Transcript (2): Graphe conceptuel

Graphes Conceptuels
J.F. Baget Inria
Objectifs

Faire de la représentation de connaissance
avec des graphes et des opérations de
graphes
–
–
RdC: langage formel, syntaxe, sémantique,
mécanisme d’inférence
Graphes: syntaxe graphique et mécanismes
d’inférences par opérations de graphes (ici
homomorphismes)
Plan

Prélude
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–



Homomorphismes de graphes
Logiques, théorie des modèles
Graphes Conceptuels: syntaxe
Graphes Conceptuels: sémantique
Graphes Conceptuels: projection
Coloration de graphe

K-coloration:
associer à chaque
sommet une des
couleurs {1, ..., K}
de façon à ce que
tous les voisins
aient une couleur
différente.
Homomorphisme de graphe

Homomorphisme:
H
associer à chaque sommet
de H un sommet de G de
façon à ce que si x et y sont
deux sommets voisins de H,
alors leurs images sont
voisines dans G.
Exercice: il existe un
homomorphisme de H
dans G et de G dans H
G
Coloration et homomorphismes


Propriété: G est K-colorable ssi il existe un
homomorphisme de G dans Kn (le graphe
complet à n sommets)
D’où le terme de classe de coloration:
classe(G) = {H | il existe un homomorphisme
de H dans G}
Exercice: quelle est la classe des graphes suivants?

Une propriété utile

Propriété: la composition de deux
homomorphismes est un homomorphisme.
Exercice: preuve
Logique (version abstraite)

Logique L = (F, I, M)
–
–
–


F est un ensemble de formules (syntaxe)
I est un ensemble d’interprétations
(sémantique)
MFxI
(f, i)  M se lit « i est un modèle de f » (la
formule f est vraie dans le monde i)
f est conséquence sémantique de f’ (f’ ├ f) si
tous les modèles de f’ sont des modèles de f.
Exemple 1
forme
rectangle
bleu
ovale
vert
ovale vert
ovale bleu
rectangle bleu
rectangle vert
Exercice: voir que
rectangle vert ├ rectangle
Exemple 2: Logique des propositions


Soit A un ensemble d’atomes
SYNTAXE
–
–

a  A est une formule (un atome)
si f et f’ sont deux formules, alors (f et f’), (f ou f’), et
(non f) sont des formules.
SEMANTIQUE
–
–
Une interprétation est une application de A dans
{Vrai, Faux}
(f, i)  M ssi la substitution des atomes a de f par
leur interprétation i(a) a pour valeur Vrai
Mécanismes d’inférences




Soit L = (F, I, M) une logique
Soit ► une relation sur F x F
La relation ►est dite correcte par rapport à L
ssi f ► f’  f ├ f’.
La relation ►est dite complète par rapport à
L ssi f ├ f’  f ► f’.
Exercice: dessiner le graphe de la relation ►
(i.e. ├) pour la logique de l’exemple 1.
Preuve de correction et complétude



Pour calculer la conséquence sémantique, on veut
être plus efficace que: « pour chaque modèle de f,
voir que c’est aussi un modèle de f’ » (en particulier,
ce nombre peut être infini)
Donc on exhibe un algorithme pour calculer une
relation binaire sur les formules, et on prouve la
correction et la complétude de cette relation.
Ici, un schéma de preuve qui sera utilisé pour les
graphes conceptuels.
Un schéma de preuve




Soit L = (F, I, M) une logique
Soit C un ensemble (ens. de codage), tf: F →
C et ti: I → C
Soit ► une relation sur C x C
Soient les trois propriétés suivantes:
–
–
–
(P1) ► est transitive
(P2) (f, i)  M ssi ti(i) ► tf(f)
(P3) qqsoit f  F, il existe un modèle i de f avec
tf(f) ► ti(i)
Schéma de preuve (suite)

Théorème: si (P1) et (P2) sont vérifiées,
alors ► est correct par rapport à L. Si, de
plus, (P3) est vérifié, alors ► est complet par
rapport à L.
Démonstration (correction)






1) Supposons f, f’ deux formules
et tf(f) ► tf(f’)
2) Si f n’a pas de modèle, alors f
├ f’, sinon soit i un modèle de f.
3) On a ti(i) ► tf(f) (P2)
4) Donc ti(i) ► tf(f’) (P1)
5) Donc i est un modèle de f’
(P2)
6) Donc f ├ f’
tf(f’)
1)
tf(f)
4)
3)
ti(i)
Démonstration (complétude)





1) Supposons f, f’ deux formules
et f ├ f’
2) Tous les modèles de f sont
des modèles de f’
3) En particulier il existe un
modèle i de f avec tf(f) ► ti(i)
(P3)
4) Comme i est aussi un modèle
de f’ (2), alors ti(i) ► tf(f’) (P2)
5) Donc tf(f) ► tf(f’) (P1)
tf(f’)
5)
tf(f)
4)
3)
ti(i)
Graphes conceptuels [Sowa,84]



Syntaxe
Sémantique
Mécanisme d’inférence
Syntaxe (1): Le support
Support S = (TC, TR = (TR1, ..., TRk), M, conf)
 TC, TR1, ..., TRk sont des ensembles
partiellement ordonnés, 2 à 2 disjoints
–
–


TC est l’ensemble des types de concepts
TRi est l’ensemble des types de relations d’arité i.
M est l’ensemble des marqueurs individuels
conf: M → TC est la relation de conformité.
Exemple de support
TR2
TC
All
animal
chat
mange
nourriture
souris
croquettes
croquettes de souris
regarde
TR3
apporte
M = {Mickey}
conf(Mickey) = souris
Syntaxe (2): Graphe conceptuel

Graphe conceptuel sur un support S, G = (V,
H, , ) avec:
–
–
–
–
V un ensemble de sommets
H un ensemble d’hyperarcs
: H → V+ associe à chaque hyperarc ses
extremités
 étiquette chaque sommet par un élément de TC
x (M  {*} ) (type et marqueur – individuel ou
générique); et chaque hyperarc d’arité k par un
élément de TRk. Notons que si un sommet a un
marqueur individuel m, alors son type est conf(m).
Exemple
2
chat: *
regarde
1
mange
3
1
croquettes: *
souris: Mickey
1
2
apporte
2
Sémantique (1): interprétation du
support


Soit S = (TC, TR = (TR1, ..., TRk), M, conf) un
support
Une interprétation de S est une structure (D,
ic, i1, ..., ik, im) où:
–
–
–
–
D est un ensemble (le domaine)
im: M → D
ic: TC → 2D
ij: TRj → 2Dj
Exemple d’interprétation
animal
all
nourriture
Mickey
souris
im
croquettes
chat
ic
croquettes de souris

D
Exemple d’interprétation (suite)
 i2(regarde)
 i2(mange)
= {(
= {(
 i3(apporte)
= {(
,
), (
,
)}
,
,
,
)}
)}
Modèle d’un support

Une interprétation (D, ic, i1, ..., ik, im) est un
modèle d’un support (TC, TR = (TR1, ..., TRk),
M, conf) ssi:
–
–
t <= t’  i(t)  i(t’) (concepts ou relations)
i(m)  ic(conf(type(m)))
Exercice: voir que l’interprétation de l’exemple
est un modèle du support.
Modèle d’un graphe conceptuel

Une modèle (D, ic, i1, ..., ik, im) d’un support
S est un modèle d’un graphe G = (V, H, , )
ssi il existe : V → D tq:
–
–
–
si v est un sommet individuel de marqueur m, (v)
= im(marqueur(v))
si v est un sommet, (v)  ic(type(v))
si (h) = (v1, ..., vk), alors ((v1), ..., (vk)) 
ik(type(h))
Exercice: voir que l’interprétation de l’exemple
est un modèle du graphe conceptuel.
Projection

Soient G et H deux graphes conceptuels sur
S. Une projection de H dans G est une
application : V(H) → V(G) telle que:
etiq((v)) <= etiq(v) (ordre produit sur ordre de TC
et * plus générique que marqueurs individuels,
eux-même 2 à 2 incomparables)
– Pour tout h de H, avec (h) = (v1, ..., vk), il existe
h’ dans G avec (h) = ((v1), ..., (vk)) et type(h’)
<= type(h)
Exercice: voir que c’est bien une généralisation de
Homomorphisme de graphe (d’où NP-complétude).
–
Exemple: projection
2
chat: *
regarde
Exercice: trouver une
projection de ce
graphe dans l’exemple
précédent.
3
1
nourriture: *
souris: *
1
apporte
2
Forme normale

Un graphe conceptuel est dit sous forme
normale si deux sommets individuels
distincts ont toujours des marqueurs
différents.

Un graphe conceptuel G est mis sous sa
forme normale nf(G) en fusionnant les
sommets individuels ayant même marqueur.
Théorème

H est conséquence sémantique de G si et
seulement si il existe une projection de H
dans nf(G).

Preuve: on va utiliser le shéma de preuve
précédent.
–
–
C: graphes et interprétations sont codés par des
graphes
►: homomorphisme
Transformations tf et ti



C: ensemble de graphes conceptuels
tf: c’est l’identité
ti: construire le graphe G(i) de la façon suivante
–
associer à chaque élément d de D un sommet s(d).


–
Le type d’un sommet s(d) est la conjonction des types t tels
que d  ic(t)
Le marqueur d’un sommet s(d) est l’ensemble des
marqueurs m tels que im(m) = d.
pour 1 <= j <= K, pour t  TRj, pour chaque (d1, ...,
dK)  ij(t), rajouter un hyperarc h avec (h) = (s(d1),
..., s(dK)) et type(h) = t.
Exemple: graphe conceptuel d’une
interprétation
2
regarde
1
chat: *
mange
1
regarde
3
2
2
croquettes: *
souris: Mickey
1
1
apporte
2