Transcript L3STCF_Bloc1_Graphes_S1

Aide à la décision
Bloc1 : Théorie des graphes et
problèmes d’ordonnancement
Mohamed Ali Aloulou
[email protected]
Une partie de ces transparents a été élaborée en se basant sur le document de
Pierre Lopez, LAAS, Toulouse
http://www.laas.fr/~lopez/cours/GRAPHES/graphes.html
Plan du bloc 1
1. Qu’est ce qu’on peut faire avec la théorie
des graphes ?
2. Concepts généraux en théorie des
graphes
3. Le problème du plus court chemin
4. Problème central de l’ordonnancement
http://www.lamsade.dauphine.fr/~aloulou/cours/L3STCF/
Pourquoi la théorie des graphes ?
• Modélisation
– Plusieurs problèmes dans différentes
disciplines (chimie, biologie, sciences
sociales, applications industrielles, …)
– Un graphe peut représenter simplement la
structure, les connexions, les cheminements
possibles d’un ensemble complexe
comprenant un grand nombre de situations
• Un graphe est une structure de données
puissante pour l’informatique
Exemples
1. Concepts généraux en théorie
des graphes
•
•
•
•
•
•
Définitions
Représentations d’un graphe
Notions de base
Graphes particuliers
Algorithme de détection de circuits
Algorithme vérifiant qu’un sommet est
racine (ou pas) d’un graphe
• Concepts généraux en théorie des graphes
Définitions
• Concepts orientés
– Un graphe G(X,U) est
déterminé par
Arc u=(xi,xj)
boucle
• Un ensemble X={x1,…,xn} de
sommets
• Un ensemble U={u1, …, um} du
produit cartésien X×X d’arcs.
– Un p-graphe : pas plus que
p arcs (xi,xj)
3-graphe
1-graphe = graphe
• Concepts généraux en théorie des graphes
Définitions
• Graphes et applications multivoques
– xj est successeur de xi si (xi,xj)U
– L’ensemble des successeurs de xi est noté
(xi)
– L’ensemble des prédécesseurs de xi est noté
-1(xi)
  est appelée une application multivoque
• Pour un 1-graphe, G peut être
parfaitement déterminé (ou caractérisé)
par (X,)
• Concepts généraux en théorie des graphes
Définitions
• Concepts non orientés
– On s’intéresse à l’existence d’arcs entre deux
sommets sans en préciser l’ordre
– Arc = arête
– U est constitué de paires non pas de couples
– Multigraphe : plusieurs arêtes entre deux
sommets
– Graphe simple = non multigraphe + pas de
boucles
• Concepts généraux en théorie des graphes
Représentations d’un graphe
1. Matrice d’adjacence
Place mémoire : n²
Pour un graphe numérisé : remplacer 1 par la valeur de l’arc
• Concepts généraux en théorie des graphes
Représentations d’un graphe
2. Matrice d’incidence sommets-arcs
Place mémoire : n x m
• Concepts généraux en théorie des graphes
Représentations d’un graphe
3. Listes d’adjacence
Place mémoire : n+1+m
• Concepts généraux en théorie des graphes
Représentations d’un graphe
4. Dictionnaire des suivants / préédents
• Concepts généraux en théorie des graphes
Notions de base
• Concepts généraux en théorie des graphes
Notions de base
• Concepts généraux en théorie des graphes
Notions des base
• Chaîne – Cycle
• Chemin – Circuit
• Ascendant – descendant – racine – anti-racine
• Concepts généraux en théorie des graphes
Connexité dans les graphes
• Le terme parcours regroupe les chemins, les
chaînes, les circuits et les cycles
• Un parcours peut être
– élémentaire : tous les sommets sont distincts
– simple : tous les arcs sont distincts
– hamiltonien : passe une fois et une seule par chaque
sommet
– eulérien : passe une fois et une seule par chaque arc
– préhamiltonien : ou moins une fois par chaque
sommet
– préeulérien : au moins une fois par chaque arc
• Concepts généraux en théorie des graphes
Connexité dans les graphes
• Exemple
– Le problème du voyageur de
commerce : un voyageur de
commerce doit visiter n villes
données en passant par chaque
ville exactement une fois et doit
revenir à la ville de départ.
Trouver un circuit hamiltonien de
coût minimal dans un graphe valué
• Concepts généraux en théorie des graphes
Connexité dans les graphes
• Connexité
• Concepts généraux en théorie des graphes
Connexité dans les graphes
• Forte connexité
• Concepts généraux en théorie des graphes
Graphes particuliers
• Graphes sans circuit
– Décomposition en
niveaux
•
•
•
•
•
•
Graphe biparti
Graphe planaire
Hypergraphe
Arbre
Forêt
Arborescence
• Concepts généraux en théorie des graphes
Algorithme de détection de circuits
• Concepts généraux en théorie des graphes
Algorithme de vérifiant qu’un sommet
est racine d’un graphe
Exemples
En 1736, Euler a montré que c’est impossible !!
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Références bibliographiques
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P. Lopez, Cours de graphes, LAAS-CNRS
http://www.laas.fr/~lopez/cours/GRAPHES/graphes.html
Ph. Vallin and D. Vanderpooten. Aide à la décision : une approche par les cas.
Ellipses, Paris, 2000.
M. Gondron, M. Minoux, Graphes et algorithmes, Eyrolles, Paris, 1984
C. Prins, Algorithmes de graphes, Eyrolles, Paris, 1994
Ph. Lacomme, C. Prins, M. Sevaux, Algorithmes de graphes, Eyrolles, 2003
B. Baynat, Ph. Chrétienne, …, Exercices et problèmes d’algorithmique, Dunod, 2003
E. Lawler, Combinatorial Optimization – Networks and matroids, Dover Publications,
INC, 1976.
Cormen, Leiserson, Rivest, Stein, Introduction à l’algorithmique, DUNOD, 2ième
édition, série Sciences Sup,2002.
Berstel, Beauquier, Chrétienne, Eléments d’algorithmique, MASSON, collection MIM,
1992. Téléchargeable gratuitement!
http://www-igm.univ-mlv.fr/~berstel/Elements/Elements.html
R. K. Ahuja, T. L. Magnanti, and J. B. Orlin, Network flows: Theory, Algorithms and
Applications http://web.mit.edu/jorlin/www/