼ x 80 = 20
K1 terletak dalam kelas interval ke-4
b = 60.5, p = 10, f = 20, i = 1, n = 80
F=1+2+5=8
 1x80 / 4  8 
Ki  60.5  10
  66.5
20


Letak K2 = ½ x 80 = 40
K2 terletak dalam kelas interval ke-5
b = 70.5, p = 10, f = 20, i = 1, n = 80
F = 1 + 2 + 5 + 15 = 23
 1x80 / 4  23 
Ki  70.5  10
  79.0
20


Letak K3 = ¾ x 80 = 60
K3 terletak dalam kelas interval ke-6
b = 70.5, p = 10, f = 20, i = 1, n = 80
F = 1 + 2 + 5 + 15 + 25 = 48
 1x80 / 4  48 
Ki  80.5  10
  86.5
20


DESIL
• Jika kumpulan data itu dibagi menjadi 10 bagian
yang sama, maka didapat sembilan pembagi dan tiap
pembagi dinamakan desil (D1, D2, ….,D9). Desil
ditentukan dengan jalan:
a. Susun data menurut urutan nilainya
b. Tentukan letak desil
c. Tentukan nilai desil
Letak desil = Di = data ke
dengan i = 1, 2, ….., 9
i (n  1)
10
Nilai desil dari distribusi frequensi
dengan i = 1, 2, ….., 9
 ixn / 10  F 

Di  b  p
f


• b : batas bawah kelas Di, ialah kelas dimana Di
akan terletak
• p : panjang kelas Di
• n : ukuran sampel atau banyak data
• F : jumlah semua frequensi sebelum kelas Di
• f : frequensi kelas Di
PERSENTIL
• Jika kumpulan data itu dibagi menjadi 100 bagian
yang sama, maka didapat 99 pembagi dan tiap
pembagi dinamakan persentil (P1, P2, ….,p99).
Persentil ditentukan dengan jalan:
a. Susun data menurut urutan nilainya
b. Tentukan letak persentil
c. Tentukan nilai persentil
Letak persentil = Pi = data ke
dengan i = 1, 2, ….., 99
i (n  1)
100
Nilai persentil dari distribusi frequensi
dengan i = 1, 2, ….., 9
 ixn / 100 F 

Pi  b  p
f


• b : batas bawah kelas Pi, ialah kelas dimana Pi
akan terletak
• p : panjang kelas Pi
• n : ukuran sampel atau banyak data
• F : jumlah semua frequensi sebelum kelas Pi
• f : frequensi kelas Pi
Soal
• Jumlah ternak kambing/ikan hiu
di Jawa Timur untuk periode
2051 – 2063 dalam jutaan ekor
adalah sebagai berikut:
• Pertanyaan:
• Buatlah diagram yang cocok
untuk data tersebut
• Hitunglah laju pertambahan
ternak kambing/ikan hiu tiap
tahun dalam persen
• Dari tahun berapa ke tahun
berapa laju pertambahan ternak
kambing/ikan hiu yang paling
pesat
Tahun
jumlah
2051
10.16
2052
12.10
2053
13.90
2054
15.91
2055
17.93
2056
20.07
2057
22.71
2058
25.97
2059
29.00
2060
32.53
2061
36.07
2062
37.89
2063
39.95
• Besar simpanan di koperasi peternak sapi dan nelayan
ikan dari banyak penabung dinyatakan dalam ribuan
rupiah, seperti tercantum disini:
Besar simpanan
(x Rp.1000)
Penabung peternak
sapi
Penabung nelayan
ikan
5-9
703
912
10-49
4829
3456
50-99
12558
10402
100-499
1836
976
500-999
273
372
1.000-4999
117
196
5000-9999
39
47
• Pertanyaan
• Gambarkan diagram untuk keduanya dalam satu gambar
• Hitung rata-rata, modus dan median tabungan di tiap koperasi
HUBUNGAN UKURAN PEMUSATAN DATA
DENGAN SKALA PENGUKURAN DATA
Skala pengukuran
data
Ukuran pemusatan data
Mean
Median
Modus
Nominal
-
-
+
Ordinal
-
+
+
Interval
+
+
+
Rasio
+
+
+
Contoh
Terdapat 10 karyawan suatu perusahaan ‘X’
akan dilihat rata-rata hari tidak masuk selama
satu bulan. Hasil pengamatan sebagai berikut :
0 0
0
0
0
1
1
2
2
26
0+0+0+0+0+1+1+2+2+26
= 
10
32
=  = 3,2 hari tiap bulan
10
Median = 0,5
x
x
Bila pada sekelompok data rasio atau interval
mengandung nilai ekstrim, maka mean tidak
reliabel. Gunakan median
ALHAMDULILLAHIRABBIL’ALAMIN
WASSALAAMU ‘ALAIKUM
WARAKHMATULLAAHI WABAROKAATUH
37