Transcript 導線測量的誤差傳播
導線測量的誤差傳播
導線測量中各種誤差估值的推導
導線測量閉合差之計算與分析
前言
在測量計畫中可能會有不同等級的精度規範，但卻不
允許有錯誤觀測量存在。
若有錯誤觀測量，要如何處理？
本章將考慮這個問題，特別著重在導線測量的分析。
此概念在第19章會有較詳細的討論
第5章已討論函數中各觀測量的誤差傳播，即函數的誤
差估值與各觀測量有關
一般平面控制測量(如導線測量)的觀測量，是獨立不相
關的
如距離觀測與方位角觀測是獨立不相關的
但根據距離與方位角所計算而得的縱、橫距坐標，卻是相關
而非獨立的
前言
圖7.1顯示距離與方位角誤差對縱橫距坐標計算之影響
若據以計算縱橫距坐標的觀測量獨立不相關，則可利
用式(5.15)來計算它們的誤差估值；若觀測量為相關，
則必須利用式(5.12)
Σ zz AΣ xx A T
其差別在觀測量的協
變方矩陣的元素，若
觀測量獨立不相關，
則協變方為對角矩陣，
否則為全矩陣。
縱橫距誤差估值的推導
縱橫距的計算公式如下
Lat = D cos(Az)
Dep= D sin(Az)
由誤差傳播定律知，應先對此公式取偏微分，再利用
式(5.15)計算即可求得縱橫距誤差估值
Lat
cos( Az )
D
Dep
sin( Az )
D
Lat
-Dsin(Az)
Az
Dep
Dcos(Az)
Az
( 7.2 )
縱橫距誤差估值的推導
例7.1 假設導線邊長139.2540.006m，方位角為
23°35´26 9，縱橫距與其誤差估值各若干？
由式(5.15)得
Lat ,Dep
Lat ,Dep
Lat
D
Dep
D
Lat
Lat Dep
2
2
Az D 0 D D Lat Lat,Dep
2
2
Dep 0 Az
Lat
Dep
Lat,Dep Dep
Az Az
Az
2
cos(Az)
sin(Az)
cos(Az)- Dsin(Az) 0.006 0
2
sin(Az)
Dcos(Az)
0
(
9
/
)
- Dsin(Az) Dcos(Az)
(7.3)
縱橫距誤差估值的推導
Lat ,Dep
0.9164 - 55.7292 0.000036 0
0.9164 0.4002
1.9039e- 9 - 55.7292 127.6164
0.4002 127.6164 0
0.000036147 0.000000337
0
.
000000337
0
.
000036772
(7.4)
(7.4)式中，211為縱距之變方，222為橫距之變方， 12
與21為縱距與橫距之協變方，故縱距之標準偏差：
Lat= (211)½ =±0.006m，橫距之標準偏差：Dep=
(222)½ =±0.006m
由(7.4)式可見：協變方矩陣之非對角線上元素非為0，
故縱橫距之計算值為互相相關，如圖7.1所示
邉方位角標準誤差估值的推導
(7.1)式係由邊方位角來計算縱橫距，實際上，
邊方位角常由觀測角度計算而得，而非由直接
觀測。由角度值計算而得的方位角存在另一層
次的誤差傳播
目前推算邊
的方位角
前一邊的方
位角
若導線觀測其內角，且以逆時針方向推算各邉方位
角，則其計算公式為
觀測內角
Azc=Azp+180º+i
由誤差傳播定律得
觀測內角的誤差
2
Az Az
2
c
p
i
(7.6)
閉合導線閉合差之計算與分析
閉合導線的存在下列幾何約制條件
閉合差的統計分析可決定閉合差是否合理，或
是否有錯誤存在
內角=(n-2)×180º
Lats =縱距和= 0
Deps=橫距和= 0
不滿足這些條件就稱為閉合差(misclosures)
錯誤的觀測量必須去除，重新觀測
利用下列例子說明閉合差的計算
閉合導線閉合差之計算與分析
表7.1 圖7.2中距離與角度觀測值
測站
覘標
A
B
C
D
E
B
C
D
E
A
距離(ft)
1435.67
856.94
1125.66
1054.54
756.35
S(ft)
0.020
0.020
0.020
0.020
0.020
後視
測站
前視
E
A
B
C
D
A
B
C
D
E
B
C
D
E
A
角度
S
1102440
873614
1254727
995702
1161456
3.5
3.1
3.6
3.1
3.9
例7.2 計算圖7.2所示導線之角度與線性閉合差
(位置閉合差)，導線觀測資料如表7.1所列，距
離單位為ft，在95％之信心水準下，閉合差估
值為若干？是否有任何可能之大錯存在？
閉合導線閉合差之計算與分析
解：
角度檢核：利用誤差傳播定率計算導線閉合差是否
在容許誤差規範內
角度和誤差須位於下列公式所計算值之68.3％內
2 1 2 2 2 n
因角度重複觀測4次，每個觀測平均值的自由度為3；其95%信心水準相
應的t0.025,3值為3.183(查D.3表)，故其相應的估值為
3.183 3.52 3.12 3.6 2 3.12 3.9 2 24.6
根據表7.1知，實際的角度閉合差為19 ±24.6，故在95％之信
心水準下，沒理由相信存有角度大誤差
閉合導線閉合差之計算與分析
方位角計算：本題並無任何已知方位角，為解決這
個問題，可假設第一邊之方位角為000，且無誤
差，可以這麼假設，因為問題僅在檢核導線之幾何
閉合條件，而非檢核導線的方位，即使觀測了第一
個邊方位角，也是如此
表7.2 圖7.2之計算方位角與其估計誤差
由
A
B
C
D
E
至
B
C
D
E
A
方 位 角
0
0
0
267 36 14
213 23 41
133 20 43
69 35 39
估 計 誤 差
0"
±3.1"
(3.1 2 +3.6 2 ) 1/2 =±4.8"
2
2 1/2
(4.8 +3.1 ) =±5.7"
(5.7 2 +3.9 2 ) 1/2 =±6.9"
閉合導線閉合差之計算與分析
線性閉合差計算：由於縱橫距坐標具有相關性，在
計算時應採一般誤差傳播定律式(5.12)
A矩陣稱為
Jacobian
matrix
因縱橫距坐標之計算式是非線性函數，應先與以線性化(即
取一階導數)，其結果為
0
cos(Az AB ) - D AB sin( Az AB ) 0
sin( Az ) D cos(Az ) 0
0
AB
AB
AB
0
0 cos(AzBC ) - D BC sin( AzBC )
A
0
0 sin ( AzBC ) D BC cos(AzBC )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
cos(AzEA ) - D EA sin( AzEA )
sin ( AzEA ) D EA cos( AzEA )
0
0
(7.10)
閉合導線閉合差之計算與分析
因距離與角度觀測為獨立不相關，故其協變方矩陣中非對
角元素均為0
由誤差傳播定律知， 縱橫距坐標的協變方矩陣為
lat,dep=AAT
D2 AB 0
0
0
2
Az AB 2
) 0
0
0 (
0
0
D2 BC 0
2
Az
AB
0
0
0 (
)2 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
D2 EA 0
AzEA 2
0 (
)
0
0
(7.11)
閉合導線閉合差之計算與分析
lat ,Dep
0.00040
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.00017 0.00002
0
0
0
0
0
0
0 0.00002 0.00040
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.00049 0.00050
0
0
0
0
0
0
0
0.00050 0.00060
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.00064 0.00062
0
0
0
0
0
0
0
0.00062 0.00061
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.00061 0.00034
0
0
0
0
0
0
0
0.00034 0.00043
0
0
0
0
0
0
0
0
0
各對角線元素的平方根，即可得每一邊縱橫距之誤差估值，如BC邊之縱距
誤差估值為協方差矩陣中第(3,3)元素0.00017之平方根， BC邊之橫距誤差估
值為第(4,4)元素0.00040之平方根
其餘各邊縱橫距的誤差估值可同理類推
閉合導線閉合差之計算與分析
閉合導線之線性閉合差(即為位置閉合差)如下
LC=[(LatAB+LatBC++LatEA)2+(DepAB+DepBC++DepEA)2] ½
為了求得該誤差估值，同樣必須利用誤差傳播定律，因位
置誤差公式為非線性，故需線性化，如對AB的一階偏導數
為
LC
Lats
；
LatAB
LC
LC
Deps
DepAB
LC
(7.14)
由上式可發現，這些偏導數均與邊無關，且其他邊之偏導數都
相同。故一般誤差傳播定律的係數矩陣為
Lats Deps
Lats Deps Lats Deps
A
LC
LC
LC
LC
LC
LC
(7.15)
閉合導線閉合差之計算與分析
表7.3 例7.2的縱橫距
LC
縱橫距計算如表7.3所示，由表可見：縱距和
為-0.082ft，橫距和為0.022ft，線性閉合差為
0.085ft。
將這些值代入誤差傳播定律公式中即可求得位
置閉合差的誤差估值
0.9647 0.2588 0.9647 0.2588 0.9647 0.2588 Lat , Dep
0.9647
0.2588
0.9647
0.2588
0.9647
0.00229
0
.
2588
0.9647
0.2588
0.9647
0.2588
2
LC t 0.025,3 LC
3.183 0.00229 0.15 ft
邊
縱距(ft)
AB
BC
CD
DE
EA
1435.67
-35.827
-939.811
-723.829
263.715
=-0.082
橫距(ft)
0
-856.191
-619.567
766.894
708.886
=0.022
LC=(-0.082)2+(0.022)2=0.085ft
因導線的位置閉合差為
0.085ft，而其容許誤差為
0.15ft，故在95%信心水
準下，導線並無錯誤觀測
量存在。
附合導線閉合差之計算與分析
圖7.3所示為兩端各附合於已知點之附合導線，類此通
常為求解如圖中之A、B、C、D等點之位置，另求解角
度與線性閉合差，以評估觀測值之接受與否。
例7.3 計算圖7.3所示導線之角度與線性(位置)閉合差，
導線觀測數據如表7.4所列，距離單位為m，在95％之
信心水準下，預估閉合差為若干？評估是否有任何可
能之大錯存在？
附合導線閉合差之計算與分析
解
角度閉合差：附合導線角度閉合差之計算，是先按照方位角推算公
式計算各邊之方位角，最後邊的方位角再與已知方位角相減，其結
果如表7.4所示。
由表發現，最後邊計算值與其已知值之差為+9(=84º19´22-(264º19´13180º))，而利用誤差傳播定律，得其預估誤差為(11.02+4.12)1/2=±11.7，
實際值小於未乘以t之預估值，沒理由假設角度存有大錯
表7.4 例7.3之導線資料
距離觀測
自： 至：
1
A
A
B
B
C
C
D
D
2
距離(m)
325.880
284.458
249.930
372.871
388.077
S(m)
0.006
0.006
0.006
0.006
0.006
控制點
測站
X(m)
Y(m)
1
380.390 1212.799
2 1485.290 1120.750
角度觀測
後視 測站 前視 角度(° ' ") S(")
1
A
B
66 16 35 4.9
A
B
C 205 16 46 5.5
B
C
D 123 40 19 5.1
C
D
2 212 0 55 4.6
方位角觀測
自： 至： 方位角(° ' ") S(")
1
A
197 4 47 4.3
2
D
264 19 13 4.1
附合導線閉合差之計算與分析
位置閉合差：先按照縱橫距公式推算各邊導線點的縱橫距，
接著計算縱橫距的總和，並與已知控制點的縱橫距相減即可
求得(或推算各導線點坐標，最後推算的控制點坐標與已知坐
標相減)。
已知控制點1、2兩點之縱橫距差各為：-92.050m與1104.900m，
而由表7.6得知：1、2兩點實際之縱橫距差各為：-92.089m與
1104.890m，故根據觀測求得之縱橫距閉合差分別為：-0.039m與0.010m，位置閉合差為此兩者平方和之平方根=0.040m
表7.5 方位角初值與其誤差
邊
1A
AB
BC
CD
D2
σ"
方位角
197
4
47
83
108
52
84
22 6.5
8 8.5
27 9.9
22 11.0
21
38
18
19
4.3
表7.6 縱橫距計算值
邊
1A
AB
BC
CD
D2
Σ=
縱距(m) 橫距(m)
-311.508 -95.712
32.911 282.547
-79.864 236.826
227.982 295.054
38.390 386.174
-92.089 1104.890
附合導線閉合差之計算與分析
導線的預估閉合差：其計算類似前述閉合導
線，先求縱橫距之A係數矩陣、Σ觀測值協
方差矩陣，再求縱橫距誤差之協方差矩陣，
最後求位置閉合差誤差之協方差矩陣
閉合差 LC Dep 2 Lat 2
0
cos(Az1 A ) - D1A sin( Az1 A ) 0
sin( Az ) D cos(Az ) 0
0
1A
1A
1A
0
0 cos(Az AB ) - D AB sin( Az AB )
A
0
0 sin ( Az AB ) D AB cos(Az AB )
0
0
0
0
0
0
0
0
D2 1A 0
0
0
2
Az1 A 2
) 0
0
0 (
0
0
D2 AB 0
2
Az
Σ 0
0
0 ( AB ) 2 0
0
0
0
0
0
0
0
0
( 7.18 )
0
0
0
0
0
0
cos(AzD2 ) - D D2 sin( AzD2 )
sin ( AzD2 ) D D2 cos( AzD2 )
0
0
0
0
0
0
0
2
DD 2 0
AzD 2 2
0 (
)
0
0
0
(7.20)
(7.19)
將相應的數值代入式(7.19)與(7.20)，再由誤差傳播定律
可得縱橫距的協方差矩陣
0.000041
-0.000001
0.000000
0.000000
Σ Lat,Dep = 0.000000
T
-0.000001
0.000046
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000080
-0.000005
0.000000
0.000000
0.000000
-0.000005
0.000038
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000100
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000021
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
AΣA =
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000021
0.000044
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
2
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000217
-0.000136
0.000000
0.000000
-0.000136
0.000146
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000421
-0.000038
0.000000
0.000000
-0.000038
0.000041
unit=m
為了求導線閉合差的誤差估值，由閉合差公式知，應先求
Jacobian matrix A，再利用誤差傳播定率計算之
Lat Dep Lat Dep Lat Dep
A
LC
LC
LC
LC
LC
LC
LC=ALat,DepAT=[0.000749]
( 7.21)
附合導線閉合差之計算與分析
同例7.2，查表D.3，得α=0.05, 自由度=3之
t0.025,3=3.183；在95％之信心水準下，位置閉合差的
誤差估值為±3.183 × 0.000749½m = ±0.087m，比實際
閉合差0.040m高很多，因此，在95％之信心水準下，
沒理由相信導線存有錯誤
利用傳統方式，如羅盤儀法則平差計算附合導
線時，常假設控制無誤差；實際上，控制坐標
也是由觀測值所推算的，自然包含誤差，對應
用式(7.21) 時，也假設控制點坐標沒誤差，嚴
謹計算時，應修正相關計算式。
最小自乘法平差的主要優點即因平差計算時可
包含控制，詳如第十八章所述
結論
本旨在討論導線測量計算觀測量的誤差
傳播。
誤差傳播定律為一非常有用的工具，它
可回答：
可接受的導線閉合差為何？
作業
7.8、7.11