Transcript Desigualdad y bienestar. Dominancia

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
Desigualdad y Bienestar
Rafael Salas
Mayo de 2011
Referencia básica
 Peter Lambert (2001), The distribution and redistribution
of Income, 3rd. Edition, Manchester University Press.
 Secciones 3.2
• Referencias adicionales:
•
•
•
•
Atkinson, A. (1970) JPE
Shorrocks (1983) ECO
Kakwani, N.C. (1984)
Bishop et al. (1991) EER
•
Jenkins, S. (1991) FS
2
Introducción
 Comparación de dos distribuciones F y G
 Dos tartas:
 Tamaño: μF media de F y μG media de G
 Reparto: LF y LG
 Bienestar: cuentan las dos cosas tamaño=media;
reparto=desigualdad
 Si nos aislamos del tamaño, de la media, parece que la curva de
Lorenz es la herramienta adecuada. Tenemos varios
argumentos…
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1er argumento
 Si la curva de Lorenz de una distribución A va por encima de
la de una distribución B (AB):
LA ( p)  LB ( p), p [0,1]
 Para todo conjunto de individuos más pobres p, en A reciben
más proporción de renta total que en B (hay inequívocamente
menos desigualdad) y para todo conjunto 1-p de individuos
más ricos, en A reciben menos proporción de renta que en B
(inequívocamente menos desigualdad).
 Esta unanimidad no ocurre cuando se cortan las curvas de
Lorenz.
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1er argumento
Implicaciones:
 El criterio de Lorenz no crea un orden completo, sino uno parcial
 Hay índices de desigualdad que son coherentes con el criterio de
Lorenz, como el índice de Gini:

LA ( p)  LB ( p) p [0,1]
LA ( p)  LB ( p)
a lg ún p
 GA  GB
 Nota: la implicación no se satisface al revés
 Para el índice de Schutz, no es del todo consistente pues:
LA ( p)  LB ( p) p [0,1]
LA ( p)  LB ( p)
a lg ún p
 S A  SB
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Segundo argumento
 Si se produce una transferencia progresiva, entonces:
LA ( p)  LB ( p) p  [0,1]
LA ( p)  LB ( p)
 Si
a lg ún p
LA ( p)  LB ( p) p  [0,1]
LA ( p)  LB ( p)
a lg ún p
Entonces A puede obtenerse de B a partir de un conjunto de
transferencias progresivas.
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Tercer argumento
 Comparación en términos de bienestar
 Teorema de Kolm-Atkinson
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Bienestar
 Funciones de Bienestar Social. Utilidad esperada:
 W:R+R como:

W   u ( x) f ( x)dx
0
W:RN+R como:
1
W
N

N
i 1
u ( xi )
donde u(x) es creciente y estrictamente cóncava
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Antecedentes
 Teorema de Imposibilidad de Arrow (1950, 1951)
 Bajo cuatro axiomas independientes, aparentemente “inocuos”,
no es posible combinar o agregar órdenes de preferencias
individuales Pi en uno social P.
 Interpretación Sen 1970:
Suponemos que Pi es reflexiva, completa, transitiva, monótona
Suponemos que P es universal, cumple IAI y anónima
Entonces no es posible que P tenga en cuenta juicios distributivos
La razón estriba en que se puede demostrar que todos los puntos Pareto
eficientes son no comparables desde el punto de vista social
 Ejemplo, reparto de una tarta de tamaño 100




9
Antecedentes (2)
 El problema es que los aspectos distributivos quedan al
margen de este análisis:
 No se permiten las comparaciones interpersonales de utilidad
 Necesitamos un marco dónde se hagan explícitas
 Funciones de Bienestar Social, con algunos axiomas:
 No basta solo con utilitarismo, sino tenemos que hacer explícito el
igualitarismo (Sen 1973)
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Funciones de Bienestar Social
 Marco de bienestar social: creación de Funciones de
Evaluación Social, con axiomas explícitos:




Individualismo
Anónimidad
Aditividad
Cóncavidad
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Funciones de Bienestar Social
 1. Individualismo
W  W [U1 ( x1 ),U 2 ( x2 ),...U n ( xn )]
 Ui denota preferencias individuales
 xi denota la renta del individuo i
 2. Anonimidad
 Simetría de W en xi
 Implica:
U1 ( x) U 2 ( x)  ...  U n ( x)  U ( x)
y simetría de W en U
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Funciones de Bienestar Social
 3. Aditividad separable
 4. Estricta concavidad
 U ’’(·) < 0
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Bienestar
 Se trata de comparar F y G:

WF   u( x) f ( x)dx
0

WG   u( x) g ( x)dx
0
donde u(x) es creciente y estrictamente cóncava. Definimos la clase
de todas las funciones de arriba como W
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Teorema de Atkinson
 Atkinson (1970), Kolm (1965)
 Se trata de comparar F y G a través de las curvas de
Lorenz:
 Si μF = μG. Entonces:
LF (p)  LG (p) p  WF  WG
W  W
 Demostración
 Importancia
 Generalizable: a FBS S-cóncavas W1, a FBS de la familia de
Yaari W2
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Bienestar
 Funciones de Bienestar Social. Dependientes del rango, Yaari
1987, 1988:
 W:R+R como: :
1
W   w( p) F 1 ( p)dp
0
W:RN+R como:
N
W   w(i / N ) xi
i 1
donde w(p) es no negativo, no creciente y suman la unidad.
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Teorema de Atkinson: implicación
 Corolario 1:
Si μF > μG
y
WF  WG
LF (p)  LG (p) p
Entonces:
W  W
 Kakwani (1980), ejemplos:
 Si μUK > μTUN y LUK (p)  LTUN (p) p
Kakwani (1984), comparó 23 países (248 casos posibles), de los
cuales 116 se resolvían con este corolario
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Teorema de Shorrocks
 Shorrocks (1983), Kolm (1965)
 Se trata de comparar F y G a través de las curvas generalizadas
de Lorenz:
GL F (p)  GL G (p) p  WF  WG
W  W
 Demostración: a través de la dominancia estocástica de segundo
grado
 Importancia: refinamiento del teorema de Atkinson
 Relevancia:
Shorrocks (1983) 20países, 190 comparaciones posibles 156 (82,1%)
Kakwani (1984) 23 países, 248 comparaciones posibles 208 casos (83,9%)
Bishop et al. (1991) 26 países, 325 comparaciones posibles 269 (82,8%)
Jenkins (1991)
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Teorema de Shorrocks (2)
 Kakwani (1984) 248 comparaciones posibles:
Caso 1: 116 casos Cololario 1
Caso 2: 46 casos μF > μG y LF (p)  LG (p) p , pero GL F (p)  GL G (p) p
Caso 3: 46 casos LF (p) y LG (p) se cortan, pero GL F (p)  GL G (p) p
Caso 2 por ejemplo Filipinas e India
Caso 3 por ejemplo Filipinas y Malawi
Caso 4: 40 casos en que las curvas de Lorenz generalizadas se cortan
 Ejemplo Australia y Canadá
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Teorema de Shorrocks (3)
 Bishop et al. (1991) 325 comparaciones posibles
 269 (82,8%) dominancia de Lorenz generalizada
 245 (75,4%) dominancia estocástica de primer orden (o del rango):
F -1(p)  G -1(p) p  WF  WG W  W0
Donde W0 es la clase de

WF   u( x) f ( x)dx
0
donde u(x) es creciente. Saposnik (1980, 83).
Se trata básicamente del principio de Pareto aplicado a los rangos.
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Bienestar más restrictivo
 Funciones de Bienestar Social. Utilidad esperada:
 W:R+R como:

W   u ( x) f ( x)dx
0
W:RN+R como:
1
W
N

N
i 1
u ( xi )
donde u(x) es creciente u’>0, estrictamente cóncava u’’<0 y tercera
derivada positiva, u’’’>0. Llamamos a esta clase W3 .
Es coherente con el principio de transferencias decrecientes (Kolm
1976): una transferencia progresiva de 1 euro entre 200 y 100
aumenta más la utilidad que entre 1000 y 900.
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Teorema de Shorrocks-Foster
 Foster-Shorrocks (1987)
 Se trata de comparar F y G a través de las curvas
generalizadas de Lorenz que se cortan una vez, si GLF
corta a GLG una vez por arriba:
   y  2   2  WF  WG W  W3
F
G
F
G
 Demostración: a través de la dominancia estocástica de
tercer grado
 Importancia: refinamiento del teorema de Shorrocks
 Limitación: mismas rentas
 Davies y Hoy (1995) lo generalizan a un más cortes
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Hogares heterogéneos
Hasta aquí todo lo relativo a hogares homogéneos (mismo
tamaño). Se trata de comparar F y G a través de las curvas
generalizadas de Lorenz, cuando son heterogéneos:
 (1) Aplicamos la escala de equivalencia E a las rentas
monetarias totales de cada hogar, por ejemplo:
•
Escala Coulter et al. (1992) E=Nθ, θ[0,1]
Ej: θ=0,5
De tal forma que X queda transformado en Xe=X/E para cada hogar
(2) Damos un peso poblacional a cada hogar. Típicamente es
el número de individuos en el hogar E=N.
Alternativamente podríamos pensar en dar un peso igual al número
de adultos equivalentes E=Nθ, Ebert 1997 (se garantizaría que una
transferencia de un hogar menos necesitado a uno más necesitado
aumenta el bienestar)
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Hogares heterogéneos
Aplicamos la metodología Atkinson-Shorrocks
Transformamos F y G en F’ y G’ como ya indicado en (1) y (2)
GL F' (p)  GL G' (p) p  WF '  WG '
1
W 
 Ei
 xi 
Ei u  

i 1
 Ei 
n
u´ 0 u´´ 0
Ebert (1997)
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Hogares heterogéneos
Metodología Atkinson-Bourguignon 1987
Definimos grupos de necesidad homogénea i=1,2,…,n y la
función de bienestar:
1
W
 Ni
n
 ui x
ui'  ui' 1  0
i 1
u 'i  0 ui''  0,
y decreciente en x.
A esta clase de funciones de utilidad le llamamos WAB y es
coherente con el principio de transferencias dentro de cada
grupo y entre grupos de mayor necesidad a menor necesidad.
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Hogares heterogéneos
Dominancia secuencial Atkinson-Bourguignon 1987
i
GL
(p)

GL
i1
i1 G (p) p j , y sub - populationj
j
i
F
j

WF  WG W  WAB
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