Transcript Kombinatorika

Kombinatorika
Véges halmazok
Kombinatorika
• A kombinatorika a matematika egyik ága,
amely véges halmazok elemeinek
kiválasztásával és sorba rendezésével
foglalkozik.
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Permutációk
• Valamely véges halmaz elemeinek egy
lehetséges sorrendjét a halmaz egy
permutációjának nevezzük.
2 elem
3 elem
2
6
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
4 elem
24
A permutációk száma
2 elem: P2=2
P2=2·1=2
P2=2!
3 elem: P3=3·2=3·P2=6
P3=3·2·1=6
P3=3!
4 elem: P4=4·6=4·P3=24
P4=4·3·2·1=24
P4=4!
5 elem: P5=5·24=5·P4=120
...
P5=5·4·3·2·1=120
P5=5!
Pn=n·(n-1)·(n2)·...·2·1
Faktoriális: n!=n·(n-1)·(n-2)·...·2·1
n elem: Pn=n·Pn-1
Pn=n!
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
A faktoriális tulajdonságai
n! n  (n  1)!
Pl:
4! = 4·3!
12! = 12·11!
•Egyszerűsítsd a törteket:
18!
15!
6!5!
5!
( n  1)!
( n  1)!
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
•Oldd meg az egyenleteket:
(n  1)!
 30
(n  1)!
( n  2)!
 72
n!
1
1
1


n! (n  1)! 30
*
Példák
• A „Sorakozó!” vezényszóra 10 tanuló
sorakozik fel tetszőleges sorrendben.
Hányféleképpen tehetik ezt meg?
• Írd fel az A = {a, b, c} halmaz elemeinek
összes lehetséges sorrendjét.
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Feladatok
• Hány különböző módon ülhet le 4 személy 4 székre?
• Hányféleképp ülhet le 6 lány és 6 fiú 12 egy sorba rakott
székre úgy, hogy egymás mellett különböző neműek
ülhetnek.
• Hányféleképp ülhet le 6 lány és 6 fiú 12 körbe rakott székre
úgy, hogy egymás mellett különböző neműek ülhetnek.
• Hány lehetséges sorrendje lehet egy futóversenynek, ha a
versenyzők száma 8.
• Hány 5 jegyű, 25-tel kezdődő szám írható fel az 1,2,3,4,5
számjegyekből, úgy, hogy a számjegyek ne ismétlődjenek?
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Feladatok
• Hány 6 jegyű 5-tel osztható szám írható fel a 0, 1, 2, 3,
4, 5 számjegyekből úgy, hogy a számjegyek ne
ismétlődjenek?
• Az 1234 alap-permutációból alkotott permutációk közül
hányadik a 3421?
• Hányadik permutáció a JÓSKA, az AJKÓS alappermutációból.
• Hogyan szól az AGIKLO alap-permutáció 586.
permutációja?
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Ismétlés nélküli variációk
• Egy A halmaz elemeiből alkotható k elemszámú
sorozatokat az A halmaz k-ad osztályú ismétlés
nélküli variációinak nevezzük (k≤n).
3 elem (n=3)
1. osztály (k=1)
V31  3
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
2. osztály (k=2)
V32  3  2
V32  6
3. osztály (k=3)
V33  3  2 1
V33  6
Ismétlés nélküli variációk száma
Vnk  n  (n  1)    (n  k  1)
Vnk
n!

(n  k )!
V51  V52  V53  5  5  4  5  4  3  75
(n  1)!
n!
(n  1)!
k 1
k
k 1



Vn 1  Vn  Vn 1 
(n  1  (k  1))! (n  k )! (n  1  (k  1))!
(n  1)! n  (n  1)! (n  1)  n  (n  1)! n  12 (n  1)!




(n  k )! (n  k )!
(n  k )!
(n  k )!
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Példák
• Legyen A = {1, 2, 3, 4}. Írjuk fel az A
halmaz különböző elemeiből alkotható
összes kétjegyű és háromjegyű számot.
• 8 jelölt vizsgázik szóbelileg matematikából.
az első napra 5 jelöltet kell beosztani. Hány
beosztás lehetséges az első napra?
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Feladatok
• Hány különböző számjegyű 4-jegyű szám
írható fel az 1, 2, …, 9 számjegyekből?
• Hány különböző számjegyű 4-jegyű szám
írható fel a 0, 1, 2, …, 9 számjegyekből?
• Hányféleképp tudunk kiválasztani 9 jelölt
közül négyet, 4 különböző munkahelyre.
• 12 versenyző között hányféleképp oszthatjuk
ki az arany, ezüst ill. bronzérmet?
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Ismétlés nélküli kombinációk
• Az n elemű A halmaz k elemet tartalmazó
részhalmazait az A halmaz k-ad osztályú
kombinációinak nevezzük.
4 elem:
1. osztály (k=1)
C14  4
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
2. osztály (k=2)
C42  6
3. osztály (k=3)
C43  4
A kombinációk száma
n=4, k=3
3
V
3
3  C3  4  C3  4  3 2  4
C4  P3  V4
4
4
P3
3  2 1
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Az ismétlés nélküli kombinációk
száma
n!
k
V
n  n  1   n  k  1 n  k !
k
n
Cn 


k!
Pk
k  k  1  1
n!
C 
n  k !k!
k
n
n
n!
Új művelet:   
 k  n  k !k!
 n
C   
k 
k
n
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
„n” a „k” felett
Példa
• Az iskola sakkcsoportjába 5 tanuló jár.
Hányféleképp állíthatunk össze 3 tagú
csapatot belőlük?
• Feltételezzük, hogy a csapatban mindenki
egyenrangú – nem fontos a sorrend, csak a
csapattagok személye – ismétlés nélküli
kombináció:
3  5 5  4  3
C5    
 10
 3  3  2 1
Feladatok
• Írjuk fel az 1, 2, 3, 4, 5 elemek másodosztályú
kombinációit.
• Írjuk fel az 1, 2, 3, 4, 5 elemek harmadosztályú
kombinációit.
• Egy sakktornán 15 sakkozó vesz részt. Ha
mindenki mindenkivel pontosan egyszer
játszik, hány mérkőzést játszanak ezen a
tornán?
Ismétléses permutációk
• Ha az A halmaz elemeiből álló sorozatban
az x1 elem k1-szer, az x2 elem k2-ször, … az
xn elem kn-szer szerepel, a sorozatot az A
halmaz ismétléses permutációjának
nevezzük.
Az ismétléses permutációk száma
• Összesen hány olyan hatjegyű számot írhatunk fel
az 1, 2, 3 számjegyekből, amelyekben az 1
kétszer, a 2 háromszor és a 3 egyszer szerepel?
112223112232
11122122233
112322
113222,
P2  P3  P1  2!3!1!
6 különböző elem összes sorrendje: P6  6!
6!
Megoldás: P 6,( 2,3,1) 
 60
2!3!1!
stb.
Az ismétléses permutációk száma
n!
P n,(k1, k2 ,k p ) 
k1!k2! k p !
• Hányféleképp lehet egy polcon egymás mellé
rakni 3 angol, 2 francia és 5 német szótárt, ha
az azonos nyelvű szótárak között nem teszünk
különbséget?
10!
P10,(3,2,5) 
 2520
3!2!5!
Feladatok
1. Írd fel az 1,2,2,3,3 elemek összes
permutációit!
2. Három angol, két német és három orosz
futó áll rajthoz a futóversenyen. Hányféle
sorrend lehetséges, ha csak a nemzetek
közötti eredmény a mérvadó?
3. Hányféle gyöngysor készíthető 10 fehér és
15 türkizkék gyöngyből?
Ismétléses variációk
• Ha az A halmaz elemeiből álló k tagú
sorozatban vannak egyenlő eleme is, akkor
ezt a sorozatot az A halmaz k-ad osztályú
ismétléses variációjának nevezzük.
Ismétléses variációk
• Az A = {1, 2, 3, 4} halmaz elemeiből
alkotható kétjegyű számok:
11 21 31 41
A számjegyek
12 22 32 42
ismétlődnek!
13 23 33 43
14 24 34 44
Összesen 16 = 42 ilyen szám van.
Az ismétléses variációk száma
• Az x1x2...xk sorozatban az elemek
ismétlődhetnek.
• Bármely helyre az A halmaz bármelyik
eleme tehető:
n·n·... ·n=nk eset.
k
V n  nk
Példa
• Hány háromjegyű számot írhatunk fel
– az 1,2,3,4,5
– a 0,1,2,3,4,5 számjegyekből?
3
V 5  53  125
3
2
V 6 V 6  63  6 2  180
Feladatok
1. Írd fel az 1,2,3,4 elemek harmadosztályú
ismétléses variációit!
2. A széf „kombinációs” zárán 4 tárcsa található,
melyek mindegyikén a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
A, B, C jelek láthatóak. Hány különböző
variáció lehetséges a zár kinyitásához?
3. A sportfogadás szelvényen 13 mérkőzés
eredményére lehet fogadni (1 – hazai győzelem,
2 – vendéggyőzelem és 0 – döntetlen). Hány
szelvényt kell kitölteni a biztos találathoz?
Az elemek
ismétlődhetnek?
Nem
Igen
Fontos a
sorrend?
Fontos a
sorrend?
Igen
Nem
Ism. nélküli
kombinációk
Kiválasztunk
elemeket?
Igen
Ism. nélküli
variációk
Nem
Igen
Nem
Ism. nélküli
permutációk
Korlátozzuk az
ismétlések
számát?
Igen
Ismétléses
permutációk
Ismétléses
kombinációk
Nem
Ismétléses
variációk
Ismétléses kombinációk
• Ha n elem k-ad osztályú kombinációjában
megengedjük, hogy ugyanaz elem többször
is szerepeljen, akkor n elem k-ad osztályú
ismétléses kombinációját kapjuk.
• Például: A={1,2,3,4}. Másodosztályú
ismétléses kombinációk:
11 12 13 14 22 23 24
33 34 44
Az ismétléses kombinációk száma
k  n  k  1

C n  
k


• Hét versenyző hányféleképpen vihet el öt
első díjat egy öttusaversenyen?
• Négy ötdinárossal hány különböző dobás
lehetséges (fejek és írások száma)?
Binomiális tétel
• Binom: kéttagú algebrai kifejezés (a+b).
• Binomok hatványai:
a  b  1
a  b1  a  b
a  b2  a 2  2ab  b2
3
3
2
2
3
a  b  a  3a b  3ab  b
0
Binomiális tétel
• Általában: a  bn  a  b a  b a  b
Minden tagot, minden taggal szorozunk:
a  b n  B1a nb0  B2a n 1b1  B3a n  2b 2   Bn 1a 0b n
A kifejtett binom egy tagja: Tk 1  Bk 1a n  k b k
Mennyi a Bk+1?
a n  k b k  a
a

 a  b
 b

b




nk
k
Ismétléses permutáció!!
 n
n!
Bk 1  P n,(n  k , k ) 
  
(n  k )!k!  k 
Binomiális tétel
a  b
n
 n  n 0  n  n 1 1  n  n  2 2
 n 0 n
  a b   a b   a b     a b
 0
1
 2
 n
Rövidebben:
a  b 
n
 n  nk k
   a b
k
k  0 
n
A Pascal háromszög
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
5
 
 3
1
1
4
10
1
5
1
n
A Pascal háromszög n-edik sorának k-adik eleme:  
k 
Feladatok
(1  x)5  ?
( x  2)6  ?
(1  3)4  ?
6
(1  2 )  ?
x )18
12

1 
A kifejezés melyik tagja nem tartalmaz x-et?  x  2 
x 

Hogyan szól a kifejezés 5. tagja? ( x  x
2