Transcript Graphes

Petite introduction thématique
à la théorie des graphes
Dominique Barth, PRiSM-UVSQ
Plan
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Introduction et concepts de base
Coloration de graphes
Planarité
Comparaison de graphes
Conclusion
Introduction et concepts de
base
Graphes : relation (application de V*V dans {Vrai,Faux})
Graphe de la relation, matrice d’adjacence, listes par extension
(vrai) graphe orienté
Graphe orienté symétrique
- Degrés
- Distances, diamètre
- Chaine, chemin, cycle, circuits
- Connexité, forte-connexité, k-connexité
- pondération, étiquetage
Graphe non-orienté
Coloration de graphes
G=(V,E), graphe non-orienté
Coloration de G: application f de V dans un ensemble de couleurs
Coloration propre : (u,v) une arête de E implique f(u) différent de f(v)
Taille d’une coloration(propre) : cardinal de f(V)
Nombre chromatique de G : taille minimum d’une coloration propre de G
Une coloration du graphe de Petersen avec 3 couleurs.
Problème historique des 4 couleurs
Théorème : Un graphe est 2-coloriable ssi il ne contient pas de cycles de
longueur impaire.
2
5
1
1
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1
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Théorème : Décider si un graphe peut ou non être colorié avec au plus
3 couleurs est un problème NP-complet
Difficulté d’un problème : plus petite complexité d’un algorithme le résolvant
Taille d’un problème : nombre de sommets, de liens
Complexité
Linéaire
Polynomial (deg. 4)
Exponentiel
Factoriel
Nombre de données
traitées / 24h
1 million
4000
150
12
processeur x 1000
x1000
x2
+20
+2
}
Classe P
Classe P: problèmes « faciles », pouvant être résolus en temps polynomial fonction
du nombre de sommets et d’arêtes.
Classe NP: problèmes pour lesquels pour chaque instance, vérifier si une solution
possible est une solution réalisable ou optimale est « facile » (d’où
algorithme exponentiel). Contient la classe P.
Problème NP-complet : problème X de NP tel que tout autre problème de NP
peut de facon « facile » se ramener à un sous-problème de X (donc,
problèmes les plus durs de NP).
Hiérarchie de classes de problèmes
Question : P=NP ?
Si un des problèmes NP-complet est dans P, alors P=NP
Savoir si un problème est NP-complet :
« Si un problème X est au moins aussi difficile qu’un problème connu
comme étant l’un des plus difficiles (NP-complet) alors X est aussi
un des problèmes les plus difficiles (NP-complet). »
Que faire si un problème est NP-complet :
- Heuristiques polynomiales
- Approximation, garanties de performances
- Liens entre invariants et complexité
Théorème : Décider si un graphe peut ou non être colorié avec au plus
3 couleurs est un problème NP-complet
Problème : enchevêtrement de cycles
5
7
4
3
2
3
Invariant de complexité : largeur arborescente (calcul NP-complet)
Planarité
Graphe planaire : graphe que l’on peut dessiner sur un plan (une sphère)
Sans que deux arêtes ne se croisent
K3 oui
K4 oui
K5 non
K3,3 non
?
Graphe homéomorphe à
Théorème (Kuratowski ) : Un graphe est planaire ssi il n’est homéomorphe
ni à K5, ni à K3,3
Décider si un graphe est planaire est dans P.
Carte planaire : dessin planaire d’un graphe planaire
= caratérisation par un graphe + parcours des arêtes décrivant les faces
Comparaisons de graphes
Morphisme d’un graphe G=(V,E) dans un graphe H=(V’,E’) :
Application f de V dans V’ tel que (u,v) dans E implique (f(u),f(v)) dans E’.
f est un isomorphisme ssi f est une bijection (donc l’inverse de f est un
(iso)morphisme)
Graphe G Graphe H
Isomorphisme
entre G et H
ƒ(a) = 1
ƒ(b) = 6
ƒ(c) = 8
ƒ(d) = 3
ƒ(g) = 5
ƒ(h) = 2
ƒ(i) = 4
ƒ(j) = 7
f est un automorphisme ssi f est un isomorphisme et G=H
- groupe d’automorphismes d’un graphe,
- classes d’équivalence de sommets,
- symétries (involutions)
- graphes sommet-transitifs
f homéomorphisme ssi isomorphisme – injectivité (contraction de V dans V’)
(puis notion de mineur)
Graphe homéomorphe à
Comparaison de sous-graphes : plus grand sous-graphes de G
Et de H qui ont la propriété de morphisme visée.
Plongement de graphes: f:V -> V’, injectif.
Critère : minimiser dist(f(u),f(v)) pour tout (u,v) de E
Transformation (édition, mineur) d’un graphe à un autre en minimisant
Le nombre d’opérations élémentaires
Conclusion
Question : un graphe est-il « rond » ou « long »?
1. Existe-t-il un critère mesurable pour cette question? Est-il « facile » à calculer?
2. Si non, utilisation de critères croisés :
- Excentricité moyenne (calcul polynomial)
- Taille de séparateur (NP-complet, critère négatif)
- Heuristique de largeur de bande
Petites introductions pour futurs MoDiMo :
Théorie des jeux, combinatoire,…
Excentricité
7
2
8
5
9
1
3
6
Largeur de bande 4
10
Séparateur
11