Transcript + T

DIELEKTRYKI
Wykład 2
18.11.2010
Tadeusz Hilczer
1
Zasada pomiaru przenikalności elektrycznej
I-sza możliwość:
- kondensator jest stale włączony do obwodu pomiarowego
1. pomiar C1= C0
dielektryk
2. pomiar C2= eC0
wynik e = Cmiernik
2/C1
prądu
Tadeusz Hilczer
2
Zasada pomiaru przenikalności elektrycznej
II-sza możliwość:
- kondensator jest włączany do obwodu pomiarowego na czas
pomiaru
1. pomiar C1= C0+Cd
Tadeusz Hilczer
3
Zasada pomiaru przenikalności elektrycznej
II-sza możliwość:
- kondensator jest włączany do obwodu pomiarowego na czas
pomiaru
1. pomiar C1= C0+Cd
dielektryk
2. pomiar C2= eC0+Cd
wynik
e -1 = (C2-C1)/C0
e -1 =  - podatność elektryczna
Tadeusz Hilczer
4
Wyznaczanie stałej materiałowej x
x = f(a,b,c,d,...)
stan skupienia
parametry:
temperatura
ciśnienie
pola zewnętrzne
jeszcze coś
jeszcze coś
Tadeusz Hilczer
5
Wyznaczanie stałej materiałowej x
- pomiar temperaturowy
x = f(T)
stan skupienia = const
parametry:
temperatura zmienna
ciśnienie = const
pola zewnętrzne = const
jeszcze coś = const
jeszcze coś = const
Tadeusz Hilczer
6
Wyznaczanie stałej materiałowej x
- pomiar ciśnieniowy
x = f(p)
stan skupienia = const
parametry:
temperatura = const
ciśnienie zmienne
pola zewnętrzne = const
jeszcze coś = const
jeszcze coś = const
Tadeusz Hilczer
7
Wyznaczanie stałej materiałowej x
- pomiar temperaturowy i ciśnieniowy
x = f(T,p)
stan skupienia = const
parametry:
temperatura zmienna
ciśnienie zmienne
pola zewnętrzne = const
jeszcze coś = const
jeszcze coś = const
Tadeusz Hilczer
8
Pomiar przenikalności elektrycznej w warunkach ustalonych
- komórka pomiarowa - bez dielektryka
T = const
Vkom = V0
p = const
V = const
Cpom = C0
Tadeusz Hilczer
9
Pomiar przenikalności elektrycznej w warunkach ustalonych
- komórka pomiarowa - z dielektrykiem idealnym
T = const
Vkom = V0
p = const
V = const
Cpom = e(T0)C0
Tadeusz Hilczer
10
Temperaturowy pomiar pojemności elektrycznej
- komórka pomiarowa - z dielektrykiem idealnym
T = rośnie
Vkom = V0+DV(p,T)
p = rośnie
V = const
Cpom = e(T0,p)C0(T)
Tadeusz Hilczer
11
Temperaturowy pomiar pojemności elektrycznej
- komórka pomiarowa - z dielektrykiem idealnym
T = rośnie
Vkom = V0+DV(T)
p = const
V = rośnie
Cpom = e(T0)C0(T)
Tadeusz Hilczer
12
Temperaturowy pomiar pojemności elektrycznej
czujnik
temperatury
T1
DT = T2-T1  0
Ttermostatu
T2
temperatura Te = (1/2)(T1 + T2)
Tadeusz Hilczer
13
Temperaturowy pomiar pojemności elektrycznej
DV = 0
DT = 0
temperatura Te
Tadeusz Hilczer
14
Temperaturowy pomiar pojemności elektrycznej
DV = 0
DT = 0
DV = 0
temperatura Te = Ttermostatu
Tadeusz Hilczer
DT = 0
15
Pomiar pojemności elektrycznej
- metoda podstawienia
kondensator wzorcowy
układ pomiarowy
C(e)
Tadeusz Hilczer
16
Pomiar pojemności elektrycznej
- metoda podstawienia
kondensator wzorcowy
układ pomiarowy
C(e)
Tadeusz Hilczer
17
Pomiar pojemności elektrycznej
wskaźnik równowagi
- metoda mostkowa
kondensator wzorcowy
C(e)

Tadeusz Hilczer
18
Dielektryk w polu przemiennym
Zależność polaryzacji dielektryka od częstości
Tadeusz Hilczer
19
Dielektryk w polu przemiennym
Zależność polaryzacji dielektryka od częstości
Tadeusz Hilczer
20
Dielektryk w polu przemiennym
Zależność polaryzacji dielektryka od częstości
Tadeusz Hilczer
21
Dielektryk w polu przemiennym
Zależność polaryzacji dielektryka od częstości
Tadeusz Hilczer
22
Dielektryk w polu przemiennym
- przenikalność elektryczna dielektryka w przemiennym polu
elektrycznym (dielektryk o jednym rodzaju trwałych dipoli
molekularnych)

e *  e    b (t ) exp(it )dt
0
e - przenikalność elektryczna przy wysokich częstościach
b(t) - współczynnik zaniku, określający opóźnienie zmian
polaryzacji względem zmian pola elektrycznego
- Debye (1912) zaproponował wykładniczą formę współczynnika
zaniku
t – czas relaksacji
 t
b (t )  b (0) exp  
 t
Tadeusz Hilczer
23
Polaryzacja deformacyjna
- polaryzacja deformacyjna (atomowej, jonowej, elektronowej) 
model oscylatora harmonicznego,
• przesunięcie przez pole elektryczne ładunków przeciwnych
znaków, związanych ze sobą sprężyście, wywołuje polaryzację
ośrodka,
• po usunięciu pola ładunki wracają do położeń równowagi
wykonując drgania, które zanikają z szybkością określoną
tłumieniem (lepkością ośrodka)
• gdy polaryzację deformacyjną wywołuje pole przemienne układ
złożony z oscylatorów może przy pewnej charakterystycznej
częstości 0 absorbować energię
• zjawisko analogiczne do absorpcji rezonansowej w obwodzie
elektrycznym zawierającym opór omowy, pojemność oraz
indukcyjność
Tadeusz Hilczer
24
Polaryzacja deformacyjna
• drganie oscylatora o masie m wychylonego z położenia równowagi
o r:
d 2r
dr k
d 2r
dr
 2b
 r
 2b
 02r  0
dt
dt m
dt
dt
b - współczynnik tłumienia
0 - częstość drgań oscylatora nietłumionego (k=0)
r  r0 exp(  bt ) cos t ;   02  b 2
- tłumienie powoduje rozszerzenie linii rezonansowej  szerokość
połówkowa D
Tadeusz Hilczer
25
Polaryzacja deformacyjna
A
1.0
D
0.5
0
b b
0
Tadeusz Hilczer

26
Polaryzacja orientacyjna
P
Po
P/n
t
Pd
0
t0
t
Tadeusz Hilczer
27
Dyspersja i absorpcja
e’-1
e”
 /0
Tadeusz Hilczer
28
Równania dyspersyjne Debye’a
- polaryzacja dipolowa Pd jest wielkością zespoloną  przesunięta
w fazie w stosunku do pola E
es  e
Pd 
e0E
1  it D
- całkowita polaryzacja P jest też wielkością zespoloną:
P  P  Pd
es  e
P *    P'iP "  e   1e 0 E 
e0E
1  it D
Tadeusz Hilczer
29
Równania dyspersyjne Debye’a
- równanie dyspersyjne Debye’a określa zależność zespolonej
przenikalności elektrycznej e* od częstości 
es  e
P'iP "
e *    e 'ie "  1 
 e 
e0E
1  it D
e *    e 
1

es  e
1  it D
e *    e  
- tangens kąta strat:
e s  e  tD
es  e

i
1   2t D2
1   2t D2
e '  
e "  
es  e
e"
tg  
t D
2 2
e ' e s  e  t D
Tadeusz Hilczer
30
Równania dyspersyjne Debye’a
- dyspersja
es  e
e '    e  
1   2t D2
e’()
e
- absorpcja

e s  e  t D
e "   
2 2
e”()
log(t)
1  t D
Tadeusz Hilczer
31
Znormalizowane równania dyspersyjne Debye’a
- równania dyspersyjne Debye’a można zapisać w postaciach
umożliwiających wyznaczenie różnych charakterystyk
eksperymentalnych
- wygodną skalą dla częstości jest skala logarytmiczna
- wprowadzamy zmienną:
x  lnt D 
- znormalizowane równania dyspersyjne:
e '    e 
ex
1
 x
 1  tgh x 
x
es  e
e e 2
e "  
1
1 1
 x

e s  e  e  e x 2 cosh x
Tadeusz Hilczer
32
Przewodnictwo właściwe
- przewodnictwo właściwe:
es  e
G  e0e "  e0
t D
2 2
1  t D
- znormalizowane przewodnictwo właściwe:
Gt D
ex
1
  x x  1  tghx 
e 0 e s  e   e  e
2
- krzywa przewodnictwa jest zwierciadlanym odbiciem krzywej
dyspersji
Tadeusz Hilczer
33
Znormalizowane równania dyspersyjne Debye’a
Gt
e 0 e s  e  
przewodnictwo
Tadeusz Hilczer
34
Znormalizowane równania dyspersyjne Debye’a
Gt
e 0 e s  e  
e 'e 
es  e
dyspersja
przewodnictwo
- duże wartości G powyżej obszaru relaksacji pochodzą od niezależnych oscylacji
ładunków przeciwnych znaków (dla małych częstości E ładunki te są sprzężone i tworzą dipole
molekularne)
Tadeusz Hilczer
35
Znormalizowane równania dyspersyjne Debye’a
Gt
e 0 e s  e  
e 'e 
es  e
dyspersja
przewodnictwo
e"
es  e
absorpcja
Tadeusz Hilczer
36
Spektroskopia dielektryczna
gdy dielektryk z dipolami molekularnymi znajduje się w zmiennym
polu elektrycznym:
E  E0 expit 
- można wyróżnić 2 stany równowagi:
Ps  e s 1e 0 E
•   (pole wysokiej częstości)  P  e   1e 0 E
• 0
(pole statyczne)

- szybkość zmian polaryzacji dipolowej:
dPd Ps  P  Pd e s  e 
Pd


e0E 
dt
tD
tD
tD
Tadeusz Hilczer
37
Spektroskopia dielektryczna
- zależności liniowe pomiędzy e’ i e”
- z równań dyspersyjnych Debye’a:
es  e
e '    e  
1   2t D2
es  e
e "   
t D
2 2
1  t D
liniowe związki pomiędzy e’ i e”:
e "  
e '    e  
t D
e '    e s  e " tD
Umożliwiają one wyznaczenie
- makroskopowego czasu relaksacji tD
- oraz wartości e oraz es
Tadeusz Hilczer
38
Półokrąg Cole-Cole
K.S. Cole i R.H. Cole pokazali, że eliminując  z równań dyspersyjnych
Debye’a:
es  e
e '    e  
1   2t D2
es  e
e "   
t D
2 2
1  t D
otrzymuje się równanie okręgu:

e '   

• współrzędne środka:
es  e
• promień:
2
es  e 
2
2
 es  e 
  e "    


2
2
2


 es  e 
 e " 0
 2 
e' 
Tadeusz Hilczer
40
Półokrąg Cole-Cole
e " 0
- sens fizyczny ma tylko połowa okręgu
e”
e
es
e’
- gdy wyniki doświadczalne leżą na półokręgu  relaksację
dielektryczną opisuje prosty model Debye’a (identyczne dipole w
identycznym otoczeniu  jeden czas relaksacji tD)
- półokrąg Debye’a umożliwia ekstrapolację do wartości e i es nawet
dla małej liczby punktów doświadczalnych
Tadeusz Hilczer
41
Odstępstwa od modelu Debye’a
• W realnych dielektrykach obserwuje się często odstępstwa od
prostego modelu Debye’a z pojedynczym czasem relaksacji tD.
e"
es  e
Tadeusz Hilczer
42
Odstępstwa od modelu Debye’a
• poszerzenie zakresu częstości, w którym występuje
dyspersja e’()
• zmniejszenie absorpcji dielektrycznej e”max()
e"
es  e
Tadeusz Hilczer
43
Odstępstwa od modelu Debye’a
• poszerzenie zakresu częstości, w którym występuje
dyspersja e’()
• zmniejszenie absorpcji dielektrycznej e”max()
e"
es  e
Tadeusz Hilczer
44
Odstępstwa od modelu Debye’a
• poszerzenie zakresu częstości, w którym występuje
dyspersja e’()
• zmniejszenie absorpcji dielektrycznej e”max()
e"
es  e
Tadeusz Hilczer
45
Odstępstwa od modelu Debye’a
• poszerzenie zakresu częstości, w którym występuje
dyspersja e’()
• zmniejszenie absorpcji dielektrycznej e”max()
e"
e s e"e 
es  e
e 'e 
es  e
wg równań
Debye’a
Tadeusz Hilczer
46
Odstępstwa od modelu Debye’a
Odstępstwa od modelu Debye’a przejawiają się jako pojawienie
się zamiast pojedynczego czasu relaksacji tD rozkładu czasów
relaksacji f(t)
Funkcja relaksacji (t) jest w tym przypadku określona jako:
 t
t    f t  exp  dt
 t
Rozkład czasów relaksacji związany jest z:
 różnicami budowy molekularnych dipoli
 różnicami otoczenia identycznych dipoli molekularnych
Tadeusz Hilczer
47
Równanie Cole-Cole
K.S. Cole i R.H Cole zaproponowali do opisu dyspersji dielektryków
złożonych zamiast dyspersyjnego równania Debye’a:
e *    e 
1

es  e
1  it D
równanie empiryczne:
e *    e 
1

1
es  e
1  itCC 
 - empiryczny parametr (0<1)
dla =0 równanie Cole’a-Cole’a  równanie Debye’a
Tadeusz Hilczer
48
Równanie Cole-Cole
- wykresem równania Cole’a – Cole’a jest łuk półokręgu o środku
położonym poniżej osi e’
e"
 0
v
u
e
R

2
es
e'
e s  e  e s  e   π 
 2 ; 2 tg  2 
Tadeusz Hilczer
49
Równanie Davidsona-Cole
- łuk Cole’a–Cole’a  symetryczny względem prostej
równoległej do osi e”
- punkty doświadczalne  często na łuku asymetrycznym
- równanie empiryczne Davidsona – Cole’a:
e    e 
1

es  e
1  it DC b
b – empiryczny parametr (0< b  1)
e '  e   (e s  e  ) cosb  cosb
e "  (e s  e  ) cos  sin b
b
t  tg
- dla b =1 równanie Davindsona - Cole’a  równanie Debye’a
Tadeusz Hilczer
50
Wykres Davidsona-Cole
e '  e   (e s  e  ) cosb  cosb
e "  (e s  e  ) cosb  sin b
e”
b=
1
0,8
0,6
0,4
0,2
e
es
Tadeusz Hilczer
e’
51
Równanie Havriliaka-Negami
Wszystkie trzy przypadki równań dyspersyjnych Debye’a, Cole’a-Cole’a
oraz Davidsona–Cole’a obejmuje empiryczne równanie
zaproponowane przez S. Havriliaka i S. Negami:
e *    e 
1

1
es  e
1  it HN 

Dla

b
=0 i b=1

r. Debye’a
=0

r. Davidsona – Cole’a
b=0

r. Cole’a – Cole’a
Równanie Havriliaka–Negami dobrze opisuje poszerzony (w stosunku
do modelu Debye’a) obszar dyspersji i absorpcji dielektrycznej w
układach złożonych takich jak polimery.
Tadeusz Hilczer
52
Funkcja relaksacji Debye’a
Modelowi Debye’a (z pojedynczym czasem relaksacji tD) odpowiada
makroskopowa funkcja relaksacji:
 t
 t   exp  
 tD



a relaksacyjna część zespolonej przenikalności elektrycznej
e*() związana jest z jednostronną transformatą Fouriera tej
funkcji:
e *    e 
 1  i t 
es  e
Tadeusz Hilczer
53
Funkcja relaksacji Kohlrauscha-Wiliamsa-Wattsa
Do opisu relaksacji dielektrycznej układów złożonych w domenie czasu
stosuje się często tzw. „rozciągniętą” funkcję eksponencjalną (Stretched
exponent) Kohlrauscha-Williamsa-Wattsa:
  t
 KWW t   exp 
  t KWW



b
Funkcja ta, została zastosowana przez B. Kohlrauscha do opisu
zaniku ładunku w butelce lejdejskiej.
Do opisu relaksacji dielektrycznej w amorficznych polimerach
została ona zastosowana przez G. Williamsa i D.C. Wattsa
Funkcja KWW opisuje również inne zjawiska relaksacji w
polimerach, np. relaksację NMR, relaksację mechaniczną.
Tadeusz Hilczer
54
Spektroskopia dielektryczna
- spektroskopia dielektryczna w domenie częstości
- spektroskopia dielektryczna w domenie czasu
- spektroskopia dielektryczna obejmuje zakres częstości od
10-4 Hz do 1014 Hz
- takiego przedziału częstości nie realizuje żadna metoda
pomiarowa  muszą być wykorzystane rozmaite zasady
- mostki
metody impedancyjne
- metody rezonansowe
- linie koaksialne
- falowody
- metody transientowe
- linie paskowe
Tadeusz Hilczer
55
Metody eksperymentalne
spektroskopia dielektryczna w domenie częstości
spektroskopia dielektryczna w domenie czasu
10-4
10-2
100
102
104
106
108
1010
1012
1014
f (Hz)
metody mostkowe
metody rezonansowe
metody koaksialne
metody mikrofalowe
rezonatory
Tadeusz Hilczer
56
Metody eksperymentalne
spektroskopia dielektryczna w domenie częstości
spektroskopia dielektryczna w domenie czasu
10-4
10-2
100
102
104
106
108
1010
1012
1014
f (Hz)
metody impedancyjne
(cyfrowe)
metody koaksialne
metody mikrofalowe
rezonatory
Tadeusz Hilczer
57
Metody eksperymentalne
- komórka pomiarowa jest kondensatorem
- pomiędzy okładkami znajduje się dielektryk rzeczywisty
- kondensator ma określone straty  układem zastępczym jest
oporność R równolegle połączona do pojemności C
C
R
- zespolona impedancja Z obwodu  odwrotność zespolonej
admitancji Y:
Y = G + iC
- konduktancja G:
1
G
R
Tadeusz Hilczer
58
Przykład
- do obwodu o stałej oporności R i stałej pojemności C włączony
jest w chwili t = 0 impuls elektryczny U(t)
C
R
- impuls U(t) ma kształt półokresu sinusoidy
U(t)
/0 t
0
- wyznaczamy prąd I(t) płynący przez obwód po czasie /0
- stosujemy metodę Laplace’a
Tadeusz Hilczer
59
Przykład
- odpowiedź układu na pobudzenie impulsem:
 π 1 
U 0C0
dQ(t )
 1 

I (t ) 
  2 2 2 exp 
t  1  exp

dt
RC
R C 0  1

 RC  
 0

Tadeusz Hilczer
60
Obwód zastępczy komórki pomiarowej
- kondensator z dielektrykiem
- opór zastępujący straty
- kondensatory kompensujące pojemności rozproszone
- indukcyjność kompensująca
Tadeusz Hilczer
61
Mostek Wheatstone’a
Z1=1/Y1
Z2=1/Y2
D
Z3=1/Y3
Z4=1/Y4
˜
generator
Tadeusz Hilczer
62
Miernik dobroci (Q-metr)
generator
pomiar napięcia U(t)
Tadeusz Hilczer
pomiar natężenia I(t)
63
Miernik dobroci (Q-metr)
U (t )  U 0 cos(t )
I (t )  I0 cos(t  )  re(I * exp(it ))
Tadeusz Hilczer
64
Miernik dobroci (Q-metr)
- transformata Fouriera po n okresach
nT
2
I (t )  I 'iI " 
I (t ) exp(it )dt

nT 0
I ''
I 0  I '  I ' ' ; tg( ) 
I'
U0
*
Z ( )  Z 'iZ "  *
I ( )
2
- impedancja:
2
- przenikalność dielektryczna
i
1
e ( )  e 'ie " 
Z * ( ) C0
*
- przewodnictwo
1 d
 ( )   'i "  *
Z ( ) A
*
Tadeusz Hilczer
65
FTT
- zastosowanie metody Fouriera do impulsu w postaci dyskretnej
wymaga wyrażenia całki Fouriera w postaci dyskretnej
- dla impulsu x(t) zawartego w przedziale (0,tm) po procedurze
próbkowania  N dyskretnych wartości częstości n
- dyskretna transformata Fouriera:
kn  N 1

nk
xn   xk exp  2πi

x
W
; k  0,1, 2, ... N - 1
  k
N  k 0

k 0
N 1
- dyskretna odwrotna transformata Fouriera:
kn  1 N 1

nk
x
exp
2
πi

x
W
; k  0,1, 2, ... N - 1




n
n
N  N k 0

k 0
 2πi 
W  exp

 N 
Tadeusz Hilczer
66
66
1
Xn 
N
N 1
FTT
- dla uzyskania dokładnej analizy impulsu potrzebna jest duża
liczba próbek N
- obliczenie współczynników dyskretnej transformaty Fouriera za
pomocą procedur komputerowych
- liczba operacji matematycznych  rzędu N 2
- w roku 1965 J.W.Cooley i J.W.Tukey opracowali algorytm
obliczania transformat  szybką transformatę Fouriera  FFT
(Fast Fourier Transform)
- liczba operacji matematycznych  rzędu 2N lnN
- dla N = 1000 do wyliczenia transformaty około 100 razy mniej
operacji
Tadeusz Hilczer
67
FTT
- algorytm FFT  kolejne stosowanie filtrowania cyfrowego
- opracowano kilka procedur filtrowania
- w obliczeniach komputerowych  liczba próbek N parzysta
równa 2k
- gdy liczba N jest mniejsza od najbliższej liczby 2k  uzupełnia
odpowiednia liczba zer
- próbki xk dzieli się na dwie grupy o liczebności N /2
- grupa yk  parzyste liczby k
- grupa zk  nieparzyste liczby k
Tadeusz Hilczer
68
FTT
A
xk
t
zk
yk
Tadeusz Hilczer
69
FTT
- transformaty obu grup:
Yn 
Zn 
( N / 2 ) 1
2 nk
y
W
 k
k 0
( N / 2 ) 1
2 nk
z
W
 k
k 0
- transformata całego zbioru N próbek jest sumą transformat obu
grup:
Xn 

( N / 2 ) 1

k 0

kn 
kn 
kn 



 yk exp  4πi N   exp  2πi N  z k exp  4πi N  







 y W
( N / 2 ) 1
k 0
k
2 nk

 W n z kW 2 nk  Yn  Z nW n
Tadeusz Hilczer
70
FTT
- ponieważ:
X n N / 2  Yn  Z nW n  Yn  Z nW nN / 2
dla 0 ≤ n < N /2
- obliczenia transformaty Xn można ograniczyć dla przedziału
0 ≤ n < N /2
- dla przedziału N /2 < n  N wartości Yn i Zn mają te same
wartości co dla przedziału 0 < n < N /2
Tadeusz Hilczer
71
FTT
- jeżeli liczba N /2 jest parzysta  kolejny podział
- jeżeli liczba N /4 jest parzysta  kolejny podział
- każdy podział zmniejsza liczbę koniecznych operacji
- zbiór próbek o N elementach opisujący impuls
-  N zbiorów o 1 elemencie
- impuls opisany zbiorem N równań, złożonych z sum i prostych
iloczynów
Tadeusz Hilczer
72
FTT
18
24
42
81
graficzny obraz filtrowania numerycznego dla N = 8
Tadeusz Hilczer
73
FTT
- dla N = 4 , po pierwszym podziale na dwa podzespoły
X 0  Y0  Z 0W 0
X 1  Y1  Z1W 1
X 2  Y0  Z 0W 2  Y0  Z 0W 0
X 3  Y1  Z1W 3  Y1  Z 0W 1
- gdzie
Y0  y0W 0  y1W 0 , Y1  y0W 0  y1W 2
Z 0  z0W 0  z1W 0 , Z1  z0W 0  z1W 2
Tadeusz Hilczer
74
FTT
- ostatecznie:
X 0  x0W 0  x1W 0W 0  x2W 0  x3W 0W 0
X 1  x0W 0  x1W 0W 1  x2W 2  x3W 2W 1
X 2  x0W 0  x1W 0W 0  x2W 0  x3W 0W 0
X 3  x0W 0  x1W 0W 1  x2W 2  x3W 0W 1
Tadeusz Hilczer
75
Spektroskopia dielektryczna
e’
e”
-6
-3
0
3
6
9
12
log (f[Hz])
15
FTIR
mm
Analiza
sieciowa
koaksialne
mostki
Domena częstości
Domena czasu
Komórka optyczna
kondensator
Tadeusz Hilczer
Komórka koaksialna
krótkozwarta Linia koaksialna
76