Transcript Fundamentos - Rafael Salas

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
Introducción
Rafael Salas
Abril de 2011
Referencia básica
 Peter Lambert (2001), The distribution and redistribution
of Income, 3rd. Edition, Manchester University Press.
 Nociones de bienestar (medidas de bienestar) y políticas
sociales.
2
Objetivos
 Desigualdad, bienestar, pobreza, progresividad,
redistribución
 No solo importa la renta media, crecimiento medio
 Comparar dos distribuciones:
 2 países
 1 país en dos periodos
 1 país antes y después de impuestos o gasto público
3
Índice
 Introducción
 Medición de la desigualdad: metodología
 Enfoque ordinal (parcial)
 Índices de desigualdad
 Enfoque cardinal (completo)
 Bienestar: enfoque parcial/completo
 Pobreza: enfoque parcial/completo
 Desigualdad de oportunidades
4
Introducción
 Bases de datos
Individual: Ej. Panel de hogares de la UE, Encuesta
Presupuestos Familiares
Agrupada: Tabulada por intervalos
5
Introducción
 Unidad de análisis:
• hogar, individuo, unidad fiscal
• Definición nivel de vida:
• renta, gasto, riqueza
• Escalas de equivalencias:
•
•
•
•
Escala OCDE: E=1+0.7(A-1)+0.5N
Escala Coulter et al. (1992) E=nθ, θ[0,1]
Ej: θ=0,5
θ
Escala Cutler (1992) E=(A+cN) , c, θ[0,1]
Deaton, Zaidi (2002) E=(A+c1N1+c2N2)θ c1,c2 θ[0,1] Ej: c1=0,5;c2=0,75 θ=0,9
N=número de niños
A=número de adultos
n= número total
N1, menores de 6 años, N2, entre 6 y 14 años
6
Introducción
 Representación de la distribución:
• F. densidad
• F. de distribución
• Distribuciones discretas y contínuas
7
Introducción
 Se supone que la distribución de la renta en una población es
una variable aleatoria, que se puede representar primariamente
por una:
• F. densidad
• F. de distribución
• Distribuciones discretas y contínuas. En trabajo empírico,
discretas y en trabajo teórico, contínuas.
8
Introducción
 Distribuciones discretas, con N hogares (o individuos) y
ordenados:
0  x1 x2  ···  xN
 Frecuencias o densidad relativa:
NJ/N hogares en el intervalo J, [x, x+x]
9
F. densidad
0,16
0,14
0,12
0,1
sin EE
0,08
EE 0.5
0,06
0,04
0,02
0
500000
2500000
4500000
6500000
8500000
10500000
10
F. densidad y distribución:
intervalos de renta; hogares acumulados, hogares; porcentaje de hogares
500000
24
24
0,012
1000000
238
214
0,107
1500000
489
251
0,1255
2000000
734
245
0,1225
2500000
972
238
0,119
3000000
1164
192
0,096
3500000
1315
151
0,0755
4000000
1467
152
0,076
4500000
1582
115
0,0575
5000000
1656
74
0,037
5500000
1731
75
0,0375
6000000
1793
62
0,031
6500000
1835
42
0,021
7000000
1862
27
0,0135
7500000
1893
31
0,0155
8000000
1918
25
0,0125
8500000
1939
21
0,0105
9000000
1950
11
0,0055
9500000
1961
11
0,0055
10000000
1970
9
0,0045
10500000
1977
7
11
0,0035
F. densidad y distribución θ=0.5:
intervalos de renta; hogares acumulados, hogares; porcentaje de hogares
500000
23
23
0,0115
1000000
75
52
0,026
1500000
378
303
0,1515
2000000
682
304
0,152
2500000
962
280
0,14
3000000
1195
233
0,1165
3500000
1388
193
0,0965
4000000
1537
149
0,0745
4500000
1656
119
0,0595
5000000
1734
78
0,039
5500000
1803
69
0,0345
6000000
1845
42
0,021
6500000
1884
39
0,0195
7000000
1917
33
0,0165
7500000
1934
17
0,0085
8000000
1949
15
0,0075
8500000
1962
13
0,0065
9000000
1968
6
0,003
9500000
1976
8
0,004
10000000
1979
3
0,0015
10500000
1981
2
12
0,001
F. densidad
 Distribuciones contínuas, para N muy grande:
 Función de densidad relativa:
A lo que converge NJ/N hogares en el intervalo [x, x+x] cuando x
tiende a cero. Se denomina f(x)dx y expresa la frecuencia o la
probabilidad de que un hogar obtenga rentas en el entorno de x:
[x, x+dx].
Nf(x)dx expresa el total de hogares con renta x
Nxf(x)dx expresa el total de renta de los hogares con renta x
13
F. densidad
 Función de densidad relativa:
Si hacemos la integral de esas expresiones de 0 a infinito: calculamos
esos valores para toda la población. Si hacemos la integral entre a y b,
calculamos los valores respectivos para la población entre a y b.

b
a
f ( x)dx
b
N  f ( x)dx
a
b
N  xf ( x)dx
a
Expresan la proporción de hogares, el total de hogares y el total de
renta entre a y b, respectivamente
14
F. densidad
 Expresiones continuas:


f ( x)dx  1
0

N  f ( x)dx  N
0

N  xf ( x)dx  renta total
0


0
xf ( x)dx  
15
F. densidad
 Expresiones continuas:

N


N  f ( x)dx  N
0

N  xf ( x)dx  renta total
0

0
 f (x )  1
f ( x)dx  1
0

Discretas:
xf ( x)dx  
i
i 1
N
N  f ( xi )  N
i 1
N
x
i 1
i
1
N
 renta total
N
x
i 1
i

16
F. densidad
 Expresión útil de la densidad relativa:
b
N  xf ( x)dx
a
renta total de esa poblaciónentre a y b
17
F. distribución
 Función de distribución: es el acumulado de la función de
densidad
x
F ( x)   f (t )dt
0
j
F ( x j )   f ( xi )
i 1
indica la proporción de hogares con renta inferior o igual a x.
f ( x) 
F ( x )
x
18
F. distribución
1
0,9
0,8
0,7
0,6
sin EE
0,5
EE 0.5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
500000
2500000
4500000
6500000
8500000
10500000
19
Expresiones
1
F ( m) 
2
Mediana m:
m
( N 1) / 2
x
i 1
i
Moda mo:
f ' (mo)  0
Varianza:

   ( x   ) f ( x)dx
2
0
2
1 N
   ( xi   ) 2
N i 1
2
20
F. cuantílica
 Función cuantílica: es la inversa de la función de distribución
1
F ( p)  infx : F ( x)  p 0  p  1
Donde p es el cuantil p correspondiente.
Gráficamente es la parada (desfile) de los enanos, Pen (1974).
21
Parada de los enanos
$70,000
$60,000
1974
$40,000
2004
income
$50,000
$30,000
$20,000
$10,000
$0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
proportion of ordered population
1
22
Bienestar
 Funciones de Bienestar Social. Utilidad esperada:
 W:R+R como:

W   u ( x) f ( x)dx
0
donde u(x) es creciente y estrictamente cóncava
23
Bienestar
 Funciones de Bienestar Social. Utilidad esperada:
 W:R+R como:

W   u ( x) f ( x)dx
0
W:RN+R como:
1
W
N

N
i 1
u ( xi )
donde u(x) es creciente y estrictamente cóncava
24
Bienestar
 Funciones de Bienestar Social. Dependientes del rango, Yaari
1987, 1988:
 W:R+R como: :
1
W   w( p) F 1 ( p)dp
0
donde w(p) es no negativo, no creciente y suman la unidad.
25
Bienestar
 Funciones de Bienestar Social. Dependientes del rango, Yaari
1987, 1988:
 W:R+R como: :
1
W   w( p) F 1 ( p)dp
0
W:RN+R como:
N
W   w(i / N ) xi
i 1
donde w(p) es no negativo, no creciente y suman la unidad.
26
C. Lorenz
 Curva de Lorenz. Partimos de la versión discreta p= j/N:
i1 xi
j
L( j / N ) 

N
x
i 1 i


j
x
i 1 i
N
• El porcentaje del renta total que gana el cuantil p= j/N más pobre.
27
Curva de Lorenz
Veámoslo con el ejemplo
Persona j
xj
j
F (x j ) 
N

j
i 1
xi

L( j / N ) 

j
i 1 i
N
x
x
i 1 i
1
5
0.25
5
0.05
2
15
0.50
20
0.20
3
35
0.75
55
0.55
4
45
1.00
100
1.00
28
Representamos esto...
Proporción
acumulada de renta
55%
A
20%
B
5%
25%
50%
75%
Proporción
acumulada29de ind.
En caso de máxima desigualdad...
Proporción
acumulada de renta
Línea de igualdad
Max desigualdad
Proporción
acumulada30de indivi
Curva de Lorenz
Así pues, cualquier distribución de renta cuya curva de
Lorenz esté más cercana a la diagonal ...
Es más igualitaria
Sin embargo tendremos dificultades para comparar dos
distribuciones cuando...
Sus dos curvas de Lorenz se cortan
31
C. Lorenz
 Partimos de la versión contínua p= F(x)
 Entonces
x
L( p ) 
N  tf (t )dt
0

N  tf (t )dt
x

N  tf (t )dt
0
N
x
tf (t )dt
0


0
Gastwirth (1971) agregado de la f. cuantílica normalizada:
L( p ) 

p
0
1
F (u )du

0  p 1
32
C. Lorenz
 TEOREMA
 Pendiente de la curva de Lorenz L(p)=y/
 DEMOSTRACIÓN
dL( p) dL( p) / dy yf ( y ) /  y



dp
dp / dy
f ( y)





IMPLICACIONES:
Entonces L(p) es creciente y convexa.
La pendiente en el percentil de la media es 1.
El índice de Schulz es:
S  F ( )  L( F ( ))
33
En términos contínuos...
Proporción
acumulada de renta
S
A
B
Proporción
acumulada34de ind.
C. Lorenz
 Si la curva de Lorenz de una distribución A va por encima de
la de una distribución B (AB):
LA ( p)  LB ( p), p [0,1]
 Para todo conjunto de individuos más pobres p, en A reciben
más proporción de renta total que en B (hay inequívocamente
menos desigualdad) y para todo conjunto 1-p de individuos
más ricos, en A reciben menos proporción de renta que en B
(inequívocamente menos desigualdad).
 Esta unanimidad no ocurre cuando se cortan las curvas de
Lorenz.
35
C. Lorenz
 El índice de Gini es:
1
G  2 p  L( p)dp
0
o alternativamente
1
G  1  2 L( p)dp
0
que coincide con 1-2B=2A del gráfico anterior
36
I.Gini
Originalmente Gini 1914:
N
G
N
 x  x
j 1 i 1
i
j
2N 2 
Si lo ordenamos de menor a mayor:
N
x (2i  1  N )
G i

N
i 1 N
N
 x (2i  1  N )
i 1
i
N 2
37
I.Gini
Si agrupado: x1, k1 veces,…., xn, kn veces:
n
G
i
 k x ( 2 k
i 1
i i
j 1
j
 ki  N )
N 2
38
I. Gini
G
2

Cov( y, F ( y ))
2( xN  2 xN 1  3xN 2 ...  Nx1 ) 1
G  1

2
N 
N
Yitzhaki (1998) “More than a dozen alternative ways of spelling Gini”,
REI.
39
Otros índices descriptivos
Hemos hablado de la varianza:
N
V  2 
2


x


 i
i 1
N
Otra mediada de dispersión, la desviación media relativa:
N
DMR 
 x 
i 1
i
N
40
Otros índices descriptivos
La DMR tiene interpretaciones gráficas:
Desfile de los enanos
Curva de Lorenz: equivale a 2S, S= coeficiente de Schulz
La desviación típica de los logaritmos:
 log

 N
  log xi  log xi
  i 1
N



2




1/ 2
41
Ejercicio
 Dibujar la curva de Lorenz para 2001 de los hogares
españoles y computar el índice de Gini.
42
C. Concentración
 Partimos de la versión discreta p= j/N
 Entonces ordenamos T por la variable X (renta antes
de impuestos)
i1Ti
j
LT , X ( j / N ) 

N
T
i 1 i



j
T
i 1 i
NT
El porcentaje del impuesto total que paga el j/N porcentaje más pobre.
43
C. Concentración
 Partimos de la versión contínua p= j/N
 Entonces ordenamos T por la variable X (renta antes
de impuestos)
y
LT , X ( p) 
N  Tf ( x)dx
0

N  Tf ( x)dx
y

N  Tf ( x)dx
0
Nt

y
0
Tf ( x)dx
t
0

El porcentaje del impuesto total que paga el p porcentaje más pobre.
44
C. Concentración
 No es la curva de Lorenz ni tiene sus propiedades,
aunque la curva de concentración coincide con la
Lorenz en el caso:
LX , X ( j / N )  LX ( j / N )
 Aunque genéricamente:
LT , X ( j / N )  LX ( j / N )
45
C. Concentración
 Un impuesto es progresivo si:
LT , X ( j / N )  LX ( j / N ), j
LT , X ( j / N )  LX ( j / N ), a lg ún j
 Relación importante si hacemos Y=X-T y t=tipo medio:
LX ( j / N )  tLT , X ( j / N )  (1  t )LY , X ( j / N )
46
C. Concentración
 De otra forma:
LY , X ( j / N )  LX ( j / N )  LT , X ( j / N )  LX ( j / N )
 Definimos el coeficiente de concentración de T:
1
CT , X  1  2 LT , X ( p)dp
0
47
C. Concentración
 Definimos el coeficiente de concentración de T y el de X-T
análogamente:
1
CT , X  1  2 LT , X ( p)dp
0
 Entonces índice de progresividad de Kakwani:
K  CT , X  GX
Veremos su relación con el índice de redistribución:
GX  GY
48
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Introducción
Rafael Salas
Abril de 2011
Deigualdad versus PIB per capita
DESIGUALDAD versus PIB per capita
80
desigualdad
70
60
50
40
30
20
10
0
0
5.000
10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 40.000 45.000 50.000
PIB per capita
Fuente:
http://devdata.worldbank.org/wdi2005/Table1_1.htm
http://devdata.worldbank.org/wdi2005/Table2_7.htm
50
Riqueza
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Share of top…
1%
5%
10%
USA
1983
35
56
France
1986
26
43
Denmark
1975
25
48
65
Germany
1983
23
Canada
1984
17
38
51
Australia
1986
20
41
55
Italy
1987
13
32
45
Korea
1988
14
13
43
Ireland
1987
10
29
43
Japan
1984
25
Sweden
1985
16
37
53
Source: See Davies and Shorrocks (2000) p637
Gini
0,79
0,71
0,69
0,6
0,63
0,52
51
Consumo
Albania
Bulgaria
Bangladesh
Vietnam
Nepal
Morocco
Nicaragua
Thailand
Peru
Panama
Russia
Brazil
Year
Consumption
Gini coefficient
Income
1996
1995
2000
1998
1996
1998
1998
2000
1994
1997
1997
1996
0.252
0.274
0.334
0.362
0.366
0.390
0.417
0.428
0.446
0.468
0.474
0.497
0.392
0.392
0.392
0.489
0.513
0.586
0.534
0.523
0.523
0.621
0.478
0.596
52