Transcript Document

Функции
Граница и непрекъснатост
на функции
Функцията f (x ) има граница lim f  x   L ,
x x
при x клонящо към дадена (крайна) т. x 0 , когато
за всяко положително число ε съществува
положително число δ, такова че за всяко x , за
което |x – x 0|< δ, функцията f (x ) е дефинирана
и |f (x ) – L|<ε.
0
Тоест, когато за всяко x , което е в достатъчно
малък интервал около x 0 съответната стойност
на функцията f (x ) е достатъчно близо до L (в
малък интервал около L), функцията f (x ) има
граница L.
f  x  L ,
Функцията f (x ) има граница lim
x 
при x клонящо към + ∞, когато за всяко
положително число ε съществува положително
число N, такова че за x > N функцията f (x ) е
дефинирана и |f (x ) – L|<ε.
Граница на функция
Задача 1
2 1 

x 3  2 
2
3x  2 x  1   
x x 

lim 2
    lim
3
x  x  x  5
   x  x 2 1  1  5 

2 
x
x


2
Рационална функция
При особеност x →± ∞ изнасяме най-високата
възможна степен, за да я съкратим.
3x  2 x  1 0  0  1 1
lim 2


x 0 x  x  5
005 5
2
При x →0, тук няма
особеност.
Задача 2
2 2 3
4
x 1  2  3  4 
4
2
x  2x  x  3
x
x
x 

lim 7
 lim
0
3
x  x  x  5 x  1
x 
1 5 1 
7
x 1  4  6  7 
x
x
x 

Задача 3
5 2 
4
x 1  3  4 
4
x  5x  2
3
x
x 

lim
 lim
     
x 
x 
1
3x  1

x3 
x

Задача 4
 3x3
x2 
3x3  3x3  3x 2 2
lim  2

     lim


2
x  9 x  4
x 
3x  2 
9x  4
9

Задача 5
lim
x 


lim
x 
Ирационална функция
- Рационализираме особеността с формулата
4 x 2  1  4 x 2  x      

A B
4 x2 1  4 x2  x
 A  B  A  B   A2  B 2
A B

4 x2 1  4 x2  x
4 x2 1  4 x2  x

A B
A2  B2
4 x 2  1  4x 2  x
lim
x 

1
1
x  4 2  4 
x
x

x 1
1

 lim


x  1  x  4 x
4
  lim

x  x 4
 lim x  1  1
 x  4 x 4
Задача 6
 x2
 x2 
4
4
lim   4 x    lim    lim  4 x   lim   
x 2
x 2 x
x  x 2  4  x 2
 
 4
Тук няма особеност, замества се
1 8  2  7
директно граничната точка (-2).
Задача 7
2
3
x

3
x
    3x  9 27
x  27
0
lim 2
    lim

x 3 x  2 x  3
4
 0  x3
 x  3  x  1
При x=3 знаменателят става 0, т.е. особеността е (x-3) ,
която изваждаме като множител, за да я съкратим.
Задача 8
x  5x  4
lim
 lim
2
x 2
x 2
x 4
4
2
2
2
x

1
x
    4
x2  4
4 1

3
1
Задача 9



x3 
lim ln  x  3  ln x  5  lim  ln


2
x 
x 
x 5 

2

 3
x 1   


x3 
x


 ln  lim
 ln lim
 ln1  0

2
x 
x 

5 
x 5 

x 1 2 

x 

Основни еквивалентности
sin x x, x  0
tg x x, x  0
arcsin x
arctg x
x, x  0
x, x  0
e 1 x, x  0

1  x   1  x, x  0,  
x
ln 1  x 
x, x  0
2
x
1  cos x
, x0
2
n
Pn a0 x , x  
Pn
an , x  0
 Pn
ln t
t  1, t  1
a0 x n  a1 x n 1  ...  an 1 x  an 
Основни граници
sin x
lim
1
x 0
x
arcsin x
lim
1
x 0
x
tg x
lim
1
x 0 x
arctg x
lim
1
x 0
x
x
x
 1
lim 1    e
x 
 x
 k
k
lim 1    e
x 
 x
ln 1  x 
lim
1
x 0
x
ex 1
lim
1
x 0
x
Задача 10
sin 5 x
sin 5 x
sin 5 x
lim
1
lim
 lim
55
x 0
x 0
x 0
5x
x
5x
Задача 11
2 x 1
  3
x 1   
2 x 1

x
 x 3


lim 
 lim


x  x  2
x 
 x 1  2  


  x

 
 3
2
1

3

 e6
e 

x

10

lim
 4 e
2
x  
2
2
 e
e
 
1  
 x
Задача 12
lim 1  cos x 
x 
2
cos x
 lim 1  cos x 
2
Задача 13
1  cos x
lim
 lim
2
x 0
x 0
x
Задача 14
ln 1  x 2 
x 
2
1
2
cos x
e
2
lim 1  cos x 
x 
1
cos x
e
2
2
x 

sin
2  lim 1 
2  1
x 0 2 
x
x2
2

4

2 
4
2 x
2sin x
2
1  cos x  2sin
2
x
1
lim
 lim

x 0 x sin 5 x
x 0 x5 x
5
ln 1  x 2 
2
x2 , x  0
sin 5x 5x, x  0
Задача 15
x
cos x
cos x 
 lim
lim x cotg x  lim x
x 0
x 0
sin x x0 sin x
sin x
1.limcos x  1
cos 0  1
x 0
lim
x 0
x
1
Задача 16
3
sin
x
1

cos
x


tg x  sin x
x
1
lim
 lim
 lim 3 
3
3
x 0
x 0
x 0 2 x
x
x
2
1  cos x
2
x
, x0
2
Непрекъснатост на функции
def : f (x ) – непрекъсната в т. x 0 D, ако
1) f  x едефиниранавинтервала  x0   , x0    , където   0.
f  x   f  x0 
2) xlim
x
f  x   lim f  x0   lim f  x0   f  x0  .
3)xlim
x 0
x x 0
x x
0
0
0
0
def : f (x ) – непрекъсната отляво на т. x 0 , ако

lim f  x   f  x0 
x  x0 0
def : f (x ) – непрекъсната отдясно на т. x 0 , ако

lim f  x   f  x0 
x  x0  0
Теорема: Ако f (x ) е непрекъсната отляво и
отдясно на т. x 0 D , f (x ) е непрекъсната в т. x
0.
lim f  x   lim f  x0   f  x0 
x  x0  0
x  x0  0
 f  x  непрекъсната в точка x0
def : f (x ) – непрекъсната отляво на т. x 0 , ако

lim f  x   f  x0 
x  x0 0
def : f (x ) – непрекъсната отдясно на т. x 0 , ако

lim f  x   f  x0 
x  x0  0
Теорема: Всяка елементарна функция е
непрекъсната в дефиниционната си област.
def : f (x ) – елементарни функции са всички
функции, които се получават от основните ЕФ
чрез ± , . , : , ◦ ( композиция ).

x
x
,
a
,loga x,sin x,cos x,arcsin x,arccos x.
def : ОЕФ –
Видове точки на прекъсване:
1)
Точки на прекъсване от І род – ако 
крайни, различни лява и дясна граници
lim f  x   lim f  x  .
2)
x  x0  0
x  x0  0
Точки на прекъсване от ІІ род – ако поне
f  x  или lim f  x  е  или .
една отxlim
x 0
xx 0
0
3)
0
Отстранима точка на прекъсване, ако
lim f  x   lim f  x   f  x0 
x  x0  0
x  x0  0
или f  x  не е определена в точката x0 .
Задача 17
Да се изследва за непрекъснатост функцията и
да се начертае графиката.
 x2 , 1  x  0
f  x  
 x  1, 0  x  1.
Решение:
при  1  x  0, f  x   x 2  непрек. ЕФ
при 0  x  0, f  x   x  1  непрек. ЕФ
при x  0
lim f  x   lim x 2  0
 точка x е точка на

x 0
x 0

lim f  x   lim  x  1  1 прекъсване от I род.
x 0
x 0

Задача 18
Да се изследва за непрекъснатост функцията:
 1
sin , x  0
f  x   x

x  0.
0,
Решение:
при x  0, f  x   sin 1
x
 непрек. ЕФ
при x  0, lim f  x   lim sin 1   
x
x 0
x 0
точка x  0 е точка на прекъсване от II род.
 lim sin x,  lim cos x
x 
x 
Задача 19
Да се намери стойността на a, така че f (x ) да
е непрекъсната за всяко x .
 sin 3x
, x0

f  x   x

x  0.
 a,
Решение:
sin 3x
при x  0, f  x  
 непрек. ЕФ
x
Стойността на а трябва да е равна на границата
sin 3 x
a  lim
3
x 0
x
sin 3x 3x, x  0
Задача 20
Да се намери стойността на a, така че f (x ) да
е непрекъсната за всяко x .
 x sin 2 x
, x0
2

f  x     arctg 3 x 
 a,
x  0.

Решение:
при x  0, f  x  
lim
x 0
sin 2 x
 arctg 3x 
2
 непрек. ЕФ
2
x sin 2 x
 arctg 3x 
x sin 2 x
2
2x
2
2
 lim 2   a 
x 0 9 x
9
9
2 x, x  0
arctg 3x
3x, x  0
Задача 21
Да се изследва за непрекъснатост функцията:
5
 x, x  0  непрек. ЕФ

f  x   x  0, x  0
 x, x  0  непрек. ЕФ

Решение:
3
2
1
-4
lim f  x   lim x  lim   x   0 

x 0
x 0
x 0

lim f  x   lim x  lim x  0 
x 0
x 0
x 0

lim f  x   lim f  x   f  0   0
x 0
4
x 0
 f  x  е непрек. в точка x  0
 f  x  е непрек. за всяко x.
-2
2
4
Задача 22
Да се намери стойността на a, така че f (x ) да
е непрекъсната за всяко x .
1  cos x
, x  0  непрек. ЕФ
 x
f  x  x  
 a,
x  0.

Решение:
при x  0

1  cos x
1  cos x
x2 1
 x
lim
 lim
 lim
 lim     0 
x 0
x 0
x 0 2  x
x 0
x
x
 2


2
1  cos x
1  cos x
x 1
x
lim
 lim
 lim
 lim    0 

x 0
x 0
x 0 2 x
x 0 2
x
x
 

a  0 за да бъде f  x  непрек. за всяко x.
1  cos x
x2 , x  0
2
Изчисление с Mathematica
Чрез функцията Limit  f , x  Infinity се пресмята символично
границата на функцията f , когато x клони към безкрайност.
Чрез функцията Limit  f , x  Infinity се пресмята символично
границата на функцията f , когато x клони към минус безкрайност.
Чрез функцията Limit  f , x  a се пресмята символично границата на
функцията f , когато x клони към а.
Plot  f [ x],{x, a, b} - рисува графиката на функцията, описана с израза
f за независима променлива x в интервала [a; b].
Задача: Да се намери границата на
x  27
функцията f  x  
при x клонящо
x  2x  3
към 3.
3
2