Transcript Document
Tomografia Klasyczna B Algorytm rekonstrukcji f(x,y) t P(,t) Pojedynczy rzut akumulacyjny Rekonstrukcja metodą FFT t Sinogram Rekonstrukcja metodą projekcji wstecznej z sinogramu bez filtracji Algorytm rekonstrukcji m. projekcji wstecznej z filtracją Seria rzutów akumulacyjnych Obiekt Filtr Sinogram Sinogram przefiltrowany Typowe filtry Rekonstrukcja Wynik Rekonstrukcja m. projekcji wstecznej z filtracją Konfiguracje tomografów medycznych i przemysłowych Typowe błędy Rekonstrukcja z małej liczby rzutów akumulacyjnych 8 16 32 Typowe błędy Obecność szumów w rzutach akumulacyjnych Niecentralność środka obrotu Obecność tła w rzutach akumulacyjnych 2% szumów Bicie: 2.5% 5% względnego tła Rekonstrukcja algebraiczna i iteracyjna Interferometria Tomograficzna Podział optycznych elementów fazowych Rozważane optyczne elementy fazowe* Izotropowe (jeden współczynnik załamania w punkcie n(x,y,z)) • preformy i światłowody, • mikrosoczewki, • falowody. Anizotropowe jednoosiowe (dwa współczynniki załamania w punkcie; no(x,y,z) ne(x,y,z) ) • światłowody utrzymujące stan polaryzacji, • kryształy optyczne jednoosiowe( w tym ciekłe), • elementy poddane naprężeniom. Metody pomiarowe: Metody pomiarowe: • mikrointerferometria, • elastooptyka zintegrowana, • metoda bliskiego pola, • metoda światła rozproszonego, • optyczna tomografia dyfrakcyjna, • tomografia elastooptyczna. •tomografia mikrointerferencyjna. * elementy o wymiarach mili- i mikrometrowych Zasada pomiaru rozkładu współczynnika załamania w tomografii mikrointerferencyjnej* Akwizycja serii interferogramów obiektu Obliczanie zintegrowanego rozkładu fazy z α α =1°….180 ° w P(w,z,α) α Rekonstrukcja rozkładu fazy (algorytm projekcji wstecznej) Skalowanie do wartości współczynnika załamania (x,y,z) = S(,,z) exp(j 2w) d d 0 - gdzie: S(,,z) = P(,w,z)exp(-j 2w) dw, - częstość przestrzenna rozkładu P (,w,z0). n ( x, y , z ) ( x, y , z ) nl , 2d λ-dlugość fali, nl - współczynnik załamania cieczy immersyjnej, d-wymiar obiektu odpowiadający pikselowi, *Witold Gorski: Trójwymiarowa rekonstrukcja niejednorodności współczynnika załamania w optycznych elementach fazowych, Rozprawa doktorska, PW 2002 Wiązka przedmiotowa Interferometria tomograficzna - algorytm Automatyczna Analiza Interferogra mów Interferogram Mapa fazowa Wiązka odniesienia Wyznaczanie zintegrowanych rozkładów fazowych: • wysoka dokładność wyznaczania mapy fazowej w porównaniu z metodami dyfrakcyjnymi • odtworzenie rozkładów fazowych o nieznanej geometrii Rekonstrukcja rozkładu współczynnika załamania Rekonstrukcja rozkładu fazowego: (x,y,z0) = S(,,z0) exp(j 2w) d d 0 - gdzie: S(,,z0) = P(,w,z0)exp(-j 2w) dw, - częstość przestrzenna zintegrowanego rozkładu P (,w,z0). Skalowanie do wartości współczynnika załamania: (x,y,z0) n(x,y,z0) = ————— 2d gdzie: (x,y,z0) – zrekonstruowany rozkład fazowy – długość fali, d – geometryczny wymiar obiektu. Trójwymiarowa rekonstrukcja z n(x,y, z0+k) n(x,y,z0+2) n(x,y,z0+1) x n(x,y,z0) y n(x,y,z) = n0 + n(x,y,z) Microinterferometric tomography -exemplary measurement sequence Acquisition of series of phase projection: Phase distribution in selected x-x line in function of angular position: phase x x x X y y y Completing of sinogram for selected crosssection : angular position Microinterferometric tomography -exemplary measurement sequence Filtered backprojection algorithm Sinogram of single layer Assembly of single layers allows for 3D reconstruction of refractive index in object Reconstruction of single layer Algorytm tomografii fazowej Pomiar obiektu milimetrowego Niejednorodność: n 10 7 n Tomografia mikrointerferencyjnaukład eksperymentalny POZYCJONER Tomografia mikrointerferencyjnaukład eksperymentalny Experimental results FUSED OPTICAL FIBER SPLICE (SINGLE MODE-MULTIMODE) Interferogram Distribution n(x,y,z) - rendering Experimental results Cross-sections sequence Tomographic microinterferometry n(x,y) -C1 Theory Experiment n(x,y) - C2 Multimodal Gradient Profile Fiber Inspection Considerable deviation of refractive index in the middle area ideal profile measured profile Single mode fiber inspection Fiber parameters: core -fiber diameter 120µm [pixels] -core diameter 8µm -core refractive index 1,47 -cladding refractive index 1.46 1 pixel=0,33µm core cladding Only central core area was reconstructed propoperly [pixels] core cladding -refractive index determination error is considerable in core area, source of this error is difraction phenomenon on edge of core and cladding; step of refractive index is equal 0,01 Metoda uśredniania fazy przy badaniu światłowodów jednomodowych Dwuwymiarowy rozkład fazy w projekcji faza Przekrój przez fazę y-y y y-y Profil fazy po uśrednieniu wzdłuż współrzędnej y faza x x Uśrednienie wartości fazy w projekcji powoduje znaczną redukcję szumów przy jednoczesnym zachowaniu rzeczywistego profilu fazy x Numerical correction of radial run-out w n(0,w,z0) n2 n1 edges Sinogram of reference layer -no inhomogeneities Ideal sequence CALIBRATION ARRAY Edges localization Correction of all sinograms Numerical correction of radial run-out Exemplary results Sinogram: initial Edge localization matrix After correction •No lack of information. •Reduction of radial movement influence to single micrometers. Zastosowania metody TI do pomiaru rozkładu współczynnika załamania n w różnych typach obiektów Profil n przed napromieniowaniem Współczynnik załamania n Współczynnik załamania n • Badanie wpływu promieniowania gamma na n w światłowodach jednomodowych Piksele (1 piksel=0,12 μm) Profil n po napromieniowaniu dawka 3.5 MGy Piksele (1 piksel=0,12 μm) • Struktury wykonane w technologii DLP Wizualizacja kolejnych warstw Zrekonstruowana warstwa Współczynnik załamania Seria projekcji fazowych Piksele (1 piksel=1 μm) Reconstrukcja struktury holey-fiber Obraz światłowodu holey fiber uzyskany mikroskopem elektronowym [Uniwersytet w Bath] Wynik pomiaru tomograficznego Numeryczna symulacja rekonstrukcji tomograficznej Cel symulacji: Określenie ograniczeń teoretycznych tomografii mikrointerferencyjnej związanych z wymiarem najmniejszych szczegółów obiektu. Rozwiązanie problemu: Symulacja propagacji światła przy użyciu metody finite difference time domain, a następnie wykorzystanie uzyskanych rezultatów do tomograficznej rekonstrukcji obiektu i porównanie uzyskanego rozkładu współczynnika załamania z rozkładem wejściowym Metoda Finite Difference Time Domain Zalety metody: • Najbardziej ogólne podejście oparte na teorii elektromagnetyzmu • Pełna analiza wektorowa pola • Możliwość analizy propagacji w dowolnych ośrodkach ( także w ośrodkach anizotropowych ) Wady metody: • wysoki koszt numeryczny symulacji • duże wymagania sprzętowe Metoda Finite Difference Time Domain Równania Maxwella dla ośrodków izotropowych w postaci wektorowej Można je zastąpić równaniami skalarnymi: = = = = = = = = Metoda Finite Difference Time Domain Wprowadzając dyskretny układ współrzędnych: Możemy dowolną funkcję czasu i przestrzeni zapisać jako: , gdzie:Δt-jednostkowy przyrost czasu,δ=Δx=Δy=Δz-przestrzenne stałe siatki symulacji. Przestrzenne i czasowe pochodne funkcji F można zapisać następująco: Metoda Finite Difference Time Domain Równania pochodnych są podstawiane do skalarnych równań Maxwella: Podstawowy element symulacji;komórka Yee Pakiet oprogramowania OptiFDTD Zintegrowany pakiet oprogramowania OptiFdtd skada się z trzech elementów: 1)OptiFdtd Designer •Umożliwia projektowanie układów fotonicznych 2- i 3-wymiarowych, przy użyciu interfejsu graficznego •Możliwość zastosowania języka skryptowego podczas projektowania bardziej złożonych struktur 2)OptiFdtd Simulator •Możliwość symulacji materiałów stratnych jak i idealnych przewodników, izo- i anizotropowych •Symulacja dla polaryzacji liniowej oraz kołowej •Możliwość śledzenia zmian rozkładu pola w czasie(dla określonego punktu lub linii) 3)OptiFdtd Analyser •Pełna wizualizacja otrzymanych rezultatów (zespolony rozkład pola E-M, wektor Poyntinga) •Możliwość eksportu rezultatów do plików tekstowych Schemat symulacji metodą FDTD Projekt struktury optycznej Propagacja fali płaskiej przez obiekt Rezultatem symulacji jest rozkład pola elektrycznego w postaci zespolonej Schemat procesu rekonstrukcji Obliczenie fazy mod2π faza=arctan(Im/Re) Uciąglanie fazyOdbywa się w kierunku propagacji światła. Rekonstrukcja tomograficzna przy użyciu transformaty Radona Skalowanie do współczynnika załamania n(x,y)=(Φ(x,y)*λ)/ (2π*dx)) Rezultaty-światłowód jednomodowy Refra ctive index symulacja pomiar rzeczywisty core 1 pixel=0.03µm [pixels] cladding 1 pixel=0.3µm [pixels] Rezultaty – rekonstrukcja włókien z małymi średnicami rdzeni Średnica płaszcza=16µm Rezultat rekonstrukcji Średnica rdzenia-zmienna Współczynnik załamania płaszcza=1.46 Współczynnik załamania rdzenia=1.47 Profil idealny Współczynnik załamania cieczy imersyjnej=1.47 Średnica rdzenia =6µm Średnica rdzenia=7µm Średnica rdzenia =5µm Średnica rdzenia =4µm Rezultaty – rekonstrukcja włókien z małymi średnicami rdzeni Średnica rdzenia =3µm Średnica rdzenia =2µm Średnica płaszcza=16µm Średnica rdzenia-zmienna Współczynnik załamania płaszcza=1.46 Współczynnik załamania rdzenia=1.47 Współczynnik załamania cieczy imersyjnej=1.47 Średnica rdzenia =1µm Rezultaty – rekonstrukcja kanałów Średnica kanału-zmienna d=0,1÷0,9µm Współczynnik załamania szkła n=1,46 w szkle, wypełnionych cieczą Współczynnik załamania cieczy imersyjnej=1.47 imersyjną 0,8µm 0,9µm 0,6µm 0,7µm 0,5µm Rezultaty – rekonstrukcja kanałów Średnica kanału-zmienna d=0,1÷0,9µm Współczynnik załamania szkła n=1,46 w szkle, wypełnionych cieczą Współczynnik załamania cieczy imersyjnej=1.47 imersyjną 0,4µm 0,2µm 0,3µm 0,1µm Rezultaty rekonstrukcji uproszczonej struktury typu holey fiber Struktura wejściowa: Parametry struktury: •Szkło niedomieszkowane n=1,46 •średnica D=10µm •Średnica kanałów d=0,5µm •Kanały są rozmieszczone równomiernie w odległości 5µm od środka struktury Rezultat rekonstrukcji: Zrekonstruowany profil Tomografia elastooptyczna Zasada pomiaru rozkładu współczynników załamania w tomografii elastooptycznej Akwizycja serii zestawów obrazów elastooptycznych (izokliny i izochromy) 100 100 200 200 300 300 400 400 500 200 300 400 500 500 100 100 600 100 600 100 200 300 400 500 600 700 800 900 600 1000 100 200 300 400 500 600 700 900 1000 100 200 300 400 300 400 200 500 600 700 800 900 200 300 400 200 600 700 800 900 1000 100 500 300 400 500 600 700 800 900 200 300 400 500 600 700 800 300 400 500 600 700 800 900 1000 100 200 300 400 zwyczajnego i nadzwyczajnego 1000 500 100 600 700 100 100 700 800 900 100 200 300 400 600 400 700 800 900 1000 700 800 900 1000 300 400 600 700 800 900 1000 100 200 500 600 700 800 900 1000 300 400 500 600 700 800 900 1000 500 600 300 600 200 500 500 200 500 600 1000 500 100 400 500 400 600 600 300 400 300 500 400 600 500 200 1000 300 200 400 300 500 900 100 300 200 400 800 200 600 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 100 200 300 400 500 600 w α Algorytm projekcji wstecznej-rekonstrukcja rozkładu opóźnienia fazowego Skalowanie do wartości różnic współczynników załamania 900 100 600 200 300 400 α =1°….180 ° 1000 500 100 200 300 900 600 100 100 600 200 800 500 1000 500 1000 200 100 700 400 600 200 600 400 500 100 900 500 300 400 600 800 400 200 300 100 600 700 300 400 300 600 200 200 400 500 1000 100 300 400 900 100 500 200 300 800 600 100 300 200 500 700 500 1000 100 400 600 100 600 200 500 400 500 100 100 Obliczenie zintegrowanego rozkładu opóźnienia fazowego 400 300 500 300 300 300 400 200 200 200 600 Δ(w,z,α) 800 200 100 100 z 100 n e no 2dx Circular polariscope and its mathematical representation Characteristic object parameters: Δ - phase retardation Φ – asimuth Mathematical representation of system, according to Jones calculus: U 1 01 i V 2 1i 1 i sin sin 2( ) cos i sin cos 2( ) cos i sin cos 2( ) i sin sin 2( ) 1 i cos 2 i sin 2 cos i sin 2 1 i cos 2 sin sin it ke , cos where: U - component of light vector perpendicular to polariser axis V - component of light vector parallel to polariser axis Integrated retardation calculation by phase shift method General output intensity equation: i im iv sin 2( ) cos2 iv sin 2 ) cos2( sin 2 Ψ β 0 π/4 Output intensity equations i1 ia ib cos •Azimuth i5 i3 1 arctan 2 i4 i6 0 3π/4 i2 ia ib cos 0 0 i3 ia ib sin sin • Phase retardation π/4 π/4 i4 ia ib cos sin π/2 π/2 (i i ) sin 2 (i4 i6 ) cos2 1 arctan 5 3 2 i1 i2 i5 ia ib sin sin 3π/4 3π/4 i6 ia ib cos sin Simulation of measurement process Distribution of birefringence in object: Polarized wave propagation (with FDTD algorithm) for various arrangements of polarizing elements 1 1 I(1) 0.5 um 0 1 -20 0 0.5 0.5 0 um 0 -20 20 1 I(4) 0 um -20 0 20 I(3) 20 um -20 0 20 1 I(6) I(5) 0.5 0.5 0.5 0 1 I(2) um 0 -20 0 20 um 0 -20 Intensity distributions for six discrete phase steps 0 20 Symulacja; obliczanie rozkładu opóźnienia - 2 Characteristic parameters Scaling of retardation Δ computation Δ – phase retardation to birefringence Δn 2 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 Δn Simulation FDTD Theoretical projection 1 0 um -2 θ – azimuth 0 -2 2 Tomographic reconstruction 0.2 0 -0.2 um -2 0 2 Δn -3 10 10 Distribution from FDTD simulation Theoretical distribution 5 0 -20 0 um 20 m 0 2 • Results of simulation – comparison of assumed profiles and profiles achieved by computer simulations Δ=0.01 Δ=0.02 Δ=0.04 Δ=0.05 Δ=0.07 Δ=0.03 Δ=0.06 Theoretical profiles Profiles derrived from simulations • Dependence of relative error of birefringence reconstruction on birefringence 25 Rerr 20 15 10 5 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 B Rerr=100%((Bsim-Btheor)/)Btheor), where Bsim is mean value of birefringence of reconstructed structure in area D, Btheor is mean value of theoretical birefringence in area D, assumed in simulation. • method gives relatively accurate results up to birefringence value of 0.03, above this value we observe abrupt increasing of error from 1.5% to 18% • due to cylindrical shape of structure and considerable refractive index difference between extraordinary index in domain D and outer area (Δn=0.04) sample works as cylindrical lens and for high B values disturbs measurement. Experimental setup LED- Led source P - polaryser λ/4 - quarter-wave plate, O - measured object, OB - microscopic objective, A - analyzer, L - imaging lens Experimental setup Measured objects Capillary 127μm ne no • Analysed objects are fibers with channels filled with liquid crystal • Due to viscosity forces liquid crystals are oriented paralelly to axis of capillary Experimental results-intensities for consequent phase steps Ψ=0 β=π/4 Ψ=0 β=3π/4 i1 ia ib cos i2 ia ib cos Ψ=0 β=0 Ψ=π/4 β=π/4 i3 ia ib sin sin i4 ia ib cos sin Ψ=π/2 β=π/2 i5 ia ib sin sin Ψ=3π/4 β=3π/4 i6 ia ib cos sin Experimental results 3 2.5 2 A A 1.5 1 0.5 0 -0.5 Modulo π phase retardation Unwrapped phase for A-A section 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Modulo π phase retardation for A-A section Sinogram of object Experimental results-birefringence profile 0.03 100 0.025 A-A 300 A A 400 500 600 birefringence 200 0.02 0.015 0.01 0.005 0 700 -0.005 800 100 200 300 400 500 600 700 [pixels] 1pixel=0.25um 0 100 200 300 400 500 600 800 [pixels] 1pixel=0.25um 700 800