Transcript Scattering by a Dielectric Cylinder of Arbitrary Cross Section Shape

Scattering by a Dielectric Cylinder of Arbitrary
Cross Section Shape, Jack H. Richmond
Fatih Erdem
İTÜ, Mart 2010
İçerik
• Elektromanyetik Dalgalar
• Düz ve Ters Elektromanyetik Saçılma Problemleri
• Method of Moments
• Dielektrik Silindirden Saçılma Probleminin MoM
ile çözümü
• Örnek Durumlar ve Sonuçlar
Elektromanyetik Dalgalar
• Değişen bir elektrik alan, değişen bir manyetik alan;
değişen bir manyetik alan, değişen bir elektrik alan
doğurur.
Zaman bölgesinde Maxwell Denklemleri
Frekans bölgesinde Maxwell Denklemleri
Bünye Bağıntıları
Dalga denklemi
Reduced Wave Equ
Düz ve Ters Elektromanyetik Saçılma
Problemleri
Düz Problem
Ters Problem
Method of Moments
• “Method of moments” veya “moment method” olarak
bilinen bu yöntem
denkleminin çözümünde kullanılan bir yöntemdir.
Burda L diferansiyel veya integro-diferansiyel operatör, u
bilinmeyen fonksiyon, f kaynak fonksiyonudur.
• Elektromanyetik problemlerde Moment yönteminin
kullanımı, 1965’te Richmond’un ve 1967’de Harrington’un
çalışmalarından sonra yayılmaya başlamıştır.
Method of Moments
Adımlar:
1. Çözülmek istenen denklem integral denklemine
dönüştürülür.
2. İntegral denklemi ayrıklaştırılarak matris formuna
getirilir.
3. Matris elemanları hesaplanır.
4. Matris denklem çözülür.
Dielektrik Silindirden Saçılma Probleminin
MoM ile çözümü
Sadece Ez bileşeni olan
bir dalga ile sonsuz
uzunluklu silindirik cisim
uyarılıyor.
Gelen dalga dielektrik silindir içinde “polarization current” akımlarını oluşturur.
Saçılan alanın kaynağı bu akım olarak düşünülebilir.
Polarizasyon akımı:
akım yoğunluğuna sahiptir.
Dielektrik Silindirden Saçılma Probleminin
MoM ile çözümü
• z eksenine paralel, çizgisel ve dI büyüklüklü bir akımın
dalga sayısı k olan bir ortamda ρ uzaklığında sebep
olduğu elektrik alan:
• Silindir içinde oluşan polarizasyon akımının sebep olduğu
elektrik alan(saçılan alan):
ε, komplex dielektrik sabiti.
Dielektrik Silindirden Saçılma Probleminin
MoM ile çözümü
burada (x,y) noktası gözlem noktası (x’,y’) noktası ise
kaynak noktasıdır.
• Bu ifadeyi kullanarak silindir içinde veya dışında saçılan
alanı bulabiliriz.
Dielektrik Silindirden Saçılma Probleminin
MoM ile çözümü
• Böylece 1. adım olan integral denklemimizi elde etmiş
olduk. 2. adımımızda bu integral denklemini ayrıklaştırarak
matris denklemine dönüştüreceğiz:
• Silindir içindeki E(x’,y’) ve εr değerleri x ve y değiştikçe
değişir, silindirin kesitini bu değerlerin değişmediğini
varsayabileceğimiz küçük hücrelere bölelim, hücre
boyutları için lambda*0.2/sqrt(εr) ve daha altı değerler
doğru sonuçlar vermektedir:
Dielektrik Silindirden Saçılma Probleminin
MoM ile çözümü
veya
Hücreler eşit boyutlarda
olmak zorunda değildir.
Hücrelere 1 den N ye kadar numara veririz ve m. hücre için integral denklemimiz:
Bu denklemi tüm hücreler için yazdığımızda N bilinmeyenli N denklem elde ederiz
Dielektrik Silindirden Saçılma Probleminin
MoM ile çözümü
Elde ettiğimiz N bilinmeyenli lineer denklem sisteminde bilinmeyenler sadece
hücrelerdeki elektrik alanlardır, yani En vektörü. Denklemlerde geçen
integralinin karesel bir alan boyunca integrali bulunamamıştır ancak dairesel bir
alan boyunca integrali hesaplanabilir. Karesel hücreleri aynı alanlı dairesel hücrelermiş
gibi varsaydığımızda ciddi bir hatanın oluşmadığı görülmüştür. Bir diğer problem;
gözlem noktası n. hücre olduğunda Hankel fonksiyonu argümanındaki ρ, 0
olduğundan integral sınırları içersinde tekillik oluşmaktadır. Bu durumlar göz önüne
alınarak a yarıçapılı dairesel hücre boyunca integral şu şekilde belirlenmiştir:
Dielektrik Silindirden Saçılma Probleminin
MoM ile çözümü
Denklemleri toparlarsak:
Bu hesaplamaları yapan kodda temel olarak neler olmalı?
Hücrelerdeki E alanları bulduğumuzda silindir dışında saçılan alan(Es) veya
toplam alanı(Es+Ei) kolayca bulabiliriz.
Örnek Durumlar ve Sonuçlar
• 0.4*lambda yarıçaplı, εr=4, dielektrik homojen silindir +x yönünden
gelen düzlem dalga ile uyarılıyor, tüm örneklerde lambda=0.1:
Hücre boyutları: 0.05*lambda
Hücre sayısı: 206
Örnek Durumlar ve Sonuçlar
• 0.4*lambda yarıçaplı, εr=4, dielektrik homojen silindir +x yönünden
gelen düzlem dalga ile uyarılıyor:
Hücre boyutları: 0.02*lambda
Hücre sayısı: 1274
Örnek Durumlar ve Sonuçlar
• Silindir içinde E alan dağılımı:
Örnek Durumlar ve Sonuçlar
• 0.25*lambda iç yarıçap 0.30*lambda dış yarıçaplı, εr=4, dielektrik
silindirik kabuk -x yönünden gelen düzlem dalga ile uyarılıyor:
Örnek Durumlar ve Sonuçlar
• 0.25*lambda iç yarıçap 0.30*lambda dış yarıçaplı, εr=4, dielektrik
homojen silindirik kabuk -x yönünden gelen düzlem dalga ile
uyarılıyor:
Örnek Durumlar ve Sonuçlar
• 0.4*lambda yarıçaplı, homojen(εr=4) ve
inhomojen(tumor εr=16) dielektrik silindir +x yönünden
gelen düzlem dalga ile uyarılıyor:
Örnek Durumlar ve Sonuçlar
• 0.4*lambda yarıçaplı, homojen(εr=4) ve
inhomojen(tumor εr=16) dielektrik silindir +x yönünden
gelen düzlem dalga ile uyarılıyor:
Kaynaklar
• Jack H. Richmond, “Scattering by a Dielectric Cylinder of
Arbitrary Cross Section Shape”, IEEE Trans. Antennas &
Propagations, 1965
• Sadiku, Matthew N. O., Numerical Techniques in
Electromagnetics, CRC Press
• Balanis C.A, Advanced Engineering Electromagnetics,
WILEY
Sorular & Görüşler
Teşekkür ederiz.