Transcript + T
DIELEKTRYKI
Wykład 2
18.11.2010
Tadeusz Hilczer
1
Zasada pomiaru przenikalności elektrycznej
I-sza możliwość:
- kondensator jest stale włączony do obwodu pomiarowego
1. pomiar C1= C0
dielektryk
2. pomiar C2= eC0
wynik e = Cmiernik
2/C1
prądu
Tadeusz Hilczer
2
Zasada pomiaru przenikalności elektrycznej
II-sza możliwość:
- kondensator jest włączany do obwodu pomiarowego na czas
pomiaru
1. pomiar C1= C0+Cd
Tadeusz Hilczer
3
Zasada pomiaru przenikalności elektrycznej
II-sza możliwość:
- kondensator jest włączany do obwodu pomiarowego na czas
pomiaru
1. pomiar C1= C0+Cd
dielektryk
2. pomiar C2= eC0+Cd
wynik
e -1 = (C2-C1)/C0
e -1 = - podatność elektryczna
Tadeusz Hilczer
4
Wyznaczanie stałej materiałowej x
x = f(a,b,c,d,...)
stan skupienia
parametry:
temperatura
ciśnienie
pola zewnętrzne
jeszcze coś
jeszcze coś
Tadeusz Hilczer
5
Wyznaczanie stałej materiałowej x
- pomiar temperaturowy
x = f(T)
stan skupienia = const
parametry:
temperatura zmienna
ciśnienie = const
pola zewnętrzne = const
jeszcze coś = const
jeszcze coś = const
Tadeusz Hilczer
6
Wyznaczanie stałej materiałowej x
- pomiar ciśnieniowy
x = f(p)
stan skupienia = const
parametry:
temperatura = const
ciśnienie zmienne
pola zewnętrzne = const
jeszcze coś = const
jeszcze coś = const
Tadeusz Hilczer
7
Wyznaczanie stałej materiałowej x
- pomiar temperaturowy i ciśnieniowy
x = f(T,p)
stan skupienia = const
parametry:
temperatura zmienna
ciśnienie zmienne
pola zewnętrzne = const
jeszcze coś = const
jeszcze coś = const
Tadeusz Hilczer
8
Pomiar przenikalności elektrycznej w warunkach ustalonych
- komórka pomiarowa - bez dielektryka
T = const
Vkom = V0
p = const
V = const
Cpom = C0
Tadeusz Hilczer
9
Pomiar przenikalności elektrycznej w warunkach ustalonych
- komórka pomiarowa - z dielektrykiem idealnym
T = const
Vkom = V0
p = const
V = const
Cpom = e(T0)C0
Tadeusz Hilczer
10
Temperaturowy pomiar pojemności elektrycznej
- komórka pomiarowa - z dielektrykiem idealnym
T = rośnie
Vkom = V0+DV(p,T)
p = rośnie
V = const
Cpom = e(T0,p)C0(T)
Tadeusz Hilczer
11
Temperaturowy pomiar pojemności elektrycznej
- komórka pomiarowa - z dielektrykiem idealnym
T = rośnie
Vkom = V0+DV(T)
p = const
V = rośnie
Cpom = e(T0)C0(T)
Tadeusz Hilczer
12
Temperaturowy pomiar pojemności elektrycznej
czujnik
temperatury
T1
DT = T2-T1 0
Ttermostatu
T2
temperatura Te = (1/2)(T1 + T2)
Tadeusz Hilczer
13
Temperaturowy pomiar pojemności elektrycznej
DV = 0
DT = 0
temperatura Te
Tadeusz Hilczer
14
Temperaturowy pomiar pojemności elektrycznej
DV = 0
DT = 0
DV = 0
temperatura Te = Ttermostatu
Tadeusz Hilczer
DT = 0
15
Pomiar pojemności elektrycznej
- metoda podstawienia
kondensator wzorcowy
układ pomiarowy
C(e)
Tadeusz Hilczer
16
Pomiar pojemności elektrycznej
- metoda podstawienia
kondensator wzorcowy
układ pomiarowy
C(e)
Tadeusz Hilczer
17
Pomiar pojemności elektrycznej
wskaźnik równowagi
- metoda mostkowa
kondensator wzorcowy
C(e)
Tadeusz Hilczer
18
Dielektryk w polu przemiennym
Zależność polaryzacji dielektryka od częstości
Tadeusz Hilczer
19
Dielektryk w polu przemiennym
Zależność polaryzacji dielektryka od częstości
Tadeusz Hilczer
20
Dielektryk w polu przemiennym
Zależność polaryzacji dielektryka od częstości
Tadeusz Hilczer
21
Dielektryk w polu przemiennym
Zależność polaryzacji dielektryka od częstości
Tadeusz Hilczer
22
Dielektryk w polu przemiennym
- przenikalność elektryczna dielektryka w przemiennym polu
elektrycznym (dielektryk o jednym rodzaju trwałych dipoli
molekularnych)
e * e b (t ) exp(it )dt
0
e - przenikalność elektryczna przy wysokich częstościach
b(t) - współczynnik zaniku, określający opóźnienie zmian
polaryzacji względem zmian pola elektrycznego
- Debye (1912) zaproponował wykładniczą formę współczynnika
zaniku
t – czas relaksacji
t
b (t ) b (0) exp
t
Tadeusz Hilczer
23
Polaryzacja deformacyjna
- polaryzacja deformacyjna (atomowej, jonowej, elektronowej)
model oscylatora harmonicznego,
• przesunięcie przez pole elektryczne ładunków przeciwnych
znaków, związanych ze sobą sprężyście, wywołuje polaryzację
ośrodka,
• po usunięciu pola ładunki wracają do położeń równowagi
wykonując drgania, które zanikają z szybkością określoną
tłumieniem (lepkością ośrodka)
• gdy polaryzację deformacyjną wywołuje pole przemienne układ
złożony z oscylatorów może przy pewnej charakterystycznej
częstości 0 absorbować energię
• zjawisko analogiczne do absorpcji rezonansowej w obwodzie
elektrycznym zawierającym opór omowy, pojemność oraz
indukcyjność
Tadeusz Hilczer
24
Polaryzacja deformacyjna
• drganie oscylatora o masie m wychylonego z położenia równowagi
o r:
d 2r
dr k
d 2r
dr
2b
r
2b
02r 0
dt
dt m
dt
dt
b - współczynnik tłumienia
0 - częstość drgań oscylatora nietłumionego (k=0)
r r0 exp( bt ) cos t ; 02 b 2
- tłumienie powoduje rozszerzenie linii rezonansowej szerokość
połówkowa D
Tadeusz Hilczer
25
Polaryzacja deformacyjna
A
1.0
D
0.5
0
b b
0
Tadeusz Hilczer
26
Polaryzacja orientacyjna
P
Po
P/n
t
Pd
0
t0
t
Tadeusz Hilczer
27
Dyspersja i absorpcja
e’-1
e”
/0
Tadeusz Hilczer
28
Równania dyspersyjne Debye’a
- polaryzacja dipolowa Pd jest wielkością zespoloną przesunięta
w fazie w stosunku do pola E
es e
Pd
e0E
1 it D
- całkowita polaryzacja P jest też wielkością zespoloną:
P P Pd
es e
P * P'iP " e 1e 0 E
e0E
1 it D
Tadeusz Hilczer
29
Równania dyspersyjne Debye’a
- równanie dyspersyjne Debye’a określa zależność zespolonej
przenikalności elektrycznej e* od częstości
es e
P'iP "
e * e 'ie " 1
e
e0E
1 it D
e * e
1
es e
1 it D
e * e
- tangens kąta strat:
e s e tD
es e
i
1 2t D2
1 2t D2
e '
e "
es e
e"
tg
t D
2 2
e ' e s e t D
Tadeusz Hilczer
30
Równania dyspersyjne Debye’a
- dyspersja
es e
e ' e
1 2t D2
e’()
e
- absorpcja
e s e t D
e "
2 2
e”()
log(t)
1 t D
Tadeusz Hilczer
31
Znormalizowane równania dyspersyjne Debye’a
- równania dyspersyjne Debye’a można zapisać w postaciach
umożliwiających wyznaczenie różnych charakterystyk
eksperymentalnych
- wygodną skalą dla częstości jest skala logarytmiczna
- wprowadzamy zmienną:
x lnt D
- znormalizowane równania dyspersyjne:
e ' e
ex
1
x
1 tgh x
x
es e
e e 2
e "
1
1 1
x
e s e e e x 2 cosh x
Tadeusz Hilczer
32
Przewodnictwo właściwe
- przewodnictwo właściwe:
es e
G e0e " e0
t D
2 2
1 t D
- znormalizowane przewodnictwo właściwe:
Gt D
ex
1
x x 1 tghx
e 0 e s e e e
2
- krzywa przewodnictwa jest zwierciadlanym odbiciem krzywej
dyspersji
Tadeusz Hilczer
33
Znormalizowane równania dyspersyjne Debye’a
Gt
e 0 e s e
przewodnictwo
Tadeusz Hilczer
34
Znormalizowane równania dyspersyjne Debye’a
Gt
e 0 e s e
e 'e
es e
dyspersja
przewodnictwo
- duże wartości G powyżej obszaru relaksacji pochodzą od niezależnych oscylacji
ładunków przeciwnych znaków (dla małych częstości E ładunki te są sprzężone i tworzą dipole
molekularne)
Tadeusz Hilczer
35
Znormalizowane równania dyspersyjne Debye’a
Gt
e 0 e s e
e 'e
es e
dyspersja
przewodnictwo
e"
es e
absorpcja
Tadeusz Hilczer
36
Spektroskopia dielektryczna
gdy dielektryk z dipolami molekularnymi znajduje się w zmiennym
polu elektrycznym:
E E0 expit
- można wyróżnić 2 stany równowagi:
Ps e s 1e 0 E
• (pole wysokiej częstości) P e 1e 0 E
• 0
(pole statyczne)
- szybkość zmian polaryzacji dipolowej:
dPd Ps P Pd e s e
Pd
e0E
dt
tD
tD
tD
Tadeusz Hilczer
37
Spektroskopia dielektryczna
- zależności liniowe pomiędzy e’ i e”
- z równań dyspersyjnych Debye’a:
es e
e ' e
1 2t D2
es e
e "
t D
2 2
1 t D
liniowe związki pomiędzy e’ i e”:
e "
e ' e
t D
e ' e s e " tD
Umożliwiają one wyznaczenie
- makroskopowego czasu relaksacji tD
- oraz wartości e oraz es
Tadeusz Hilczer
38
Półokrąg Cole-Cole
K.S. Cole i R.H. Cole pokazali, że eliminując z równań dyspersyjnych
Debye’a:
es e
e ' e
1 2t D2
es e
e "
t D
2 2
1 t D
otrzymuje się równanie okręgu:
e '
• współrzędne środka:
es e
• promień:
2
es e
2
2
es e
e "
2
2
2
es e
e " 0
2
e'
Tadeusz Hilczer
40
Półokrąg Cole-Cole
e " 0
- sens fizyczny ma tylko połowa okręgu
e”
e
es
e’
- gdy wyniki doświadczalne leżą na półokręgu relaksację
dielektryczną opisuje prosty model Debye’a (identyczne dipole w
identycznym otoczeniu jeden czas relaksacji tD)
- półokrąg Debye’a umożliwia ekstrapolację do wartości e i es nawet
dla małej liczby punktów doświadczalnych
Tadeusz Hilczer
41
Odstępstwa od modelu Debye’a
• W realnych dielektrykach obserwuje się często odstępstwa od
prostego modelu Debye’a z pojedynczym czasem relaksacji tD.
e"
es e
Tadeusz Hilczer
42
Odstępstwa od modelu Debye’a
• poszerzenie zakresu częstości, w którym występuje
dyspersja e’()
• zmniejszenie absorpcji dielektrycznej e”max()
e"
es e
Tadeusz Hilczer
43
Odstępstwa od modelu Debye’a
• poszerzenie zakresu częstości, w którym występuje
dyspersja e’()
• zmniejszenie absorpcji dielektrycznej e”max()
e"
es e
Tadeusz Hilczer
44
Odstępstwa od modelu Debye’a
• poszerzenie zakresu częstości, w którym występuje
dyspersja e’()
• zmniejszenie absorpcji dielektrycznej e”max()
e"
es e
Tadeusz Hilczer
45
Odstępstwa od modelu Debye’a
• poszerzenie zakresu częstości, w którym występuje
dyspersja e’()
• zmniejszenie absorpcji dielektrycznej e”max()
e"
e s e"e
es e
e 'e
es e
wg równań
Debye’a
Tadeusz Hilczer
46
Odstępstwa od modelu Debye’a
Odstępstwa od modelu Debye’a przejawiają się jako pojawienie
się zamiast pojedynczego czasu relaksacji tD rozkładu czasów
relaksacji f(t)
Funkcja relaksacji (t) jest w tym przypadku określona jako:
t
t f t exp dt
t
Rozkład czasów relaksacji związany jest z:
różnicami budowy molekularnych dipoli
różnicami otoczenia identycznych dipoli molekularnych
Tadeusz Hilczer
47
Równanie Cole-Cole
K.S. Cole i R.H Cole zaproponowali do opisu dyspersji dielektryków
złożonych zamiast dyspersyjnego równania Debye’a:
e * e
1
es e
1 it D
równanie empiryczne:
e * e
1
1
es e
1 itCC
- empiryczny parametr (0<1)
dla =0 równanie Cole’a-Cole’a równanie Debye’a
Tadeusz Hilczer
48
Równanie Cole-Cole
- wykresem równania Cole’a – Cole’a jest łuk półokręgu o środku
położonym poniżej osi e’
e"
0
v
u
e
R
2
es
e'
e s e e s e π
2 ; 2 tg 2
Tadeusz Hilczer
49
Równanie Davidsona-Cole
- łuk Cole’a–Cole’a symetryczny względem prostej
równoległej do osi e”
- punkty doświadczalne często na łuku asymetrycznym
- równanie empiryczne Davidsona – Cole’a:
e e
1
es e
1 it DC b
b – empiryczny parametr (0< b 1)
e ' e (e s e ) cosb cosb
e " (e s e ) cos sin b
b
t tg
- dla b =1 równanie Davindsona - Cole’a równanie Debye’a
Tadeusz Hilczer
50
Wykres Davidsona-Cole
e ' e (e s e ) cosb cosb
e " (e s e ) cosb sin b
e”
b=
1
0,8
0,6
0,4
0,2
e
es
Tadeusz Hilczer
e’
51
Równanie Havriliaka-Negami
Wszystkie trzy przypadki równań dyspersyjnych Debye’a, Cole’a-Cole’a
oraz Davidsona–Cole’a obejmuje empiryczne równanie
zaproponowane przez S. Havriliaka i S. Negami:
e * e
1
1
es e
1 it HN
Dla
b
=0 i b=1
r. Debye’a
=0
r. Davidsona – Cole’a
b=0
r. Cole’a – Cole’a
Równanie Havriliaka–Negami dobrze opisuje poszerzony (w stosunku
do modelu Debye’a) obszar dyspersji i absorpcji dielektrycznej w
układach złożonych takich jak polimery.
Tadeusz Hilczer
52
Funkcja relaksacji Debye’a
Modelowi Debye’a (z pojedynczym czasem relaksacji tD) odpowiada
makroskopowa funkcja relaksacji:
t
t exp
tD
a relaksacyjna część zespolonej przenikalności elektrycznej
e*() związana jest z jednostronną transformatą Fouriera tej
funkcji:
e * e
1 i t
es e
Tadeusz Hilczer
53
Funkcja relaksacji Kohlrauscha-Wiliamsa-Wattsa
Do opisu relaksacji dielektrycznej układów złożonych w domenie czasu
stosuje się często tzw. „rozciągniętą” funkcję eksponencjalną (Stretched
exponent) Kohlrauscha-Williamsa-Wattsa:
t
KWW t exp
t KWW
b
Funkcja ta, została zastosowana przez B. Kohlrauscha do opisu
zaniku ładunku w butelce lejdejskiej.
Do opisu relaksacji dielektrycznej w amorficznych polimerach
została ona zastosowana przez G. Williamsa i D.C. Wattsa
Funkcja KWW opisuje również inne zjawiska relaksacji w
polimerach, np. relaksację NMR, relaksację mechaniczną.
Tadeusz Hilczer
54
Spektroskopia dielektryczna
- spektroskopia dielektryczna w domenie częstości
- spektroskopia dielektryczna w domenie czasu
- spektroskopia dielektryczna obejmuje zakres częstości od
10-4 Hz do 1014 Hz
- takiego przedziału częstości nie realizuje żadna metoda
pomiarowa muszą być wykorzystane rozmaite zasady
- mostki
metody impedancyjne
- metody rezonansowe
- linie koaksialne
- falowody
- metody transientowe
- linie paskowe
Tadeusz Hilczer
55
Metody eksperymentalne
spektroskopia dielektryczna w domenie częstości
spektroskopia dielektryczna w domenie czasu
10-4
10-2
100
102
104
106
108
1010
1012
1014
f (Hz)
metody mostkowe
metody rezonansowe
metody koaksialne
metody mikrofalowe
rezonatory
Tadeusz Hilczer
56
Metody eksperymentalne
spektroskopia dielektryczna w domenie częstości
spektroskopia dielektryczna w domenie czasu
10-4
10-2
100
102
104
106
108
1010
1012
1014
f (Hz)
metody impedancyjne
(cyfrowe)
metody koaksialne
metody mikrofalowe
rezonatory
Tadeusz Hilczer
57
Metody eksperymentalne
- komórka pomiarowa jest kondensatorem
- pomiędzy okładkami znajduje się dielektryk rzeczywisty
- kondensator ma określone straty układem zastępczym jest
oporność R równolegle połączona do pojemności C
C
R
- zespolona impedancja Z obwodu odwrotność zespolonej
admitancji Y:
Y = G + iC
- konduktancja G:
1
G
R
Tadeusz Hilczer
58
Przykład
- do obwodu o stałej oporności R i stałej pojemności C włączony
jest w chwili t = 0 impuls elektryczny U(t)
C
R
- impuls U(t) ma kształt półokresu sinusoidy
U(t)
/0 t
0
- wyznaczamy prąd I(t) płynący przez obwód po czasie /0
- stosujemy metodę Laplace’a
Tadeusz Hilczer
59
Przykład
- odpowiedź układu na pobudzenie impulsem:
π 1
U 0C0
dQ(t )
1
I (t )
2 2 2 exp
t 1 exp
dt
RC
R C 0 1
RC
0
Tadeusz Hilczer
60
Obwód zastępczy komórki pomiarowej
- kondensator z dielektrykiem
- opór zastępujący straty
- kondensatory kompensujące pojemności rozproszone
- indukcyjność kompensująca
Tadeusz Hilczer
61
Mostek Wheatstone’a
Z1=1/Y1
Z2=1/Y2
D
Z3=1/Y3
Z4=1/Y4
˜
generator
Tadeusz Hilczer
62
Miernik dobroci (Q-metr)
generator
pomiar napięcia U(t)
Tadeusz Hilczer
pomiar natężenia I(t)
63
Miernik dobroci (Q-metr)
U (t ) U 0 cos(t )
I (t ) I0 cos(t ) re(I * exp(it ))
Tadeusz Hilczer
64
Miernik dobroci (Q-metr)
- transformata Fouriera po n okresach
nT
2
I (t ) I 'iI "
I (t ) exp(it )dt
nT 0
I ''
I 0 I ' I ' ' ; tg( )
I'
U0
*
Z ( ) Z 'iZ " *
I ( )
2
- impedancja:
2
- przenikalność dielektryczna
i
1
e ( ) e 'ie "
Z * ( ) C0
*
- przewodnictwo
1 d
( ) 'i " *
Z ( ) A
*
Tadeusz Hilczer
65
FTT
- zastosowanie metody Fouriera do impulsu w postaci dyskretnej
wymaga wyrażenia całki Fouriera w postaci dyskretnej
- dla impulsu x(t) zawartego w przedziale (0,tm) po procedurze
próbkowania N dyskretnych wartości częstości n
- dyskretna transformata Fouriera:
kn N 1
nk
xn xk exp 2πi
x
W
; k 0,1, 2, ... N - 1
k
N k 0
k 0
N 1
- dyskretna odwrotna transformata Fouriera:
kn 1 N 1
nk
x
exp
2
πi
x
W
; k 0,1, 2, ... N - 1
n
n
N N k 0
k 0
2πi
W exp
N
Tadeusz Hilczer
66
66
1
Xn
N
N 1
FTT
- dla uzyskania dokładnej analizy impulsu potrzebna jest duża
liczba próbek N
- obliczenie współczynników dyskretnej transformaty Fouriera za
pomocą procedur komputerowych
- liczba operacji matematycznych rzędu N 2
- w roku 1965 J.W.Cooley i J.W.Tukey opracowali algorytm
obliczania transformat szybką transformatę Fouriera FFT
(Fast Fourier Transform)
- liczba operacji matematycznych rzędu 2N lnN
- dla N = 1000 do wyliczenia transformaty około 100 razy mniej
operacji
Tadeusz Hilczer
67
FTT
- algorytm FFT kolejne stosowanie filtrowania cyfrowego
- opracowano kilka procedur filtrowania
- w obliczeniach komputerowych liczba próbek N parzysta
równa 2k
- gdy liczba N jest mniejsza od najbliższej liczby 2k uzupełnia
odpowiednia liczba zer
- próbki xk dzieli się na dwie grupy o liczebności N /2
- grupa yk parzyste liczby k
- grupa zk nieparzyste liczby k
Tadeusz Hilczer
68
FTT
A
xk
t
zk
yk
Tadeusz Hilczer
69
FTT
- transformaty obu grup:
Yn
Zn
( N / 2 ) 1
2 nk
y
W
k
k 0
( N / 2 ) 1
2 nk
z
W
k
k 0
- transformata całego zbioru N próbek jest sumą transformat obu
grup:
Xn
( N / 2 ) 1
k 0
kn
kn
kn
yk exp 4πi N exp 2πi N z k exp 4πi N
y W
( N / 2 ) 1
k 0
k
2 nk
W n z kW 2 nk Yn Z nW n
Tadeusz Hilczer
70
FTT
- ponieważ:
X n N / 2 Yn Z nW n Yn Z nW nN / 2
dla 0 ≤ n < N /2
- obliczenia transformaty Xn można ograniczyć dla przedziału
0 ≤ n < N /2
- dla przedziału N /2 < n N wartości Yn i Zn mają te same
wartości co dla przedziału 0 < n < N /2
Tadeusz Hilczer
71
FTT
- jeżeli liczba N /2 jest parzysta kolejny podział
- jeżeli liczba N /4 jest parzysta kolejny podział
- każdy podział zmniejsza liczbę koniecznych operacji
- zbiór próbek o N elementach opisujący impuls
- N zbiorów o 1 elemencie
- impuls opisany zbiorem N równań, złożonych z sum i prostych
iloczynów
Tadeusz Hilczer
72
FTT
18
24
42
81
graficzny obraz filtrowania numerycznego dla N = 8
Tadeusz Hilczer
73
FTT
- dla N = 4 , po pierwszym podziale na dwa podzespoły
X 0 Y0 Z 0W 0
X 1 Y1 Z1W 1
X 2 Y0 Z 0W 2 Y0 Z 0W 0
X 3 Y1 Z1W 3 Y1 Z 0W 1
- gdzie
Y0 y0W 0 y1W 0 , Y1 y0W 0 y1W 2
Z 0 z0W 0 z1W 0 , Z1 z0W 0 z1W 2
Tadeusz Hilczer
74
FTT
- ostatecznie:
X 0 x0W 0 x1W 0W 0 x2W 0 x3W 0W 0
X 1 x0W 0 x1W 0W 1 x2W 2 x3W 2W 1
X 2 x0W 0 x1W 0W 0 x2W 0 x3W 0W 0
X 3 x0W 0 x1W 0W 1 x2W 2 x3W 0W 1
Tadeusz Hilczer
75
Spektroskopia dielektryczna
e’
e”
-6
-3
0
3
6
9
12
log (f[Hz])
15
FTIR
mm
Analiza
sieciowa
koaksialne
mostki
Domena częstości
Domena czasu
Komórka optyczna
kondensator
Tadeusz Hilczer
Komórka koaksialna
krótkozwarta Linia koaksialna
76