Transcript Document
Функции
Граница и непрекъснатост
на функции
Функцията f (x ) има граница lim f x L ,
x x
при x клонящо към дадена (крайна) т. x 0 , когато
за всяко положително число ε съществува
положително число δ, такова че за всяко x , за
което |x – x 0|< δ, функцията f (x ) е дефинирана
и |f (x ) – L|<ε.
0
Тоест, когато за всяко x , което е в достатъчно
малък интервал около x 0 съответната стойност
на функцията f (x ) е достатъчно близо до L (в
малък интервал около L), функцията f (x ) има
граница L.
f x L ,
Функцията f (x ) има граница lim
x
при x клонящо към + ∞, когато за всяко
положително число ε съществува положително
число N, такова че за x > N функцията f (x ) е
дефинирана и |f (x ) – L|<ε.
Граница на функция
Задача 1
2 1
x 3 2
2
3x 2 x 1
x x
lim 2
lim
3
x x x 5
x x 2 1 1 5
2
x
x
2
Рационална функция
При особеност x →± ∞ изнасяме най-високата
възможна степен, за да я съкратим.
3x 2 x 1 0 0 1 1
lim 2
x 0 x x 5
005 5
2
При x →0, тук няма
особеност.
Задача 2
2 2 3
4
x 1 2 3 4
4
2
x 2x x 3
x
x
x
lim 7
lim
0
3
x x x 5 x 1
x
1 5 1
7
x 1 4 6 7
x
x
x
Задача 3
5 2
4
x 1 3 4
4
x 5x 2
3
x
x
lim
lim
x
x
1
3x 1
x3
x
Задача 4
3x3
x2
3x3 3x3 3x 2 2
lim 2
lim
2
x 9 x 4
x
3x 2
9x 4
9
Задача 5
lim
x
lim
x
Ирационална функция
- Рационализираме особеността с формулата
4 x 2 1 4 x 2 x
A B
4 x2 1 4 x2 x
A B A B A2 B 2
A B
4 x2 1 4 x2 x
4 x2 1 4 x2 x
A B
A2 B2
4 x 2 1 4x 2 x
lim
x
1
1
x 4 2 4
x
x
x 1
1
lim
x 1 x 4 x
4
lim
x x 4
lim x 1 1
x 4 x 4
Задача 6
x2
x2
4
4
lim 4 x lim lim 4 x lim
x 2
x 2 x
x x 2 4 x 2
4
Тук няма особеност, замества се
1 8 2 7
директно граничната точка (-2).
Задача 7
2
3
x
3
x
3x 9 27
x 27
0
lim 2
lim
x 3 x 2 x 3
4
0 x3
x 3 x 1
При x=3 знаменателят става 0, т.е. особеността е (x-3) ,
която изваждаме като множител, за да я съкратим.
Задача 8
x 5x 4
lim
lim
2
x 2
x 2
x 4
4
2
2
2
x
1
x
4
x2 4
4 1
3
1
Задача 9
x3
lim ln x 3 ln x 5 lim ln
2
x
x
x 5
2
3
x 1
x3
x
ln lim
ln lim
ln1 0
2
x
x
5
x 5
x 1 2
x
Основни еквивалентности
sin x x, x 0
tg x x, x 0
arcsin x
arctg x
x, x 0
x, x 0
e 1 x, x 0
1 x 1 x, x 0,
x
ln 1 x
x, x 0
2
x
1 cos x
, x0
2
n
Pn a0 x , x
Pn
an , x 0
Pn
ln t
t 1, t 1
a0 x n a1 x n 1 ... an 1 x an
Основни граници
sin x
lim
1
x 0
x
arcsin x
lim
1
x 0
x
tg x
lim
1
x 0 x
arctg x
lim
1
x 0
x
x
x
1
lim 1 e
x
x
k
k
lim 1 e
x
x
ln 1 x
lim
1
x 0
x
ex 1
lim
1
x 0
x
Задача 10
sin 5 x
sin 5 x
sin 5 x
lim
1
lim
lim
55
x 0
x 0
x 0
5x
x
5x
Задача 11
2 x 1
3
x 1
2 x 1
x
x 3
lim
lim
x x 2
x
x 1 2
x
3
2
1
3
e6
e
x
10
lim
4 e
2
x
2
2
e
e
1
x
Задача 12
lim 1 cos x
x
2
cos x
lim 1 cos x
2
Задача 13
1 cos x
lim
lim
2
x 0
x 0
x
Задача 14
ln 1 x 2
x
2
1
2
cos x
e
2
lim 1 cos x
x
1
cos x
e
2
2
x
sin
2 lim 1
2 1
x 0 2
x
x2
2
4
2
4
2 x
2sin x
2
1 cos x 2sin
2
x
1
lim
lim
x 0 x sin 5 x
x 0 x5 x
5
ln 1 x 2
2
x2 , x 0
sin 5x 5x, x 0
Задача 15
x
cos x
cos x
lim
lim x cotg x lim x
x 0
x 0
sin x x0 sin x
sin x
1.limcos x 1
cos 0 1
x 0
lim
x 0
x
1
Задача 16
3
sin
x
1
cos
x
tg x sin x
x
1
lim
lim
lim 3
3
3
x 0
x 0
x 0 2 x
x
x
2
1 cos x
2
x
, x0
2
Непрекъснатост на функции
def : f (x ) – непрекъсната в т. x 0 D, ако
1) f x едефиниранавинтервала x0 , x0 , където 0.
f x f x0
2) xlim
x
f x lim f x0 lim f x0 f x0 .
3)xlim
x 0
x x 0
x x
0
0
0
0
def : f (x ) – непрекъсната отляво на т. x 0 , ако
lim f x f x0
x x0 0
def : f (x ) – непрекъсната отдясно на т. x 0 , ако
lim f x f x0
x x0 0
Теорема: Ако f (x ) е непрекъсната отляво и
отдясно на т. x 0 D , f (x ) е непрекъсната в т. x
0.
lim f x lim f x0 f x0
x x0 0
x x0 0
f x непрекъсната в точка x0
def : f (x ) – непрекъсната отляво на т. x 0 , ако
lim f x f x0
x x0 0
def : f (x ) – непрекъсната отдясно на т. x 0 , ако
lim f x f x0
x x0 0
Теорема: Всяка елементарна функция е
непрекъсната в дефиниционната си област.
def : f (x ) – елементарни функции са всички
функции, които се получават от основните ЕФ
чрез ± , . , : , ◦ ( композиция ).
x
x
,
a
,loga x,sin x,cos x,arcsin x,arccos x.
def : ОЕФ –
Видове точки на прекъсване:
1)
Точки на прекъсване от І род – ако
крайни, различни лява и дясна граници
lim f x lim f x .
2)
x x0 0
x x0 0
Точки на прекъсване от ІІ род – ако поне
f x или lim f x е или .
една отxlim
x 0
xx 0
0
3)
0
Отстранима точка на прекъсване, ако
lim f x lim f x f x0
x x0 0
x x0 0
или f x не е определена в точката x0 .
Задача 17
Да се изследва за непрекъснатост функцията и
да се начертае графиката.
x2 , 1 x 0
f x
x 1, 0 x 1.
Решение:
при 1 x 0, f x x 2 непрек. ЕФ
при 0 x 0, f x x 1 непрек. ЕФ
при x 0
lim f x lim x 2 0
точка x е точка на
x 0
x 0
lim f x lim x 1 1 прекъсване от I род.
x 0
x 0
Задача 18
Да се изследва за непрекъснатост функцията:
1
sin , x 0
f x x
x 0.
0,
Решение:
при x 0, f x sin 1
x
непрек. ЕФ
при x 0, lim f x lim sin 1
x
x 0
x 0
точка x 0 е точка на прекъсване от II род.
lim sin x, lim cos x
x
x
Задача 19
Да се намери стойността на a, така че f (x ) да
е непрекъсната за всяко x .
sin 3x
, x0
f x x
x 0.
a,
Решение:
sin 3x
при x 0, f x
непрек. ЕФ
x
Стойността на а трябва да е равна на границата
sin 3 x
a lim
3
x 0
x
sin 3x 3x, x 0
Задача 20
Да се намери стойността на a, така че f (x ) да
е непрекъсната за всяко x .
x sin 2 x
, x0
2
f x arctg 3 x
a,
x 0.
Решение:
при x 0, f x
lim
x 0
sin 2 x
arctg 3x
2
непрек. ЕФ
2
x sin 2 x
arctg 3x
x sin 2 x
2
2x
2
2
lim 2 a
x 0 9 x
9
9
2 x, x 0
arctg 3x
3x, x 0
Задача 21
Да се изследва за непрекъснатост функцията:
5
x, x 0 непрек. ЕФ
f x x 0, x 0
x, x 0 непрек. ЕФ
Решение:
3
2
1
-4
lim f x lim x lim x 0
x 0
x 0
x 0
lim f x lim x lim x 0
x 0
x 0
x 0
lim f x lim f x f 0 0
x 0
4
x 0
f x е непрек. в точка x 0
f x е непрек. за всяко x.
-2
2
4
Задача 22
Да се намери стойността на a, така че f (x ) да
е непрекъсната за всяко x .
1 cos x
, x 0 непрек. ЕФ
x
f x x
a,
x 0.
Решение:
при x 0
1 cos x
1 cos x
x2 1
x
lim
lim
lim
lim 0
x 0
x 0
x 0 2 x
x 0
x
x
2
2
1 cos x
1 cos x
x 1
x
lim
lim
lim
lim 0
x 0
x 0
x 0 2 x
x 0 2
x
x
a 0 за да бъде f x непрек. за всяко x.
1 cos x
x2 , x 0
2
Изчисление с Mathematica
Чрез функцията Limit f , x Infinity се пресмята символично
границата на функцията f , когато x клони към безкрайност.
Чрез функцията Limit f , x Infinity се пресмята символично
границата на функцията f , когато x клони към минус безкрайност.
Чрез функцията Limit f , x a се пресмята символично границата на
функцията f , когато x клони към а.
Plot f [ x],{x, a, b} - рисува графиката на функцията, описана с израза
f за независима променлива x в интервала [a; b].
Задача: Да се намери границата на
x 27
функцията f x
при x клонящо
x 2x 3
към 3.
3
2