Transcript Wstęga Möbiusa

Zapraszam do obejrzenia mojej
prezentacji na temat bardzo
ciekawego zagadnienia, jakim
jest wstęga Möbiusa.
August Ferdinand Möbius (1790-1868)
Urodził się w miejscowości Schulpforta w
Niemczech. Do 13 roku życia uczył się w
domu, później rozpoczął naukę w szkole.
Studiował matematykę oraz fizykę i
astronomię.
Z powodu swojej skromności zajmował
niepozorne stanowisko astronoma
w drugorzędnym niemieckim
obserwatorium. W wieku 68 lat przekazał
on Akademii Paryskiej rozprawę, o
powierzchniach „jednostronnych”, która
zawierała niektóre spośród najbardziej
zadziwiających faktów tego nowego
rodzaju geometrii.
Swoją popularność zawdzięcza przede
wszystkim „wstędze Möbiusa”,
powierzchni o pewnych
charakterystycznych własnościach.
Topologia
(gr. topos – miejsce, logos – nauka) – jeden
z najważniejszych kierunków w matematyce
współczesnej. Obiektem jej badań są te
własności figur geometrycznych i brył, które
nie ulegają zmianie nawet po radykalnym
zdeformowaniu tych figur (a więc np.
położenie i sąsiedztwo punktów). Własności
takie nazywa się własnościami
topologicznymi figury.
Przez zdeformowanie rozumie się tutaj
dowolne zniekształcenie powierzchni bez jej
rozerwania i „zlepienia” różnych punktów.
Wstęga Möbiusa
Powstaje z prostokątnego paska papieru, ale
przed sklejeniem trzeba przekręcić jeden
z końców o 180°. Powinna wyglądać tak:
Posiada ona dwie ważne cechy, o których
dowiemy się później – podczas eksperymentów.
Eksperyment 1
Robimy 2 kółka, ale jedno sklejamy po
półobrocie paska. Najlepiej stosować paski
o długości ok. 30 cm i szerokości 3 cm .
Pośrodku każdego z nich rysujemy linię
ciągłą wzdłuż całej długości.
Co zauważamy ?
Zauważamy, że w przypadku kółka linia została
narysowana tylko po jednej stronie , a w
przypadku wstęgi Möbiusa po obu stronach.
Wnioski: Wstęga Möbiusa jest powierzchnią
jednostronną (ma tylko jedną stronę). Gdybyśmy
na przykład chcieli pokolorować ją tylko po
jednej stronie, zakolorowalibyśmy całą jej
powierzchnię. Ponadto wstęga ta ma tylko
jedną krawędź.
Eksperyment 2
Wykorzystujemy figury z poprzedniego
ćwiczenia. Przecinamy każdą z nich wzdłuż
narysowanej wcześniej linii.
Co otrzymujemy ?
W przypadku rozcięcia obręczy
otrzymujemy dwie obręcze, ale dwa razy
węższe. Natomiast w przypadku rozcięcia
wstęgi Möbiusa otrzymujemy ponownie
wstęgę, tym razem już dwustronną.
Jest ona 2 razy węższa i 2 razy dłuższa niż
na początku.
Zastosowania wstęgi Möbiusa
Wstęga ta znalazła zastosowanie w
technice. Poza tym jest ona lubianym
elementem dekoracyjnym.
Fontanna przed
gmachem
Fermi National (USA)
 Ogród Rzeźb w Muzeum Sztuki w Baltimore, w
stanie Maryland (USA).
 Rzeźba przy wejściu do Science Center na
Uniwersytecie Harvarda w Cambridge, w stanie
Massachusetts (USA).
Fontanna w muzeum nauki La Villette w
Paryżu, gdzie woda płynie w kształcie
wstęgi Möbiusa.
Wstęga Möbiusa jest także wykorzystana np. w logo
firmy Renault
albo w symbolu recyklingu
czy też w matematycznym symbolu
nieskończoności.
Ma ona również inne zastosowania :
 istnieją książki sklejone w kształt wstęgi Möbiusa,
które można czytać w kółko i to zaczynając z
dowolnego miejsca,
 w narciarskich skokach akrobatycznych jedna z
ewolucji nosi nazwę "koziołek Möbiusa", gdyż ciało
narciarza zakreśla w czasie jej wykonywania
fragment wstęgi Möbiusa,
 w technice używa się pasów transmisyjnych
skręconych w kształt wstęgi Möbiusa, co powoduje,
że ich powierzchnia zużywa się jednakowo po obu
stronach,
 w kinematografii taśma filmowa w kształcie wstęgi
Möbiusa pozwala na wielokrotną emisję filmu bez
konieczności wymiany szpuli z taśmą.
Eksperyment 3
Sklejamy ponownie wstęgę Möbiusa, ale
tym razem używamy szerszego paska
(np. 5 cm). Następnie wykonujemy
2 równoległe rozcięcia wzdłuż. Co
otrzymujemy ?
Po rozcięciu wstęgi Möbiusa dwoma
równoległymi cięciami otrzymujemy dwie
wstęgi połączone ze sobą.
Eksperyment 4
Robimy nacięcie w pasku, z którego skleimy
wstęgę Möbiusa. Następnie przewlekamy
jeden koniec paska przez szczelinę i
sklejamy końce tak, jak przy wykonywaniu
wstęgi. Na końcu przedłużamy nacięcie
wzdłuż całego paska. Co powstaje ?
W wyniku sklejenia wstęgi Möbiusa po
uprzednim przewleczeniu jednego z jej
końców przez szczelinę powstałą wskutek
zrobienia nacięcia w pasku otrzymujemy
dwie osobne wstęgi Möbiusa.
Podsumowanie
 Wstęga Möbiusa powstaje po sklejeniu końców
prostokątnego paska papieru, ale przed
sklejeniem trzeba przekręcić jeden koniec o 180°,
 Jest to niezwykła topologicznie powierzchnia,
mająca jedną stronę i jedną krawędź,
 Została odkryta w 1858 roku przez Augusta F.
Möbiusa,
 Jest stosowana w wielu dziedzinach, np. w
technice, architekturze,
 W wyniku jej odpowiedniego rozcinania można
otrzymać bardzo ciekawe efekty.
Eksperyment 5
Na zakończenie eksperyment nie bardzo na
czasie, bo związany z walentynkami, ale
można otrzymać bardzo ciekawy efekt.
Sklejamy pod kątem prostym dwie czerwone
wstęgi, jedną prawostronnie i jedną
lewostronnie skręconą, a następnie
rozcinamy je wzdłuż środka.
Co otrzymujemy?
Otrzymujemy dwa połączone ze sobą
serca  .
Źródła informacji
 „Ścieżki matematyki” N. Langdon, Ch.
Snape, wyd. GWO
 Wrocławski Portal Matematyczny
http://www.matematyka.wroc.pl/
 Wikipedia, wolna encyklopedia
http://pl.wikipedia.org/Wiki/Wstega_Möbiusa
 http://matematyczny.blox.pl/2006/11/Wstega
-Mobiusa.html
Dziękuję za uwagę
Dziękuję za obejrzenie mojej prezentacji na temat
wstęgi Möbiusa.
Autor prezentacji:
Maciej Woźniak
kl. III a