Transcript A Pitagorasz tétel - Matek

A Pitagorasz tétel
Készítette:
Mgr. Csikós Pajor Gizella
Szabadkai Műszaki Szakfőiskola, Szabadka
Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zenta
A Pitagorasz tételről
A Pitagorasz tétel az euklideszi
geometria egyik legismertebb állítása.
Nevét nem szabályos átírással az i.e.
VI. században élt matematikusról és
filozófusról, Püthagoraszról kapta,
bár a tételt jóval előtte babiloni,
egyiptomi, görög, indiai és kínai
matematikusok már ismerték, sőt a
kínaiak bizonyítást is adtak rá.
Püthagorasz életéről
Püthagorasz, i.e VI. század
görögül: Πυθαγόρας
latinosan: Pythagoras
ión származású filozófus
és matematikus
a püthagoreus iskola
megalapítója
Püthagorasz életéről
Püthagorasz
mellszobra a
Vatikánban
Püthagorasz életéről
Püthagorasz
mellszobra,
Rómában
található a
Capitolium
Múzeumban
Püthagorasz életéről
Püthagorasz
középkori
ábrázolása a
nürnbergi
krónikában
Püthagorasz életéről
Püthagorasz
ábrázolása egy
III. századbeli
pénzérmén
Püthagorasz életéről
Raphael
festménye
Püthagoraszról
Püthagorasz életéről
Püthagorasz ión származású, a KisÁzsiához közel eső Samos szigeten
született, a különböző források
alapján valamikor i.e. 586 és 570
között.
Édesapja ékszer- és dísztárgy-készítő
volt.
Püthagorasz életéről
Samos szigete az
Égei-tengerben
Püthagorasz életéről
Püthagorasz életéről
Püthagorasz életéről
Püthagorasz életéről
Ifjúkorában Püthagorasz annyira
szerette a tudományokat, hogy
fiatalon elhagyta hazáját, és
Egyiptomba ment, ahol megtanulta
az egyiptomiak nyelvét, és
tanulmányozta azok titkos írásait.
Egyiptomból visszatért Samosra,
majd körülbelül i.e.530-ban a délitáliai Krotón városba költözött.
A pitagoreus iskoláról
Itt alapította meg filozófiai és vallási
iskoláját, a pitagoreus-iskolát.
Ez az idealista, arisztokrata
beállítottságú társulat misztikus és
titokzatos szövetséggé vált, amely a
maga korában jelentős befolyással
bírt, nemcsak Krotón városában,
hanem a görög városállamok laza
szövetségében, a Magna Graeciában
is.
A pitagoreus iskoláról
A pitagoreusok hittek a
lélekvándorlásban, vegetariánusok
voltak, és hosszú hajat, fehér
gyapjúköntöst viseltek.
Szigorúan előírt életmóddal és
zenével tisztították meg lelküket,
majd különböző próbák után
léphettek a szövetségbe.
A pitagoreus iskoláról
Ezután avatták be őket a számok és a
harmónia misztériumába, amelyben
való elmélyülés biztosította
számukra az örök igazság
megismerését és az istenhez való
felemelkedést.
Hittek abban, hogy egy isten van, aki
a világot a számok közötti
kapcsolatoknak, törvényeknek
megfelelően teremtette.
A pitagoreus iskoláról
A pitagoreusok nevéhez kötődik:
a számelméleti kutatások
megindítása,
a szabályos sokszögek és a szabályos
testek tanulmányozása,
az irracionális számok felfedezése,
a számtani illetve mértani
középarányos fogalmának
bevezetése.
A pitagoreus iskoláról
Püthagorasz Krotóni házigazdájának
lányát vette feleségül, életrajza két
gyermeküket említi, egy leány és
egy fiú gyermeket.
Iskolájának növekvő befolyása miatt
szervezkedni kezdtek a pitagoreus
ellenesek is, akik végül felgyújtották
az iskola központját, egy Milón nevű
atléta házát.
A pitagoreus iskoláról
Egyes hagyományok szerint a
gyújtogatók elfogták és megölték
Püthagoraszt, más töredékek
szerint Metapontiumba száműzték,
ahol hamarosan meghalt (a
hagyományok szerint bánatában
halálra éheztette magát).
Ez körülbelül i.e. 500 illetve 496 körül
történhetett.
A pitagoreus iskoláról
Tanítványainak egy részét
lemészárolták, a többieket
száműzték, az iskola termeit porig
égették.
Püthagorasz írásos művet nem
hagyott maga után. Tanításait
írásos formában tanítványai őrizték
meg.
Tudományos eredményei
Bár a róla elnevezett tételt nem ő
találta fel, sőt nem is ő bizonyította
először, és nem tudni mi az amire
valóban ő jött rá, és mi az, amire
tanítványai, bizonyosnak látszik,
hogy személyesen fedezte fel a
rezonancia alaptörvényét, mely
szerint a hang magassága a rezgő
húr hosszának függvénye.
Tudományos eredményei
Felismerte, hogy az akkordok
hangközeit a húrhosszak
számarányaival fejezhetjük ki.
A 2:1 arány az oktávnak, a 3:2 arány
a kvintnek, a 4:3 arány pedig a
kvartnak felel meg.
Tudományos eredményei
Középkori
fametszet
mutatja
ahogyan
Püthagorasz
hangolja a
harangokat
Püthagorászról
A hagyományok szerint Püthagorasz
minden egyes beszédét, előadását
függöny mögött tartotta. Ő maga
nem volt látható, csak hallható.
Önmagát félistennek tartotta, és
állítólag a következő kijelentést
tette: ”Vannak emberek és istenek s
olyan lények mint Püthagorasz.”
Püthagoraszról
Püthagorasz
emlékmű
Samos szigetén.
A Pitagorasz-tétel
A Pitagorasz tételt már jóval
Püthagorasz előtt is ismerték, sőt
ismert volt a bizonyítása is.
Az ókori egyiptomiak mindenesetre
ismerték, hogy a 3,4 és 5 oldalú
háromszög derékszögű, és ezt igen
ügyesen használták ki a
földterületek mérésében és a
piramisok építésében, a
következőképpen:
A Pitagorasz-tétel
Vettek egy hosszú kötelet, arra
egyforma közönként 3+4+5=12
csomót kötöttek, összefogták 3, 4
és 5 oldalú háromszöggé és ezzel
mérték a derékszöget.
A Pitagorasz-tétel
A Pitagorasz-tétel
A Pitagorasz-tételt kétféle
megfogalmazásban ismerjük.
1.TÉTEL:
Tetszőleges derékszögű
háromszögben a befogók fölé írt
négyzetek területeinek összege
megegyezik az átfogóra rajzolt
négyzet területével.
2.TÉTEL:
Bármely derékszögű háromszög
leghosszabb oldalának
(átfogójának) négyzete megegyezik
a másik két oldal (a befogók)
négyzetösszegével.
A szokásos jelölésekkel: a2 b2 c2.
A Pitagorasz-tétel
Egyes források szerint a Pitagorasztételnek közel száz bizonyítása
található különböző munkákban.
Ezek közül a két legismertebb, a tétel
kétféle megfogalmazására
vonatkozó bizonyítás a következő:
A Pitagorasz-tétel
1.Bizonyítás:
az a+b oldalú négyzetek
területeinek darabolása alapján
A Pitagorasz-tétel
2. Bizonyítás:
a befogótétel alapján
Pitagorasz-tételének megfodítása
TÉTEL:
Ha egy háromszög két oldalának
négyzetösszege egyenlő a harmadik
oldal négyzetével, akkor a
háromszög derékszögű.
Pitagoraszi számhármasok
Szóljunk még néhány szót a
pitagoraszi számhármasokról is.
Pitagoraszi-számhármasoknak
nevezzük azokat a pozitív egész
(a,b,c) számokból álló hármasokat,
melyekre a2  b2  c2 teljesül.
Ekkor Pitagorasz-tételének
értelmében a, b és c egy
derékszögű háromszög oldalai.
Pitagoraszi számhármasok
A pitagoraszi számhármasok
előállításának módját a
pitagoreusok találták meg.
Írjuk fel két sorban felül a
négyzetszámokat, és alul a páratlan
számokat.
Az alsó sorban található négyzetszám
a felső sorban felette lévő két
négyzetszámmal együtt pitagoraszi
számhármast alkot. Valóban:
Pitagoraszi számhármasok
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27
Az alsó sorban az első négyzetszám a
9, felette van a 16 és a 25,
következik, hogy 3, 4 és 5
pitagoraszi számhármas.
Ugyanígy a következő négyzetszám a
25, felette 144 és 169 található,
tehát az 5, 12 és 13 pitagoraszi
számhármas.
Pitagoraszi számhármasok
Azt, hogy számtalan sok ilyen pitagoraszi
számhármas létezik, Euklidész
bizonyította be.
Ha n természetes számot jelöl, akkor
pitagoraszi számhármasok például a
következők:
3n,4n,5n
5n,12n,13n
8n,15n,17n 9n,40n,41n
12n,35n,37n stb.
7n,24n,25n
11n,60n,61n
A pitagorasz-tétel alkalmazása
Pitagorasz tételének számtalan sok
alkalmazása van úgy a
geometriában mint az analitikus
mértanban.
Legyen az elkövetkezendő
matematikaóráitok tananyaga ezen
széleskörű alkalmazások
megismerése.
Irodalomjegyzék
Sain Márton:
Matematikatörténeti ABC, Tankönyvkiadó, Budapest,1977
Breznai Gyula:
Pitagorasz tétele, Tankönyvkiadó Budapest, 1971-1972
K. A. Ribnyikov:
A matematika története,Tankönyvkiadó, Budapest, 1968
Sain Márton:
Nincs királyi út! ,Gondolat, Budapest, 1986
www.wikipedia.com
www.wikimedia.org