Transcript GRAPHES DE PERMUTATION CIRCULAIRE ET PROBL

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GRAPHES DE PERMUTATION CIRCULAIRE ET PROBLEMES
D’OPTIMISATION ET DIMENSION D’ORDRE
VINCENT LIMOUZY
Sujet
L’objectif de ce stage est de se familiariser avec les graphes d’intersections, en
particulier nous porterons notre attention sur une famille bien particuli`ere que
sont les graphes de permutation circulaires. On s’int´eressera `a des probl`emes
d’optimisations, Hamiltonicit´e et Domination, qui restent ouvert pour cette classe
de graphes.
Un graphe non-orient´e est un graphe de permutation circulaire, si il existe deux
permutations de X = {1, . . . , n} π1 et π2 dispos´ees le long de deux cercles concentriques. Pour chaque ´el´ement x de X on connecte dans le mod`ele un filament
reliant l’´el´ement x de π1 et l’´el´ement x de π2 . Un graphe est un graphe de permutation circulaire si il est le graphes d’intersection des filaments de deux permutations
circulaires π1 et π2 .
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Figure 1. Un cycle, repr´esentation sous forme de permutation
circulaire et mod`ele d’inclusion d’arc circulaire
Les graphes de permutations circulaires sont ´equivalent aux graphes d’inclusion
d’arcs circulaires. (i.e. chaque sommet peut ˆetre repr´esent´e par un arc circulaire, et
deux sommets sont adjacents si l’arc repr´esentant un sommet contient enti`erement
l’arc repr´esentant l’autre sommet). De fait, ces graphes font partie d’un famille
de graphes plus importante que sont les graphes de comparabilit´e (graphes pour
lesquels il est possible d’orienter les arˆetes de fa¸con `a repr´esenter un ordre partiel).
La reconnaissance de ces graphes peut ˆetre effectu´e en temps lin´eaire [3] en se
ramenant au probl`eme de la reconnaissance d’un graphe de permutation.
De par leur appartenance aux graphes de comparabilit´e, de nombreux probl`emes
d’optimisations peuvent ˆetre calcul´e en temps polynomial (e.g. clique maximum,
coloration, ...). Par contre, les probl`emes du chemin Hamiltonien et du dominant
minimum restent ouverts sur cette classe.
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Un autre param`etre qui a un rˆole pr´epond´erant pour les graphes de comparabilit´e est la dimension d’ordre. La dimension d’ordre ´etant le nombre minimum
d’extension lin´eaires d’un ordre partiel P, tel que l’intersection de ces extensions
lin´eaires code exactement P.
Les graphes de permutations circulaires ´etant une g´en´eralisation des graphes de
permutations [1]. Les graphes de permutation ´etant identifi´es comme les graphes
de comparabilit´e de dimension d’ordre inf´erieur ou ´egale `a 2. Il est naturel de se
demander si:
- La dimension d’ordre de ces graphes est born´ee par une constante [2] ?
- Calculer la dimension d’ordre pour cette classe est polynomial ?
Encadrement
Le stage se d´eroulera au Limos http://limos.isima.fr `a Clermont-Ferrand
sous la direction de V. Limouzy.
References
1. Martin C. Golumbic, Algorithmic graph theory and perfect graphs: Second edition, Elsevier,
2004.
2. Jeremy P. Spinrad, Efficient graph representations, American Mathematical Society, 2003.
3. R. Sritharan, A linear time algorithm to recognize circular permutation graphs, Networks 27
(1996), no. 3, 171–174.
Limos - Univ. Blaise Pascal - Clermont-Ferrand
E-mail address: [email protected]