平差計算_導線測量之誤差傳播
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第七章 導線測量之誤差傳播
7.1 序言
7.2 縱橫距預估誤差之推導
7.3 導線邊方位角預估標準誤差之推導
7.4 多邊形導線閉合差之計算與分析
7.5 連結導線閉合差之計算與分析
7.6 結論
問題
7.1序言
專案計畫之規格可能允許不同等級之精確度，但量測
中的一些大錯則不能接受。測量員常面臨的問題是：
當資料存在大錯時如何告知？本章將開始討論這類問
題，特別強調導線測量分析，第19章會討論更詳細。
第5章曾證明量測函數之估計誤差與個別量測誤差有關；
通常平面測量(如導線測量)中之觀測是互相獨立的，譬
如線長之距離與其方位角量測互相獨立；但根據距離
與方位角所計算之縱距與橫距則非互相獨立。由圖7.1
可見距離(a)與方位角(b)
誤差對所計算之縱橫距之
影響；由圖亦可見縱橫距
彼此相關(此即：改變距
離或方位角，縱橫距均會
改變)。
因為假設計算縱橫距所根據之觀測量為互相獨立且不
相關，故可利用SLOPOV方式或(5.15)式來計算其預估
誤差；但若利用這些計算值來推算函數時，必須考慮
相關性之效應，則應利用GLOPOV方式或(5.12)式來計
算其預估誤差，譬如導線測量之閉合差。
7.2 縱橫距預估誤差之推導
在計算導線邊之縱橫距時，常用下列公式：
Lat = D cos(Az)
(7.1)
Dep= D sin(Az)
式中，Lat為縱距，Dep為橫距，Az為方位角，D為導線
邊之平距；為推導縱橫距之估計誤差，在利用(5.15)式
時，需對(7.1)式偏導：
Lat
cos( Az )
D
Dep
sin( Az )
D
Lat
-Dsin(Az)
Az
Dep
Dcos(Az)
Az
( 7.2 )
例7.1 假設導線邊長139.2540.006m，方位角為
23°35´26 9，縱橫距與其估計誤差各若干？
解：利用(5.15) 矩陣式：
Lat ,Dep
Lat
D
Dep
D
Lat
Lat Dep
2
2
0
Lat Lat, Dep
Az
D D
D
2
2
Dep 0 Az Lat Dep Lat,Dep Dep
Az Az
Az
將偏導數代入上式，得：
Lat ,Dep
2
cos(Az)
sin(Az)
cos(Az)- Dsin(Az) 0.006 0
2
sin(Az)
Dcos(Az)
Dsin(Az)
Dcos(Az)
0
(
9
/
)
(7.3)
將數值代入(7.3)式，得：
0.9164 - 55.7292 0.000036 0
0.9164 0.4002
Lat ,Dep
0
- 55.7292 127.6164
0.4002
127.6164
1
.9039e
9
0.000036147 0.000000337
(7.4)
0.000000337 0.000036772
(7.4)式中，211為縱距之變方，222為橫距之變方，
12與21為縱距與橫距之協變方，故縱距之標準偏差：
Lat= (211)½ =±0.006m，橫距之標準偏差：Dep=
(222)½ =±0.006m；由(7.4)式可見：協變方矩陣之非
對角線上元素非為0，故縱橫距之計算值為互相相關，
如圖7.1所示。
7.3 導線邊方位角預估標準誤差之推導
(7.1)式係由導線邊之方位角來計算縱橫距，但實際上，
邊之方位角常非由觀測值，而由量測角度直接計算，
由角度值計算之方位角存在另一層次之誤差傳播，如
下述之分析；觀測內角，方位角則沿著導線方向而逆
時鐘計算，如下式所示：
Azc=Azp+180º+i
(7.5)
式中，Azc為正計算邊之方位角，Azp為前一邊之方位角，
i為用來計算之相對應內角，利用(5.17)式，正計算邊
方位角之估計誤差為：
2
Az Az
2
c
p
i
式中，i為內角之誤差，其他各項如前所定義。
(7.6)
7.4 多邊形導線閉合差之計算與分析
一般測量可知，對閉合多邊形導線，存在一幾何條件：
內角=(n-2)×180º
(7.7)
且
Lats =縱距和= 0
(7.8)
Deps=橫距和= 0
(7.9)
與上述條件之不符值，即所謂閉合差，可根據導線之
觀測值來計算。統計分析閉合差時，可決定閉合差合
理或接受與否，也可看出觀測值中是否存在大錯。若
存在大錯，須捨去量測值，並重複觀測；下例為閉合
多邊導線之計算。
例7.2 計算圖7.2所示導線之角度與線性閉合差，導線觀
測數據如表7.1所列，距離單位為m，在95％之信心水
準下，預估閉合差為若干？是否有任何可能之大錯存
在？
解：首先檢核內角是否在指定容許範圍內閉合，利用
(5.18) 矩陣式，又代入7.1表中各角度標準偏差值，
即角度和誤差須位於 2 1 2 2 2 n 之68.3％內；
又因每個角度觀測四次，各角度平均值自由度為3，
查表D.3，得t0.025,3=3.183，故在95％之信心水準下，
角度閉合差預估為：
3.183 3.52 3.12 3.6 2 3.12 3.9 2 24.6
由表7.1知：實際的角度閉合差為19 ±24.6，故在
95％之信心水準下，沒理由相信存有角度大誤差。
表7.1 圖7.2之觀測距離與角度
a
角度
測站 照準 距離(m) S(m) 後視 測站 前視
A
B 437.592 0.006 E
A
B
B
C 261.195 0.006 A
B
C
C
D 343.101 0.006 B
C
D
D
E 321.424 0.006 C
D
E
E
A 230.535 0.006 D
E
A
a
每個角度觀測四次(二次正鏡二次倒鏡) Σ＝
° ′
〞
110 24 40
87 36 14
125 47 27
99 57
2
116 14 56
540
0 19
S"
3.5
3.1
3.6
3.1
3.9
方位角計算：本題並無任何已知方位角，為解決這個
問題，可假設第一邊之方位角為0°0´0，且無誤差，可
以這麼假設，因為問題僅在檢核導線之幾何閉合條件，
而非檢核導線的方位，即使觀測了第一個邊方位角，
也是如此。利用(7.5)與(7.6)式，各邊方位角及其估計
標準誤差計算如表7.2所示。
線性閉合差計算：在計算導線線性閉合差時，應利用
(5.12)式來考量縱橫距之相關性，利用(7.2)式計算縱橫
距之偏導數後，可得係數矩陣A如(7.10)式所示。
表7.2 圖7.2之計算方位角與其估計誤差
由
A
B
C
D
E
至
B
C
D
E
A
方 位 角
0
0
0
267 36 14
213 23 41
133 20 43
69 35 39
估 計 誤 差
0"
±3.1"
(3.1 2 +3.6 2 ) 1/2 =±4.8"
(4.8 2 +3.1 2 ) 1/2 =±5.7"
(5.7 2 +3.9 2 ) 1/2 =±6.9"
0
cos( AzAB ) - DAB sin( AzAB ) 0
sin( Az ) D cos( Az ) 0
0
AB
AB
AB
0
0 cos( AzBC ) - DBC sin( AzBC )
A
0
0 sin( AzBC ) DBC cos( AzBC )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
cos( AzEA ) - DEA sin( AzEA )
sin( AzEA ) DEAcos( AzEA )
0
0
(7.10)
因為觀測距離與角度為互相獨立，彼此不相關，因此，
利用(5.15)式解得協變方矩陣之為：
D2 AB 0
0
0
2
Az AB 2
) 0
0
0 (
0
0
D2 BC 0
2
Az
AB
0
0
0 (
)2 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
D2 EA 0
AzEA 2
0 (
)
0
0
(7.11)
將數值代入(7.10)與(7.11)式，縱橫距之協變方矩陣
lat,dep=AAT如(7.12)式所示。求(7.12)式各對角線元素
的平方根，即可得每一邊縱橫距之估計誤差，譬如BC
邊之縱距估計誤差為(7.12)式中(3,3)元素之平方根，
BC邊之橫距估計誤差為(7.12)式中(4,4)元素之平方根；
其餘邊縱橫距之估計誤差同理類推。
閉合多邊形導線之限性閉合差如下所求：
LC=[(LatAB+LatBC++LatEA)2+(DepAB+DepBC++DepEA)2]½
(7.13)
為計算限性閉合差之估計誤差，將(5.15)式應用至(7.13)
式之前，需先求得(7.13)式中線性閉合差對各邊縱橫距
之偏導數，譬如LC對AB邊縱橫距之偏導數為：
LC
Lats
；
LatAB
LC
LC
Deps
DepAB
LC
(7.14)
由上可見：這些偏導數均與邊無關，且其他邊之偏導
數亦如同 (7.14)式，故(5.15)式中之係數矩陣A如下：
Lats Deps
Lats Deps Lats Deps
A
LC
LC
LC
LC
LC
LC
(7.15)
例7.2之縱橫距計算如表7.3所示，由表可見：縱距和為
-0.025m，橫距和為0.007m，線性閉合差為0.026m。將
這些數值代入(5.15)式，得閉合差之之協變方矩陣或
σ2LC=LC=Alat,depAT如(7.16)式所示，其中之A如(7.15)
式所示， lat,dep則如(7.12)式所示；LC為僅有單一元素
之矩陣。接著計算E95，查表D.3，得α=0.05, 自由度=3
之t0.025,3=3.183；在95％之信心水準下，線性閉合
例7.2之縱距與橫距
差預估為：±0.046m， 表7.3
邊
縱距(m)
橫距(m)
437.592
0.000
比實際閉合差0.026m AB
BC
-10.920
-260.967
高很多，在95％之信 CD
-286.455
-188.844
-220.623
233.749
心水準下，沒理由相 DE
EA
80.380
216.069
信導線存有大誤差。 Σ =
-0.025
0.007
LC= [(-0.025) +(0.007) ]
0.026
(自由度=11-8？)
2
2
1/2
7.5 連結(附合)導線閉合差之計算與分析
圖7.3所示為兩端各附合於已知點之附合導線，類此通
常為求解如圖中之A、B、C、D等點之位置，另求解角
度與線性閉合差，以評估觀測值之接受與否。如例7.3
所述。
例7.3 計算圖7.3所示導線之角度與線性閉合差，導線觀
測數據如表7.4所列，距離單位為m，在95％之信心水
準下，預估閉合差為若干？評估是否有任何可能之大
錯存在？
解：
角度閉合差：計算附合導線之角度閉合差時，先求各
邊方位角之初值，再將最後邊所得減去其已知值；根
據(7.5)與(7.6)式，求得各邊方位角初值及其估計誤差
計算如表7.5所列。由表可見：最後邊計算值與其已知
值之差為+9(=84º19´22-(264º19´13-180º))，而利用
(5.18)式，得其預估誤差為(11.02+4.12)1/2=±11.7，實際
值小於未乘以t之預估值，沒理由假設角度存有大錯。
表7.4 例7.3之導線資料
距離觀測
自： 至：
1
A
A
B
B
C
C
D
D
2
距離(m)
325.880
284.458
249.930
372.871
388.077
S(m)
0.006
0.006
0.006
0.006
0.006
控制點
測站
X(m)
Y(m)
1
380.390 1212.799
2 1485.290 1120.750
角度觀測
後視 測站 前視 角度(° ' ") S(")
1
A
B
66 16 35 4.9
A
B
C 205 16 46 5.5
B
C
D 123 40 19 5.1
C
D
2 212 0 55 4.6
方位角觀測
自： 至： 方位角(° ' ") S(")
1
A
197 4 47 4.3
2
D
264 19 13 4.1
線性閉合差計算：在計算導線線性閉合差時，根據已
知點數據，1、2兩點之縱橫距差應各為：-92.050m與
1104.900m，而由表7.6得知：1、2兩點實際之縱橫距差
各為：-92.089m與1104.890m，故根據觀測求得之縱橫
距閉合差分別為：-0.039m與-0.010m，線性閉合差為此
兩者平方之平方根=0.040m。
導線預估線性閉合差：下列計算類似前述閉合導線，
先求縱橫距之A、Σ係數矩陣，次求縱橫距誤差之協變
方矩陣，再求線性閉合差誤差之協變方矩陣，如下諸
式所示。
表7.5 方位角初值與其誤差
邊
1A
AB
BC
CD
D2
σ"
方位角
197
4
47
83
108
52
84
22 6.5
8 8.5
27 9.9
22 11.0
21
38
18
19
4.3
表7.6 縱橫距計算值
邊
1A
AB
BC
CD
D2
Σ=
縱距(m) 橫距(m)
-311.508 -95.712
32.911 282.547
-79.864 236.826
227.982 295.054
38.390 386.174
-92.089 1104.890
閉合差 LC Dep 2 Lat 2
0
cos( Az1 A ) - D1A sin( Az1 A ) 0
sin( Az ) D cos( Az ) 0
0
1A
1A
1A
0
0 cos( AzAB ) - DAB sin( AzAB )
A
0
0 sin( AzAB ) DAB cos( AzAB )
0
0
0
0
0
0
0
0
( 7 .18 )
0
0
0
0
0
0
cos( AzD2 ) - DD2 sin( AzD2 )
sin( AzD2 ) DD2 cos( AzD2 )
0
D2 1A 0
0
0
2
Az1 A 2
) 0
0
0 (
0
0
D2 AB 0
2
Az
AB
0
0
0 (
)2 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
D2
D2
0 (
0
Az
D2
)2
(7.19)
(7.20)
將數值代入(7.19)與(7.20)式，並應用(5.15)式，得縱橫
距誤差之協變方矩陣，如下式所示。
0.000041
-0.000001
0.000000
0.000000
Σ Lat,Dep = 0.000000
T
-0.000001
0.000046
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000080
-0.000005
0.000000
0.000000
0.000000
-0.000005
0.000038
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000100
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000021
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
AΣA =
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000021
0.000044
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
2
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000217
-0.000136
0.000000
0.000000
-0.000136
0.000146
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000421
-0.000038
0.000000
0.000000
-0.000038
0.000041
unit=m
為求導線線性閉合差之預估誤差，應將(5.15)式應用至
(7.18)式，類似閉合導線， A係數矩陣內各項與邊不相
關，故A係數矩陣為：
Lat Dep Lat Dep Lat Dep
A
LC
LC
LC
LC
LC
LC
( 7 .21)
同理，附合導線閉合差之預估誤差如下：
LC=ALat,DepAT=[0.000749]。
由上述結果，LC為僅有單一元素之矩陣。接著計算E95，
查表D.3，得α=0.05, 自由度=3(=11-8？)之t0.025,3=3.183；
在95％之信心水準下，預估線性閉合差
=±3.183×0.000749½m=±0.087m，比實際閉合差0.040m
高很多，在95％之信心水準下，沒理由相信導線存有
大誤差。
利用傳統方式，譬如羅盤儀法則平差計算附合導線時，
常假設控制無誤差；實際上，控制坐標也是由觀測值
所推導的，自然包含誤差，對應用(7.21)式時，也假設
控制點坐標沒誤差，嚴謹計算時，應修正相關計算式。
最小自乘法平差的主要優點即因平差計算時可包含控
制，詳如第十八章所述。
7.6 結論
本章透過導線計算討論觀測誤差之傳播；對測量員而
言，誤差傳播是很有用的工具，可用之回答下列問題：
哪些是可接受之導線閉合差？測量工程的一個例子：
測量員常設計觀測系統，並利用自己或法定標準來檢
核測量成果。之後各章仍會繼續討論誤差傳播相關主
題與測量之偵錯。
問題
第7.2、7.7、7.9、7.11題，各題中單位更改為公制。檔
名：Adjlab7_姓名.doc，請標明原題號。