Transcript Zanedbatelné náklady pronájmu

LOGISTICKÉ SYSTÉMY
5/14
Osnova přednášky
Logistické optimalizační modely –
 Lot Size Problem při nekonstantní
poptávce
Numerické řešení
Analytické řešení
Minimalizace nákladů při nekonstantní
poptávce
• poptávky se mění v čase
• stává se funkcí D(t)
• časový horizont t<t0;tmax>
Cílem je najít
– optimální časy dodávek (t0 = 0, t1, t2,…,tn-1)
– optimální velikost dodávky (v0 = 0, v1, v2,…,vn-1)
Minimalizace nákladů při nekonstantní
poptávce
Základní parametry - předpoklady:
• D(t) funkce poptávky - resp. spotřeby (mění se v
čase)
• D’(t)….derivace D(t)…intenzita poptávky
D’(ti)….derivace D(t) v čase ti (momentální
poptávka v čase ti)
• Časový horizont t[t0;tmax]
• vmax =  (není-li uvedeno jinak)
• cf … pevné přepravní náklady (za vozidlo)
• ch = cr+ci
• n…počet dodávek
Minimalizace nákladů při nekonstantní
poptávce
•
Pro konstantní poptávku D(t) = D’
(tedy A = ch/D’ a B = cf)
Základní dva typy problémů
1) Zanedbatelné náklady čekání (resp.
udržovací náklady)
•
zboží se nekazí, neztrácí hodnotu
2) Zanedbatelné náklady pronájmu
•
hodnota zboží se v průběhu skladování
mění
Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce
Zanedbatelné udržovací náklady
tedy ci  cr ; ch  cr
 Náklady pronájmu rostou s maximální
akumulací Amax (viz)
 Dolní mez maximální akumulace u
spotřebitele = maximální velikost dodávky
(kterážto je nejmenší při pravidelných
intervalech dodávek Hi !)
max
A
 D(tmax ) / n
Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce
Zanedbatelné udržovací náklady
 Čas ve kterém A  D(tmax ) / n je optimálním
pro realizaci n dodávek při minimálních
nákladech
max
cr D(tmax ) / n
 Tj. každá dodávka přesně stačí k uspokojení
poptávky
 Do další dodávky je spotřeba mezi dvěma
dodávkami rovněž D(tmax)/n
Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce
Zanedbatelné udržovací náklady
Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce
Zanedbatelné udržovací náklady
 Rozdělit osu y mezi 0 a D(tmax) na n
stejných intervalů a najít časy ti pro které
platí
iD(tmax )
D(ti ) 
pro i  0,1,..., (n  1)
n
 Dodávat právě tolik aby byla uspokojená
poptávka do další dodávky
Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce
Zanedbatelné udržovací náklady
 Minimální náklady nezávisí na ti ale pouze
na n, potom:
cr D(tmax ) c f n
DC (cost/time) 

n
tmax
cf n
cr D(tmax )
UC (cost/item) 

D(tmax )
Dn
D(tmax )
kde D 
... prům. intenzita spotřeby
tmax
Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce
Zanedbatelné udržovací náklady
 Vzorec pro UC odpovídá vzorci pro EOQ když
v=D(tmax)/n
 n musí být celočíselné
 dá se předpokládat, že pro větší n (cca n>3)
platí:
D (tmax )
n* 
v*
Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce
Zanedbatelné náklady pronájmu
tedy cr  ci ; ch  ci
 Skladované položky jsou malé a drahé - náklady
narůstají s jejich skladováním
 Celkové náklady u spotřebitele odpovídají
šrafované ploše na grafu ze slidu 8
 Kombinované náklady (dodavatel+spotřebitel)
rovněž odpovídají pokud (i) se jedny zanedbají,
nebo (ii) pokud obojí mají stejný průběh
Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce
Zanedbatelné náklady pronájmu
 Aby sled časových okamžiků (t1, t2,…tn)
byl optimální, musí být úsečka PQ
rovnoběžná s tečnou křivky D(t) v bodě T
– optimální čas dodávky viz obr. Slide 8
 D(t) už není pouze funkcí n  problém s
tvarem funkce  numerická nebo
aproximativní řešení
Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce
Zanedbatelné náklady pronájmu
A) Numerické řešení
A)
B)
C)
D)
Dynamický program, kde čas dodávky ti je stanoven pro
všechny i=1,2,…,n-1
Algoritmus dynamického programování nalezne optimální
skladovací náklady pro dané n, tj. zi*(n*) resp. n*.
Numerická procedura je vhodná pokud pokud je křivka D(t)
hladká
probíhá v následujících krocích (viz obr Slide 15)
Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce
Zanedbatelné náklady pronájmu
Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce
Zanedbatelné náklady pronájmu
Postup numerického řešení
A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
bod P1 a jemu odpovídající T1
přímka z P1 paralelně s tečnou k D(t) v T1
kolmice bodem T1
průsečík kolmice s přímkou z P1…bod P2
atd. až po D(tmax)
pokud průsečík není v D(tmax)..posun P1
„Optimální“ náklady experimentováním s posunem P1, dokud
součet ploch trojúhelníků Ti-1;Ti,Pi (skladovací náklady) není roven
přepravním nákladům a tedy MIN
R(t)…skoková funkce dodávek (receiving step curve)
Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce
Zanedbatelné náklady pronájmu
B) Analytické řešení (metoda spojité
aproximace)



Metoda vhodná pokud D’(t) se nemění příliš rychle
Interval Ii, jako i-tý interval mezi ti-1 a ti
Celková cena za jednu dodávku bude:
Ci (cost i )  c f  ci (P( I ) )

Kde Pi je plocha vyťatá D(Ti-1), D(Ti), Pi (tedy pro interval Ii)
Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce
Zanedbatelné náklady pronájmu

Velikost této plochy s využitím bodu t’i
P( i ) 
ti
 t
i
ti 1
 ti 1  D(ti)dt
2
Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce
Zanedbatelné náklady pronájmu

Definujme si funkci Hs(t) jako skokovou tak, že Hs(t)=ti-ti-1,
pro t z intervalu Ii
Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce
Zanedbatelné náklady pronájmu

Z minulého grafu… cena za interval:
 cf

ci H S (t )
Ci (cost i )   

D(ti) dt
H S (t )
2

ti 1 
ti

Po aproximaci D(t ) za D(ti) (což je akceptovatelné pro malé
změny D(t) dostáváme pro celé období do tmax:
C (cost) 
tmax

0
 cf

ci H S (t )

D(t ) dt

2
 H S (t )

Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce
Zanedbatelné náklady pronájmu

Interpolací Hs(t) spojitou funkcí H(t) – viz obr dostáváme:
C (cost) 
tmax

0
 cf

ci H S (t )
 H (t )  2 D(t ) dt


Lot Size Problem
Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce
Zanedbatelné náklady pronájmu

Po dosazení
2c f
H (t ) 
ci D(t )
vzorcům EOQ – viz přednáška 2) a úpravě dostáváme:
TC 
tmax

0
 2ci c f D(t )  dt
(což odpovídá
Lot Size Problem
Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce
Zanedbatelné náklady pronájmu

Vztažením na jednotku produkce dostáváme celkové
optimální náklady na jednotku produkce ve výši:
tmax
z *(cost/item) 

 2ci c f D(t )  dt
0
tmax
 D(t )dt
0
Kde
D(tmax ) 
tmax
 D(t )dt
0
je celkový počet vyrobených jednotek