Transcript rozdelenia Exp a pod..

Teoretické rozdelenia
• Spojité:
– Rovnomerné
– Exponenciálne
– Normálne
– Lognormálne
– Chí-kvadrát (2 – rozdelenie))
– Studentovo (t – rozdelenie)
– Fisherovo (F – rozdelenie)
Prednáška č.6
Základy štatistiky
1
Rovnomerné rozdelenie
R(c,d)
• Rovnako pravdepodobné výsledky
• Funkcia hustoty:
1
pre c  x  d
f (x) 
d c
• Stredná hodnota a štand. odchýlka:
c d
dc
E(X) 
σ(X) 
2
12
f(x)
1
d c
c
d
x
E(X)
Median
Prednáška č.6
Základy štatistiky
2
Rovnomerné rozdelenie
Príklad
• Predstavte si, že ste výrobný
manažér vo firme na plnenie
nápojov. Prístroj má do každej
plechovky naplniť 12 jednotiek
sýtiaceho plynu. V skutočnosti
sa to pohybuje od 11,5 do 12,5
jednotiek. Predpokladáte, že
tento proces má rovnomerné
rozdelenie. Aká je P, že v
plechovke je menej ako 11,8
jednotiek plynu?
SODA
Prednáška č.6
Základy štatistiky
3
Rovnomerné rozdelenie
Príklad pre R(11,5;12,5)
f(x)
1,0
11,5 11,8
x
12,5
1
1
1

  1,0
dc
12,5  11,5
1
P(11,5  x  11,8) =
= (základňa)(výška) =
= (11,8 – 11,5)(1) = 0,30
Prednáška č.6
Základy štatistiky
4
Exponenciálne rozdelenie
Ex()
• popisuje čas alebo vzdialenosť medzi
udalosťami
• „doba čakania“ do nastania určitého
javu (čakanie v rade)
• f-cia hustoty:
1 x θ
f(x)  e
x  0,   0
θ
• Distribučná f-cia:
x θ
F(x) 1  e
• Charakteristiky: E(X) = 
(X)= 
f(X)
 = 0,5
 = 2,0
X
Prednáška č.6
Základy štatistiky
5
Exponenciálne rozdelenie
Ex()
• Distribučná f-cia:
F(x)  P( X  x)  1  e  x θ
1  F(x)  P( X  x)  1  (1  e  x θ ) 
 e x θ
f(x)
A  P ( x  a)  e
x
a
Prednáška č.6
a 
Základy štatistiky
6
Exponenciálne rozdelenie
Ex()
• Exponenciálne a Poissonovo
rozdelenie vyjadrujú ten istý jav
z dvoch pohľadov
• Po() – P výskytu určitého
počtu javov za jednotku času
• Ex() – P dĺžky intervalu medzi
dvoma nastaniami javu
• Použitie: v teórii spoľahlivosti,
v tzv. teórii hromadnej obsluhy
(teória front - modeluje dobu
čakania vo fronte resp. v rade)
Prednáška č.6
Základy štatistiky
7
Exponenciálne rozdelenie
Príklad Ex(10)
• Na registráciu na internáte
prichádzajú študenti priemerne
každých 10 minút. Ich príchod
sa riadi exponenciálnym
rozdelením. Aká je P, že viac
ako 30 minút nepríde žiaden
študent na registráciu?
P ( x  a)  e  a 
P ( x  30)  e  30 10
 0.049787
 5%
Prednáška č.6
Základy štatistiky
8
Normálne rozdelenie
N(,2)
• Laplaceovo - Gaussovo
rozdelenie
• Modeluje veľa náhodných
procesov alebo spojitých javov
• Limitné rozdelenie, ktoré sa
používa na aproximáciu
mnohých diskrétnych rozdelení
(napr. binomického)
• Základ klasického štatistického
úsudku (indukcie a dedukcie)
→ parametrické metódy
Prednáška č.6
Základy štatistiky
9
Normálne rozdelenie
Vlastnosti N( ,2)
• „zvonovitý“ & symetrický tvar
• E(X), medián, modus sa
rovnajú (sú v jednom bode →
vo vrchole „zvona“)
• NP má nekonečný definičný
obor (- , )
• Inflexné body sú: x  μ  σ
f(X )
X
E(X) = medián = modus
Prednáška č.6
Základy štatistiky
10
Normálne rozdelenie
N( ,2)
Funkcia hustoty f(x) :
 = stredná hodnota NP X (resp.
populácie ) a (-  <  < )
 = štandard. odchýlka NP X (resp.
populácie ) a   0
 = 3.14159
e=
x=
2.71828
hodnota NP X (-  < x < )
1
f(x) 
e
σ 2π
E(X) = 
Prednáška č.6
D(X) = 2 1 = 0
Základy štatistiky
(x  μ) 2

2 σ2
2 = 0
11
Normálne rozdelenie
Zmena parametrov  ,2
f(X)
B
A
C
X
A = B
A  B
A  C
A = C
Zmena tvaru
Posun po osi x
Prednáška č.6
Základy štatistiky
12
Normálne rozdelenie
N( ,2)
Distribučná funkcia F(x) :
x
F(x) 
x
 f(t)dt  


1
σ 2π
e
(t  μ) 2

2σ 2
dt
d
P(c  x  d)   f(x) dx?
c
f(x)
c
Prednáška č.6
d
Základy štatistiky
x
13
Normálne rozdelenie
N( ,2)
f(X)
Parametrami normálneho
rozdelenia sú  a 2 →
nekonečne veľa kriviek!
X
Pre každú krivku je
potrebná vlastná tabuľka!
Nekonečne veľa tabuliek!
Prednáška č.6
Základy štatistiky
14
Normované normálne
rozdelenie N(0,1)
(Standardize the Normal Distribution)
X 
Z


= 1

=0
X
Z
Normované
normálne
rozdelenie
N(0,1)
Normálne
rozdelenie
N( ,2)
Jedna tabuľka!
Prednáška č.6
Základy štatistiky
15
Normované normálne
rozdelenie N(0,1)
• Funkcia hustoty f(z):
1
f(z) 
e
2π

z2
2
• Distribučná funkcia (z)
platí:
f(-z) = f(z)
(-z) = 1 - (z)
b μ
a μ
P(a  X  b  P 
Z

σ 
 σ
 b μ
a μ
 Φ
Φ

 σ 
 σ 
Prednáška č.6
Základy štatistiky
16
Normovanie - Príklad
(Standardizing)
X  μ 6 ,2  5
Z

 0 ,12
σ
10
N(5,102)
N(0,1)
 = 10
=1
= 5 6.2 X
Prednáška č.6
Základy štatistiky
= 0 .12 Z
17
Príklad – Tabuľky N(0,1)
Tabuľka N(0,1) - časť
Z
.00
.01
.02
0.0 .0000 .0040 .0080
0,0478
0.1 .0398 .0438 .0478
0.2 .0793 .0832 .0871
=1
0.3 .1179 .1217 .1255
= 0 .12 Z
Pravdepodobnosti
Prednáška č.6
Základy štatistiky
Plocha je zveličená!
18
Hľadanie Z hodnoty
Príklad
Tabuľky N(0,1) - časť
Ako získame z,
ak P(z) = 0,1217?
Z
.00
.01
0.2
0.0 .0000 .0040 .0080
0.1 .0398 .0438 .0478
0.2 .0793 .0832 .0871
0,1217
=0
=1
?
0.3 .1179 .1217 .1255
Z
z = 0,31
Plocha je zveličená!
Prednáška č.6
Základy štatistiky
19
Hľadanie X hodnoty
Príklad
Normované
normálne
rozdelenie
Normálne
rozdelenie
N(5,102)
N(0,1)
=1
 = 10
0,1217
= 5
? X
0,1217
 = 0 .31 Z
X  μ  Z  5  0 ,3110  8 ,1
X = 8,1
Plochy sú zveličené!
Prednáška č.6
Základy štatistiky
20
Normálne rozdelenie
Príklad
• Ste kontrolórom kvality žiaroviek
v továrni na ich výrobu. Životnosť
týchto žiaroviek (v hod.) sa riadi
N(2000,2002).
• Aká je P, že žiarovky vydržia
svietiť:
– 2000 až 2400 hodín?
– menej ako 1470 hodín?
Prednáška č.6
Základy štatistiky
21
Riešenie
P(2000  X  2400)
Z
X 

2400  2000

 2,0
200
N(2000,2002)
N(0,1)
=1
 = 200
0,4772
 = 2000 2400
Prednáška č.6
X
Základy štatistiky
 = 0 2.0
Z
22
Riešenie
P(X  1470)
X  μ 1470  2000
Z

  2 ,65
σ
200
N(2000,2002)
N(0,1)
 = 200
=1
.5000
0,0040
1470  = 2000
Prednáška č.6
X
Základy štatistiky
.4960
-2.65  = 0
Z
23