Transcript 第四章刚体力学基础(ppt下载)

大学物理
数理学院物理系
第四章
刚体的转动
[ 本讲主要内容 ]
1、刚体的基本运动
2、力矩
3、刚体对定轴的转动定律
[ 重点 ]
* 力矩的定义
§1 刚体运动的描述
一、刚体的平动和转动
刚体（rigid body）是一个理想的力学模
型，它是指各部分的相对位置在运动中（无
论有无外力作用）均保持不变的物体。
刚体的运动分为平动和转动。任何复杂
的运动为两者的叠加。
• 平动 translation
刚体在运动过程中，其上任意两点的连
线始终保持平行。
可以用质点力学的方法来处理刚体的平
动问题。
• 转动 rotation
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运
动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称
为转轴。
定轴转动指整个转轴相对参考系静止
二、用角量描述刚体的定轴转动
• 特征: 转轴上各点静止，其
它各质元都在垂直于转轴的平
面内作圆周运动。
各质元的角速度相同速度不同
各质元的角加速度相同加速度不同
角位置
角速度
   (t )
d

dt

m1
m i
d
角加速度  
dt
角量和线量的关系：
v  r
a  r
an  r

2
• 角速度矢量
方向：满足右手定则。右
手四指沿刚体转动方向，
伸直的大拇指的指向为角

速度的方向。
ω
 
v r
§2 定轴转动定律 转动惯量
刚体为什么会转动？
刚体转动状态改变的规律是什么？
一、力矩 torque

M
z
• 对某点的力矩
  
O
M  r F
x




M  M xi  M y j  M z k

r
a

F
y
• 对转轴的力矩
  
M  r  F
M  rF sin 

M
z

r

Fz

F
 
F F

Fn
 rF
• 力对轴的力矩是力对点的力矩的分量
• 一对相互作用力对同一转轴的力矩之和为零。
二、转动定律 law of rotation
根据牛顿第二定律有
 

Fi  fi  mi ai
对轴的力矩为
Z 

,

fi
 mi
ri
O
 



ri  ( Fi  fi )  ri  mi ai
ri Fi  ri f i  mi ri ai  mi ri 
2
 (r F   r f  )   m r
i
i
i
i
i
i i
i
2
i


Fi
i
M 外  ( mi ri ) 
2
i
令
J z   mi ri ——刚体对z轴的转动惯量
2
i
则
M  J z  ——刚体定轴转动定律
刚体所受的对于某定轴的合外力矩等于刚体对
此定轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获
得的角加速度的乘积。——定轴转动定律
三、转动惯量 (moment of inertia)
J   mi ri
2
对质量连续分布的刚体
J   r dm
2
线分布 dm   dl
面分布 dm   dS
体分布 dm 
 dV
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？
• 与刚体质量的大小有关
• 与质量对轴的分布有关
• 与轴的方位有关
Example 1 如图，六个质量均为m的质点，分别
放在正六边形的六个顶点处，六边形的边长为a，
求Jox、Joy、Joz。
y
Solution
J ox
J oy
a
3 2
 4m(
a)
o
2
2
 3m a
1 2
3 2
2
 2 m( a )  2 m ( a )  m( 2 a )
2
2
2
 9m a
m
x
J oz  2ma2  2m( 3a)2  m(2a)2
y
a
m
 12m a
2
o
J oz  J ox  J oy
x
• 正交轴定理
质量平面分布的刚体，绕垂直于平面的z
轴的转动惯量等于绕平面内与之正交的两正交
轴x、y的转动惯量之和。
Z
Jz  Jx  Jy
O
Y
X
Example 2 求一质量为 m，长为 l 的均匀细棒的
转动惯量。（1）轴通过棒的中心并与棒垂直。
（2）轴通过棒的一端并与棒垂直。
l
Solution
（1）建立坐标系
O
x x  dx x
分割质量元 dm ,长度为 dx
m
2
2 m
dm  dx  dx
dJ  x dm  x
dx
l
l
l
2
l

2
JC  
m 2
1 2
x dx  m l
l
12
m 2
x dx
（2） J C  
0 l
1 2
 ml
3
l
l
O
x x  dx x
JC
J
• 平行轴定理
刚体绕平行于质
心轴的转动惯量J，等
于绕质心轴的转动惯
量 JC 加上刚体质量与
两轴间的距离平方的
乘积。
d
C
m
J  J c  md
2
Example 3 一质量为 m ，半径为 R 的均匀圆盘，
求通过盘中心并与盘面垂直的z轴的转动惯量。
y
Solution
dm   dS
m

2rdr
2
R
J z   r dm  
2
R
0
R
o
r
1
m
2
r
2 rdr  mR
2
2
R
2
讨论： 1.Jx=？Jy=？
2.中间挖空如何？
dr
x
[ 上讲主要内容回顾 ]
1. 角量与线量的关系
v  r
a  r
2
an  r
2. 力矩

M
z

r
O
x
对某点的力矩



M

r

F




M  M xi  M y j  M z k
a

F
y
对转轴的力矩
  
M  r  F

M
3. 转动惯量
J   mi ri
2
4. 刚体对定轴的转动定律
M  Jz
z

r

Fz

F

F

Fn
[ 本讲主要内容 ]
1、转动惯量
2、刚体定轴转动定律的应用
3、力矩的功
4、刚体定轴转动的动能定理
[ 重点 ]
* 几种特殊模型的转动惯量
* 刚体定轴转动定律及其应用
三、转动惯量 (moment of inertia)
J   mi ri
2
对质量连续分布的刚体
J   r dm
2
线分布 dm   dl
面分布 dm   dS
体分布 dm 
 dV
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？
• 与刚体质量的大小有关
• 与质量对轴的分布有关
• 与轴的方位有关
Example 1 如图，六个质量均为m的质点，分别
放在正六边形的六个顶点处，六边形的边长为a，
求Jox、Joy、Joz。
y
Solution
J ox
J oy
a
3 2
 4m(
a)
o
2
2
 3m a
1 2
3 2
2
 2 m( a )  2 m ( a )  m( 2 a )
2
2
2
 9m a
m
x
J oz  2ma2  2m( 3a)2  m(2a)2
y
a
m
 12m a
2
o
J oz  J ox  J oy
x
• 正交轴定理
质量平面分布的刚体，绕垂直于平面的z
轴的转动惯量等于绕平面内与之正交的两正交
轴x、y的转动惯量之和。
Z
Jz  Jx  Jy
O
Y
X
Example 2 求一质量为 m，长为 l 的均匀细棒的
转动惯量。（1）轴通过棒的中心并与棒垂直。
（2）轴通过棒的一端并与棒垂直。
l
Solution
（1）建立坐标系
O
x x  dx x
分割质量元 dm ,长度为 dx
m
2
2 m
dm  dx  dx
dJ  x dm  x
dx
l
l
l
2
l

2
JC  
m 2
1 2
x dx  m l
l
12
m 2
x dx
（2） J C  
0 l
1 2
 ml
3
l
l
O
x x  dx x
JC
J
• 平行轴定理
刚体绕平行于质
心轴的转动惯量J，等
于绕质心轴的转动惯
量 JC 加上刚体质量与
两轴间的距离平方的
乘积。
d
C
m
J  J c  md
2
Example 3 一质量为 m ，半径为 R 的均匀圆盘，
求通过盘中心并与盘面垂直的z轴的转动惯量。
y
Solution
dm   dS
m

2rdr
2
R
J z   r dm  
2
R
0
R
o
r
1
m
2
r
2 rdr  mR
2
2
R
2
讨论： 1.Jx=？Jy=？
2.中间挖空如何？
dr
x
四、转动定律的应用
M  Jz


与牛顿第二定律
F  ma相对应, 地位相当。
瞬时性。同一时刻对同一刚体，同一转轴而言。


在定轴转动中，
M z 和 的方向均在转轴方位，
可用代数表示。
Example 1 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，
其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖
直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它
由此下摆角时的角加速度和角速度。
Solution
O
在棒上取质元dm

m
dm  dr
l
质元所受的重力矩为

r
dm
dmg
mg
r cos θdr
dM  dmgrcosθ 
l
mg
1
M 
r cos θdr  mgl cos θ
0 l
2
M  Jβ
1
1 2
mgl cos θ  ml β
2
3
3g
dω d θ
dω
β
cos θ 
ω
2l
dt d θ
dθ
l

ω
0
2ωdω  
θ
0
3g
cos θdθ ω 
l
3g sin θ
l
Example 2 质量为m1和m2两个物体，跨在定滑
轮上，m2放在光滑的桌面上，滑轮半径为R，质
量为M，求：m1下落的加速度和绳子的张力。
Solution
T2 T2 M, R
m1 g  T1  m1a
T2  m2 a
(T1  T2 )R  J
a  R
1
2
J  MR
2
（1）
（2）
（3）
（4）
m2
T1
T1
m1
m1 g
联立方程（1）---（4）求解得
m1 g
a
m1  m2  M / 2
m1 (m2  M / 2) g
T1 
m1  m2  M / 2
m1m2 g
T2 
m1  m2  M / 2
讨论：当 M=0时
m1m2 g
T1  T2 
m1  m2
§3 刚体定轴转动的功和能
一、刚体的转动动能
rotational kinetic energy of a rigid body
刚体作定轴转动时，刚
体上任意一质元的动能为：
1
1
2
2 2
Eki  mi vi  mi ri 
2
2
1
则 Ek   Eki  ( mi ri 2 ) 2
2 i
i
1
2
Ek  J ——刚体定轴转动动能
2
z

ri

vi
mi
二、刚体重力势能
Gravitational potential energy of a rigid body
E pi  mi gzi
z
E p  ( mi zi )g
m i
i
zc 
i mi zi
m
E p  mgzc
y
x
一个不太大的刚体的重力势
能和它的全部质量集中于质
心时的重力势能一样。
三、力矩的功 work done by torque
 
Z
dA  F  dr
 F ds  F rd
 Md
力矩的功
2
A   Md
d
O
1
d
A
M
d

力矩的功率 P 

 M
dt
dt

F

dr a

r
P
四、刚体定轴转动的动能定理
rotational kinetic energy theorem
由于刚体可视为彼此距离保持不变的质
点系，因而遵循质点系的动能定理：
A外  A内  Ek 2  Ek1
对刚体而言
A内  0
则
2
A外  
1
1
1
2
2
M 外 d  J 2  J1
2
2
定轴转动的动能定理：合外力矩对刚体所作的
功等于刚体转动动能的增量。
Example 1 一质量为m、长为l的均质细杆，转轴
在O点，距A端1/3 。杆从静止开始由水平位置绕
O点转动。求：（1）水平位置的角速度和角加
速度。（2）垂直位置时的角速度和角加速度。
Solution
J o  J c  md
2
A
2
1 2
l 1 2
J O  ml  m   ml
12
6 9
（1）水平  0  0
l 1 2
mg  ml 
6 9
3g

2l
C
O
B
（2）垂直
M 0
 0
A
C
O
选杆与地球为系统，机
械能守恒， 选O为势能零点
1
l 11 2 2
l
2
J 0  mg 
ml   mg  0
2
6 29
6
3g

l
B
（3）任意位置
A
l
1 2
M  mg cos  ml 
6
9
3g
  cos 
2l
1 1 2 2
l
( ml )  mg sin   0
2 9
6
3g

sin 
l
C
O

B
Example 2 如图，已知滑轮的质量为M，半径为R，物
体的质量为m，弹簧的劲度系数为k，斜面的倾角为θ，
物体与斜面间光滑，物体从静止释放，释放时弹簧无
形变。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，忽略轴
间摩擦阻力矩。求物体沿斜面下滑x米时的速度为多大？
（滑轮视作薄圆盘）
Solution
选取 m、M、 R
弹簧地球为系统，
系统机械能守恒。
设m未释放时 k
重力势能为零
O
M
m

x
m
EP  0
1 2
 1 2 1
2
E   kx  m gxsin     mv  J M    0
2
2
 2

v  R
R
O
M
JM
1
 MR 2
2
m
k
1 2
4m gxsin    kx
2
v
2m  M

x
m
EP  0
Example 3 一半径为R、质量为m的均匀圆盘
平放在粗糙的水平面上。若它的初始角速度
为ω0 ，绕中心O旋转，问圆盘转过多少圈后
停止。（设摩擦系数为 μ）
Solution
dm   dS
m

2rdr
2
R
dr r
2mgr dr
dM   dmg  r  
2
R
2
o
R
R
M   dM  
0

R
0
2 mgR
2mgr dr

2
3
R
2
由刚体对定轴的动能定理可得

2
1 2
dr r o


mgR
d


0

J

0
0 3
2
2
1
2 2
 mgR   mR  0
3
4
2
2
3R 0
3R 0


N

8 g
2 16 g
R
?
一质量为M、半径R的实心滑轮，一根细绳
绕在其上，绳端挂有质量为m的物体。问物
体由静止下落高度h时，其速度为多大？
Solution
M
1 2 1 2
mg h  J  mv
2
2
v  R
解得：
T’
T
m
mgh
v2
M  2m
mg
[ 上讲主要内容回顾 ]
1. 转动惯量
J   mi ri
2
J   r dm
2
2. 刚体对定轴的转动定律
M  Jz
3. 刚体对定轴的动能
1
2
Ek  J
2
4. 力矩的功
2
A   Md
1
[ 本讲主要内容 ]
1、刚体对定轴的动能定理的应用
2、刚体对定轴的角动量定理
3、角动量守恒定律
[ 重点 ]
* 角动量定理及其应用
* 角动量守恒定律成立的条件
* 角动量守恒定律的应用
四、刚体定轴转动的动能定理
rotational kinetic energy theorem
由于刚体可视为彼此距离保持不变的质
点系，因而遵循质点系的动能定理：
A外  A内  Ek 2  Ek1
对刚体而言
A内  0
则
2
A外  
1
1
1
2
2
M 外 d  J 2  J1
2
2
定轴转动的动能定理：合外力矩对刚体所作的
功等于刚体转动动能的增量。
?
一质量为M、半径R的实心滑轮，一根细绳
绕在其上，绳端挂有质量为m的物体。问物
体由静止下落高度h时，其速度为多大？
Solution
M
1 2 1 2
mg h  J  mv
2
2
v  R
解得：
T’
T
m
mgh
v2
M  2m
mg
Example 1 一质量为m、长为l的均质细杆，转轴
在O点，距A端1/3 。杆从静止开始由水平位置绕
O点转动。求：（1）水平位置的角速度和角加
速度。（2）垂直位置时的角速度和角加速度。
Solution
J o  J c  md
2
A
2
1 2
l 1 2
J O  ml  m   ml
12
6 9
（1）水平  0  0
l 1 2
mg  ml 
6 9
3g

2l
C
O
B
（2）垂直
M 0
 0
A
C
O
选杆与地球为系统，机
械能守恒， 选O为势能零点
1
l 11 2 2
l
2
J 0  mg 
ml   mg  0
2
6 29
6
3g

l
B
（3）任意位置
A
l
1 2
M  mg cos  ml 
6
9
3g
  cos 
2l
1 1 2 2
l
( ml )  mg sin   0
2 9
6
3g

sin 
l
C
O

B
Example 2 如图，已知滑轮的质量为M，半径为R，物
体的质量为m，弹簧的劲度系数为k，斜面的倾角为θ，
物体与斜面间光滑，物体从静止释放，释放时弹簧无
形变。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，忽略轴
间摩擦阻力矩。求物体沿斜面下滑x米时的速度为多大？
（滑轮视作薄圆盘）
Solution
选取 m、M、 R
弹簧地球为系统，
系统机械能守恒。
设m未释放时 k
重力势能为零
O
M
m

x
m
EP  0
1 2
 1 2 1
2
E   kx  m gxsin     mv  J M    0
2
2
 2

v  R
R
O
M
JM
1
 MR 2
2
m
k
1 2
4m gxsin    kx
2
v
2m  M

x
m
EP  0
Example 3 一半径为R、质量为m的均匀圆盘
平放在粗糙的水平面上。若它的初始角速度
为ω0 ，绕中心O旋转，问圆盘转过多少圈后
停止。（设摩擦系数为 μ）
Solution
dm   dS
m

2rdr
2
R
dr r
2mgr dr
dM   dmg  r  
2
R
2
o
R
R
M   dM  
0

R
0
2 mgR
2mgr dr

2
3
R
2
由刚体对定轴的动能定理可得

2
1 2
dr r o


mgR
d


0

J

0
0 3
2
2
1
2 2
 mgR   mR  0
3
4
2
2
3R 0
3R 0


N

8 g
2 16 g
R
§4 角动量定理及角动量守恒定律
?
直升飞机上为什么装有两个螺旋桨？
轮为什么不倒下？
一、刚体对定轴的角动量
angular momentum of rigid body
• 质点的角动量
   

L  r  P  r  mv




L  Lx i  Ly j  Lz k

L
z

r
O
x


mv
y
若质点绕O点作圆周运动

L

v
m

r
O
L  rmv  m r   J
2
• 刚体对轴的角动量
Lzi  ri mi vi
Z
 mi ri 
2
O
Lz   mi ri 
2

ri
mi

vi
i
Lz  J z
——刚体对z轴的角动量
三、刚体的角动量定理
angular momentum
theorem
of
rigid
body


dL
• 对质点
M外 
dt


dL
• 对质点系 M 外 
dt

t
t0

 
M 外 dt  L  L0
• 对定轴转动的刚体

t
t0


dLz
Mz 
dt

 
M z dt  Lz  Lz 0

t
t0
Mdt  L  L0
角动量定理：刚体所受外力矩的冲量矩等于刚
体对同一轴的角动量的增量。
四、角动量守恒定律
law of conservation of angular momentum

若合外力矩为零，即 M  0
则

dL
0
dt

L  const.
角动量守恒定律：若系统的合外力矩为零，
则系统的角动量守恒。
讨论：
1. L=const的几种情况：
当转动惯量不变时， 不变
当转动惯量增加时， 减小
当转动惯量减小时， 增加
2. 解释下列现象
旋转问题
旋转问题
直升机
Example 1 在摩擦系数为μ桌面上有细杆，质量
为 m、长度为l，以初始角速度ω0 绕垂直于杆的
质心轴转动，问细杆经过多长时间停止转动。
0
Solution
细杆的质量密度为：
m

l
m
则 dm  dx 
dx
l
质元受的摩擦力矩为
m,l o
l/2

dm
l/2
x dx
dM  dmgx
x
l
2
l

2
0
M   dM
m,l o
l
2
0
 2  gxdx
l/2

dm
l/2
x dx
1
  mgl
4

t
由角动量定理： Mdt  L  L0 可得
0
1
1
  mgl dt  0  J 0   ml 2 0
0 4
12
t
l 0
t
3 g
x
Example 2 一半径为R、质量为m的均匀圆盘
平放在粗糙的水平面上。若它的初始角速度
为ω0 ，绕中心O旋转，问经过多长时间圆盘
才停止。（设摩擦系数为 μ）
Solution
dm   dS
m

2rdr
2
R
dr r
2mgr dr
dM   dmg  r  
R2
2
o
R
R
M   dM  
0

R
0
2 mgR
2mgr dr

2
3
R
2
由角动量定理可得
2
dr


mgR
d
t

0

J

0
0 3
2
1
2
 mgRt   mR  0
3
2
3R 0
t
4 g
t
r
o
R
Example 3 一长为l，质量为M的杆可绕支点O
自由转动。一质量为m，速度为v的子弹射入杆
的中点处，并留在其中。若棒恰好摆到水平位
置，问子弹的初速度为多少?
Solution
碰撞过程角动量守恒
l 1
l 2
2
mv   M l  m( )  
2 3
2 
O

v
m
O

v
m
l 1
l 2
2
mv   M l  m( )  
2 3
2 
上摆过程机械能守恒，选杆的中点
处为势能零点
l
l
11
l 2 2
2
 M l  m( )   mg  Mg
2
2
23
2 
( M  m) g
2
 
1
1
( M  m )l
3
4
2 M m
v
(  )( M  m) gl
m
3 4
?
一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,
双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二
哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与
转动平台组成的系统的
（A）机械能守恒 , 角动量守恒;
（B）机械能守恒 , 角动量不守恒,
（C）机械能不守恒 , 角动量守恒;
（D）机械能不守恒 , 角动量不守恒.