Transcript Maricela_ActFinal1Matematicas III

UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DE VERACRUZ
EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR
BACHILLERATO VIRTUAL
MATEMATICAS III
TERCER TRIMESTRE
UNIDAD I
ACTIVIDAD 1 .- SISTEMA DE COORDENADAS
ACTIVIDAD 2.- SEGMENTOS RECTILÍNEOS: DIRIGIDOS Y NO DIRIGIDOS
ACTIVIDAD 3.- ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA
ALUMNA: MARICELA DIAZ LABRA
SISTEMAS DE COORDENADAS
DEFINICION:
Es un sistema de referencia que nos permiten distinguir los puntos que forman un
eje o un plano con características únicas para cada uno de ellos. Hay unidimensional
y bidimensional. Un sistema de coordenadas cartesianas lo forman dos ejes
perpendiculares entre sí, que se cortan en el origen.
SISTEMAS DE COORDENADAS
SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL
En matemáticas se ha regulado utilizar una línea recta horizontal para representar a todos
los números reales, colocando al cero en un punto arbitrario de la recta (origen), todos los
números reales positivos a la derecha de ese punto y todos los números reales negativos a
la izquierda de ese mismo.
De esta manera, es fácil notar cómo se establecía una correspondencia uno a uno entre los
puntos de la recta y el conjunto de los números reales, es decir, que a cada punto de la recta
le corresponde un número real y a cada número real le corresponde un punto de la recta.
Esta forma de ordenar a los números reales se le da el nombre de sistema coordenado
unidimensional; en el cual se puede localizar ordenadamente cualquier número real, a través
de un punto de la línea recta. Este sistema coordenado regularmente también se le conoce
como eje real o recta numérica.
Tracemos una línea horizontal, marquemos el origen de algún punto de ella (O), elijamos un
segmento como unidad de longitud y así obtenemos el eje coordenado unidimensional:
La notación utilizada para representar un punto en el eje real es mediante una letra
mayúscula elegida al azar o bien mediante la expresión 𝑃(𝑥) que se lee: “el punto 𝑃 de
coordenada 𝑥”.
SISTEMAS DE COORDENADAS
SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL
3.
a.
b.
c.
d.
e.
Localiza los siguiente puntos en un sistema de coordenadas unidimensional
(-3)
(-1/4)
(18/2)
(√15)
(-3π)
SISTEMAS DE COORDENADAS
SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL
El sistema coordenado rectangular, consta de dos rectas perpendiculares entre
sí, llamados ejes de coordenadas. Por costumbre, esas rectas se trazan horizontal
y verticalmente sobre un plano.
La recta horizontal se llama eje de las “𝑋” o “abscisas” y la recta vertical eje de las “
𝑌” u “ordenadas”; al punto de intersección de las rectas se le llama “origen” del
plano(O). Los ejes de coordenadas o ejes coordenados dividen al plano en cuatro
regiones llamadas “cuadrantes” numerados en el sentido contrario al de las agujas
de un reloj, observa la figura:
SISTEMAS DE COORDENADAS
PAREJAS ORDENADAS DE NÚMEROS REALES
Es importante aclarar que para escribir las coordenadas rectangulares de un
punto se debe respetar cierto orden; escribiendo siempre la abscisa en primer
lugar y la ordenada en el segundo.
Por esta razón, las coordenadas de un punto en el plano reciben el nombren
de par ordenado de números reales.
Una pareja ordenada de números reales es una
representación numérica que consta de dos
elementos, no necesariamente distintos, escritos
en un orden especifico. La notación (𝑥,𝑦)
representa a la pareja ordenada cuyo primer
elemento es 𝑥 y cuyo segundo elemento es 𝑦
SISTEMAS DE COORDENADAS
PAREJAS ORDENADAS DE NÚMEROS REALES
1.
Encuentra los valores de X y Y para que se la igualdad entre las parejas ordenadas,
posteriormente ubica cada punto en un sistema de coordenadas
SISTEMAS DE COORDENADAS
LUGARES GEOMÉTRICOS
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos del plano cartesiano que cumplen
con cierta condición. La condición que deben cumplir un conjunto de puntos se
indica por medio de una relación, la cual escribiremos mediante la siguiente
notación:
𝑹= 𝒙,𝒚 | 𝑬 𝒙,𝒚 =𝟎
Que se lee:
“La relación 𝑅 igual al conjunto de todas las parejas ordenadas (𝑥,𝑦) tales que
satisfacen la condición 𝐸 𝑥,𝑦 =0”. Aquí la expresión 𝐸 𝑥,𝑦 =0, representa alguna
ecuación en dos variables o incluso, el signo de igualdad puede cambiarse por
una desigualdad y representar una inecuación.
SISTEMAS DE COORDENADAS
El lugar geométrico de los puntos del plano tales que cumplen con la condición:
𝑬 𝒙,𝒚 =𝒙−𝒚=𝟎
Solución:
La relación queda bien expresada mediante: 𝑹= 𝒙,𝒚 | 𝒙−𝒚=𝟎 o equivalentemente
𝑹= 𝒙,𝒚 | 𝒙=𝒚 .
Observe que la relación que deben de satisfacer las parejas ordenadas es que su primer
elemento sea igual a su segundo elemento.
Así las parejas ordenadas que cumplen con esta relación son, por citar algunas: (−3,−3),
(−1,−1), (1,1), (4,4), (6,6), 12,12 etc.; que son las que trazan a la diagonal que se observa
en la figura.
ACTIVIDAD 2
SEGMENTOS RECTILÍNEOS: DIRIGIDOS Y NO DIRIGIDOS
A la porción de una línea recta comprendida entre dos de sus puntos se llama
segmento rectilíneo o simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremos del
segmento y se consideran parte de este.
Así en la figura, para la recta l, AB es un segmento cuyos extremos son los puntos A y
B.
ACTIVIDAD 2
SEGMENTOS RECTILÍNEOS: DIRIGIDOS Y NO DIRIGIDOS
Un segmento no dirigido es aquel al que no
se le considera un sentido y debido a esto se
puede expresar en cualquier orden. Esto es,
un segmento no dirigido siempre se le
considera como positivo cualquiera que sea
su sentido, por lo que se puede expresar de
la siguiente manera:
AB= BA Si el segmento AB se considera no
dirigido.
ACTIVIDAD 2
SEGMENTOS RECTILÍNEOS: DIRIGIDOS Y NO DIRIGIDOS
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO
La distancia entre dos puntos ubicados en un sistema coordenado rectangular se
determina por la longitud del segmento que los une.
Supongamos que 𝐴(𝑥1,𝑦1) y 𝐵(𝑥2,𝑦2) son dos puntos situados en el plano como se
muestran en la figura:
La distancia que hay entre estos dos puntos es la longitud del segmento que los une
y se determina a través da la siguiente fórmula:
𝒅= (𝒙𝟐−𝒙𝟏)𝟐+(𝒚𝟐−𝒚𝟏)𝟐
ACTIVIDAD 2
SEGMENTOS RECTILÍNEOS: DIRIGIDOS Y NO DIRIGIDOS
PERÍMETRO Y ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN EL PLANO
Perímetro: Para calcular el perímetro de un triángulo en el plano cartesiano bastará
con conocer las coordenadas de sus vértices. Así aplicando la fórmula para determinar
la distancia entre dos puntos, se calculan las longitudes de cada uno de los lados del
triángulo; luego el perímetro se obtiene sumando esas longitudes.
Área: Para encontrar el área de un triángulo trazado en un sistema coordenado
rectangular, emplearemos la Fórmula de Herón; ya que esta fórmula está dada en
términos del perímetro y las longitudes de los lados del triángulo. Esta fórmula es muy
práctica y no requiere conocer el valor de alguna de las alturas del triángulo. La
fórmula está dada mediante la siguiente expresión:
donde 𝐴 : representa el área del triangulo 𝑎,𝑏,𝑐 : son las longitudes de los lados; y
𝑠 : es la mitad del valor de su perímetro, esto es: 𝑠=(𝑎+𝑏+𝑐) / 2
ACTIVIDAD 2
SEGMENTOS RECTILÍNEOS: DIRIGIDOS Y NO DIRIGIDOS
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA
El problema que se plantea ahora es cómo dividir a un segmento en una razón dada. Una
razón se interpreta como el cociente de dos números enteros, esto es:
𝑥
𝑟= --- ,𝑦≠0.
𝑦
Para comprender mejor el problema, supongamos que se nos pide dividir al siguiente
segmento de recta en la razón 𝑟=12, ¿En cuántas partes iguales dividiríamos al segmento?
Efectivamente, la razón “un medio” implica dividir a dicho segmento en tres partes iguales
de la siguiente manera:
ACTIVIDAD 2
SEGMENTOS RECTILÍNEOS: DIRIGIDOS Y NO DIRIGIDOS
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA
ACTIVIDAD 2
SEGMENTOS RECTILÍNEOS: DIRIGIDOS Y NO DIRIGIDOS
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA
ACTIVIDAD 2
SEGMENTOS RECTILÍNEOS: DIRIGIDOS Y NO DIRIGIDOS
Determina por la formula de Herón el area del triangulo cuyos vértices se sitúan en los puntos A(2,1) B(-3,6) C(3,3)
A(2,1) B(-3,6) C(3,3)
Datos:
(2,1) y 𝑩(−3,6)
B(−3,6)C(3,3)
C(3,3)A(2,1)
d = √( x₂- x₁)² + ( y₂- y₁)²
(2,1) y 𝑩(−3,6)
X1= 2 Y1= 1 X2= -3 Y2= 6
d = √( x₂- x₁)² + ( y₂- y₁)²
d = √(-3- 2)² + (6-1)²
d = √(-5)² + (5)²
d = √25+25
d = √50
d = 7,07106781186547
7,07106781186547
B(−3,6)C(3,3)
X1= -3 Y1= 6 X2= 3 Y2= 3
d = √( x₂- x₁)² + ( y₂- y₁)²
d = √(3- -3)² + (3-6)²
d = √(6)² + (-3)²
d = √36+9
d = √45
ACTIVIDAD 2
SEGMENTOS RECTILÍNEOS: DIRIGIDOS Y NO DIRIGIDOS
d= 6,7082039324994
C(3,3)A(2,1)
X1= 3 Y1= 3 X2= 2 Y2= 1
d = √( x₂- x₁)² + ( y₂- y₁)²
d = √(2- 3)² + (1 - 3)²
d = √(-1)² + (-2)²
d = √1+4
d = √5
d= 2,2360679774998
Entonces:
AB = 7,07
BC= 6,708
CB= 2,23
PERIMETRO = AB+BC+CD
16,02
AREA:
A = √p * (p - a) * (p - b) * (p - c)
A = √16,02 * (16,02 - 7,07) * (16,02-6,70)* (16,02-2,23)
En donde:
P=16,015 /2 = 8,01
a = 7,07
b = 6,70
c = 2,23
SUSTITUIMOS Y…….
A = √8,01 * (8,01 - 7,07) * (8,01-6,70)* (8,01-2,23)
A= √8,01 * (0.94) * (1.30)* (5.77)
A = √56,25
TEMA 3
ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA
RECTA
Definimos una línea recta como una sucesión infinita de puntos
consecutivos que se extienden en una misma dirección. Ahora,
nuestros esfuerzos estarán dirigidos a establecer una nueva
definición de línea recta en términos de un nuevo concepto
asociado a ella, su pendiente. Es importante aclarar que esta idea
nace a partir de ubicar a la recta sobre un plano de coordenadas.
El concepto de pendiente de una recta a su vez viene asociado con
otro elemento importante de la línea recta, estamos refiriéndonos
a su ángulo de inclinación.
TEMA 3
ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA
RECTA
Definición: Llamaremos ángulo de inclinación de una recta al ángulo positivo que se mide a
partir del eje X hacia la recta.
Es importante aclarar que en nuestra definición solo nos referimos a los ángulos que se
forman por encima del eje X.
Es evidente, que por nuestras consideraciones el valor del ángulo de inclinación de una
recta estará comprendido entre 0° y 180°. En la siguiente figura, se señalan los ángulos de
inclinación para cada una de las rectas trazadas:
TEMA 3
ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA
RECTA
a.


ángulo de inclinación.-
Llamaremos asi al ángulo positivo que se mide a partir del eje X hacia la recta.
Un ángulo formado por una línea horizontal y una línea de visión por arriba de ella que mide
menos de 90 grados.
TEMA 3
ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA
RECTA
Definición Se llama pendiente de una recta a la tangente
trigonométrica de su ángulo de inclinación. La pendiente de una
recta se designa comúnmente por la letra 𝑚. Por lo tanto,
simbólicamente se expresa así:
𝑚=tan𝛼
Donde:
𝑚 : pendiente de la recta
𝑡𝑎𝑛 : tangente trigonométrica
𝛼 : ángulo de inclinación de la recta.
TEMA 3
ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA
RECTA
PENDIENTE DE UNA RECTA COMO RAZÓN DE CAMBIO
La pendiente de una recta en un sentido totalmente geométrico, también se
puede interpretar como una razón constante entre los incrementos de dos
magnitudes variables. Por ejemplo, en una competencia de 100 𝑚 planos, el
ganador registra cada 20 𝑚 las siguientes marcas:
Distancia total (m)
Tiempo transcurrido (s)
Rapidez (m/s)
0
0
10
20
2
10
40
4
10
60
6
10
80
8
10
100
10
10
Observe que las magnitudes variables que intervienen son la distancia (d) y el tiempo (t); y no
es difícil ver también que estas magnitudes presentan una variación directamente
proporcional, es decir, que por cada 2 segundos que transcurrían el competidor recorría 20
metros, con lo que siempre mantuvo una rapidez constante igual a 10 m/s.
TEMA 3
ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA
RECTA
CONDICIONES DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
Del hecho de que dos rectas son paralelas si la distancia entre ellas siempre es la
misma, se deduce que estas siempre tienen el mismo ángulo de inclinación y en
consecuencia la misma pendiente. Esto es, si dos rectas son paralelas sus
pendientes son iguales; simbólicamente:
𝑚1=𝑚2𝑙1
es paralela a 𝑙2 o bien 𝑙1 ||𝑙2
si 𝑚1 es la pendiente de la recta 𝑙1 y 𝑚2 es pendiente de la recta 𝑙2.
De igual modo, recordemos que dos rectas son perpendiculares, cuando estas se
cortan formando ángulos de 90°. Para dos rectas perpendiculares se tiene que la
pendiente de una de ellas es igual al reciproco de la pendiente de la otra con signo
contrario. Es decir, si 𝑚1 es la pendiente de la recta 𝑙1 y 𝑚2 es la pendiente de la recta
𝑙2 entonces 𝑚1𝑚2=−1.
TEMA 3
ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA
RECTA
DEFINICIÓN DE LINEA RECTA
El estudiante recordará algunas definiciones de línea recta dadas en sus cursos anteriores,
como por ejemplo, la que expresa que una línea recta es una sucesión infinita de puntos
consecutivos que tienen la misma dirección o aquella que menciona que una línea recta es
la distancia más corta entre dos puntos. A estas alturas de nuestros conocimientos,
podemos aceptar una definición más de línea recta basada en términos de su pendiente.
Definición: Una línea recta es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que tienen
entre sí la misma pendiente. Es decir, que si 𝐴(𝑥1,𝑦1) y 𝐵(𝑥2,𝑦2) son dos puntos diferentes
cualesquiera de la recta, el valor de la pendiente calculado mediante la fórmula:
TEMA 3
ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA
RECTA
ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE UNA
PENDIENTE DADA
El problema fundamental de la geometría analítica estriba en dos
situaciones bien importantes. Una de ellas es determinar la ecuación
de una figura geométrica a partir de las características que
presenten sus puntos en el plano y la otra es la situación inversa, es
decir, dada una ecuación ahora el problema es interpretarla
geométricamente o lo que es lo mismo construir su grafica
correspondiente.
Geométricamente hablando, una recta queda perfectamente bien
determinada si se conocemos uno de sus puntos y su pendiente. En
este apartado, nos toca exponer la ecuación de la recta a partir de
esos dos de sus elementos.
TEMA 3
ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA
RECTA
ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE UNA
PENDIENTE DADA
El problema fundamental de la geometría analítica estriba en dos
situaciones bien importantes. Una de ellas es determinar la ecuación
de una figura geométrica a partir de las características que
presenten sus puntos en el plano y la otra es la situación inversa, es
decir, dada una ecuación ahora el problema es interpretarla
geométricamente o lo que es lo mismo construir su grafica
correspondiente.
Geométricamente hablando, una recta queda perfectamente bien
determinada si se conocemos uno de sus puntos y su pendiente. En
este apartado, nos toca exponer la ecuación de la recta a partir de
esos dos de sus elementos.
TEMA 3
ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA
RECTA
ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE UNA PENDIENTE DADA
El problema fundamental de la geometría analítica estriba en dos situaciones bien
importantes. Una de ellas es determinar la ecuación de una figura geométrica a partir de las
características que presenten sus puntos en el plano y la otra es la situación inversa, es
decir, dada una ecuación ahora el problema es interpretarla geométricamente o lo que es lo
mismo construir su grafica correspondiente.
Geométricamente hablando, una recta queda perfectamente bien determinada si se
conocemos uno de sus puntos y su pendiente. En este apartado, nos toca exponer la
ecuación de la recta a partir de esos dos de sus elementos.
TEMA 3
ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA
RECTA
ECUACIÓN DE LA RECTA DADA SU PENDIENTE Y SU ORDENADA EN EL ORIGEN
Antes de ver esta forma de ecuación para la línea recta, aclaremos el significado de
“ordenada en el origen”. Se le dice ordenada en el origen a la intersección de la recta con
el eje Y y se representa con la letra 𝑏. (Ver figura)
Ahora bien, si se conocen las coordenadas del punto de intersección de la recta con el eje
Y, las cuales son (0,𝑏) y también su pendiente 𝑚 podemos obtener la ecuación de la recta
en su forma pendiente-ordenada al origen aplicando la ecuación de la recta en la forma
punto-pendiente