Transcript A 1 - Thor.info.uaic.ro

Curs 6
• Algoritmi de enumerare şi paradigma
“backtracking”
– “backtracking” – prezentare generală
– algoritmi de enumerare
– “backtracking” – algoritmi
– Studii de caz
• problema celor n regine
• colorarea grafurilor
• submulţimea de sumă dată
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
1
Backtracking: cadrul general
• metoda de rezolvare: căutare în spaţiul soluţiilor
candidat (finit)
• căutare exhaustivă: este cercetat întregul spaţiu
• backtracking = căutare sistematică
• spaţiul soluţiilor este organizat ca un arbore
– un vârf este viabil dacă sunt şanse să se
găsească o soluţie explorând subarborele cu
rădăcina în acel vârf
– sunt exploraţi numai subarborii cu rădăcini viabile
– "backtracking" explorează lista vârfurilor viabile
din arbore utilizând DFS
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
2
Backtracking: elemente de bază
• spaţii de căutare:
–
–
–
–
–
produsul cartezian
submulţimi
permutări
drumuri în graf
etc.
• se defineşte o funcţie criteriu prin care se
stabileşte dacă un vârf este viabil sau nu
• arborele este explorat prin algoritmul DFS
– fie x = (x0, ..., xk) secvenţa care descrie drumul de la
rădăcină la vârful curent
– dacă vârful curent este pe frontieră se verifică dacă x
este soluţie
– în caz contrar se alege următorul succesor viabil (dacă
există)
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
3
Backtracking pentru probleme de minim
• problema: calculul lui minx f(x)
• presupunere:
f(x1,...,xk-1, xk) = f(x1,...,xk-1) + g(xk)
cu g(xk) > 0
• se porneşte cu un minim iniţial
• dacă vârful curent este pe frontieră se verifică
dacă f(x) este mai mic decât minimul calculat
până în acel moment; dacă da, atunci f(x)
devine noul minim
• dacă vârful curent NU este pe frontieră şi f()
calculat pentru soluţia parţială este mai mare
decât minimul calculat până în acel moment,
atunci vârful nu este viabil şi este abandonat
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
4
Spaţiul soluţiilor = produs cartezian
• S = {1,2,3}  {1,2}
1
3
2
1
2
1
2
1
2
(1,1)
(1,2)
(2,1)
(2,2)
(3,1)
(3,2)
 dimensiunea spaţiului:
A0  A1  ...  An-1 are |A0|  |A1|  ...  |An-1| elemente
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
5
Enumerarea elementelor din {0,...,m-1}n
• fiecare vârf în arbore este identificat cu
drumul de la rădăcină până la el: (x0, x1,
..., xk)
• pentru vârful de pe frontieră, k = n-1 şi
drumul (x0, x1, ..., xn-1) este un element al
produsului
• simulăm generarea arborelui prin
parcurgere DFS
• stiva este reprezentată de variabila simplă
k; aceasta indică poziţia vârfului stivei
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
6
Enumerarea elementelor din {0,...,m-1}n
procedure EnumProdCart(m,n)
begin
k  0; x[0]  -1
while (k >= 0) do
if (x[k] < m-1)
then x[k]++
if (k=n-1)
then scrie(x)
else k++
x[k]  -1
else k-end
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
7
Exemplu
• S = {0,1,2}
0
0 1
2
2
2
1
0 1
2
0 1
2
(0,0) (0,1) (1,2) (1,0) (1,1) (1,2) (2,0)(2,1) (2,2)
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
8
Produs cartezian – algoritm recursiv
• (x0, x1, ..., xk, ...xn-1)
• xk ia valori 0, 1, 2, ..., m-1
procedure enumProdCartRec(x, k)
for j  0 to m-1 do
x[k]  j
if (k = n-1)
then scrieElement(x, n)
else enumProdCartRec(x, k+1)
end
enumProdCartRec(x, 0)
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
9
Spaţiul soluţiilor = submulţimi
• S  {0, 1, ..., n-1}
• S poate fi reprezentată prin vectorul său
caracteristic x:
x[i]  {0,1},
x[i] = 1  i  S
• vectorul caracteristic  {0,1}n
• enumerare submulţimi = enumerare
vectori caracteristici
• dimensiune spaţiu: 2n
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
10
Submulţimi: exemplu n = 3
0
0
0

Algoritmi şi Programare
1
1
1
0
{2} {1}
0
1
0
1
1
0
1
{1,2}
2008 - 2009
11
Spaţiul soluţiilor = permutări
n = 3:
0
1
2
012
2
0
2
1
2
1
2
0
0
021 102
120
1
1
0
201 210
• enumerare permutări prin "bactracking"
– x[k] viabil  0  x[k]  n-1 si
x[k]  x[i] pentru i = 0, ..., k-1
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
12
Spaţiul soluţiilor = permutări
• Varianta recursivă: Fie Sn mulţimea permutărilor
elementelor mulţimii {0, 1, …, n-1}
– Orice permutare din Sn se obţine dintr-o permutare din
Sn-1 prin adăugarea lui n-1 într-o anume poziţie
• Definiţia recursivă:
– S0 = {(0)}
– Sn = { (io, …,in-2, n-1), (io, …, n-1, in-2), …,(n-1, io,…,in-2) |
(io, …,in-2)  Sn-1 }
• Generalizare: Sn(, k) mulţimea permutărilor din
Sn ce pot fi obţinute din   Sk:
Sn(, k) = Sn((io, …,ik-1, k), k+1) ...  Sn((k, io, …,ik-1),
k+1),
unde
• Sn(, n) = {}
• Sn = Sn((0), 1)
Algoritmi şi Programare
 = (io, …,ik-1)
2008 - 2009
13
O reprezentare
(0)
(0,1)
(0,1,2)
(0,2,1)
Algoritmi şi Programare
(1,0)
(2,0,1)
(1,0,2)
2008 - 2009
(1,2,0)
(2,1,0)
14
Spaţiul soluţiilor = permutări (recursiv)
procedure enumPermRec(p, k)
if (k = n)
then scriePerm(p,n)
else p[k]  k
for i  k-1 downto 0 do
enumPermRec(p,k+1)
swap(p[i+1],p[i])
enumPermRec(p,k+1)
end
p[0] = 0
enumPermRec(p, 0)
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
15
Spaţiul soluţiilor = permutări (nerecursiv)
procedure enumPerm(n)
k  0
S[0]  0
while (k >= 0) do
if (S[k] >= 0)
then f(k, S[k], p)
S[k]  S[k]-1
if (k = n-1)
then scriePerm(p,n)
else k  k+1
S[k]  k
else aux  p[0]
for i  0 to k-1 do
p[i]  p[i+1]
p[k]  aux
k  k-1
end
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
16
Spaţiul soluţiilor = permutări
function f(k, i, p)
if (i = k)
then p[k]  k
else aux  p[i+1]
p[i+1]  p[i]
p[i]  aux
end
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
17
Spaţiul soluţiilor = drumuri în graf cu sursa dată
0
0
1
1
2
4
4
2
3
3
2
3
3
4
2
4
2
1
1
se parcurge DFS
ori de câte ori se epuizează lista de aşteptare a lui i ≠ i0 se face p[i] = a[i] (se
reia de la capăt)
se înlocuieşte testul i  S cu i  stiva
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
18
Drumuri în graf cu sursa şi destinaţia precizate
(0,0)
(0,0)
(0,1)
(0,2)
(1,0)
(0,1)
(1,0)
(1,1)
(1,2)
(0,2)
(1,1)
(1,1)
(0,1)
(1,2)
(1,2)
(1,0)
(1,2)
(0,2)
(1,2)
• lista de adiacenţă = parcurgerea în sensul
acelor de ceasornic începând cu vecinul din
dreapta
• se parcurge DFS începând cu (0, 0)
• ori de câte ori se întâlneşte (1,2) stiva descrie
un drum de la (0,0) la (1,2)
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
19
Spaţiul soluţiilor = labirint
(0,0)
0
1
2
3
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
4 0 0 0
5 şi Programare
0 1 1
Algoritmi
0
0
0
1
2
3
(5,3)
lista de adiacenţă =
parcurgerea în sensul arcelor
de ceasornic începând cu
vecinul din dreapta
2008 - 2009
20
Backtracking – algoritm nerecursiv
procedure backtracking(n)
k  0
while (k >= 0) do
if ((exista y in T(x[0..k]) neincercat) and
(viabil(y)))
then x[k+1]  y
if (x = solutie)
then scrie(x)
else k  k+1
else k  k-1
end
T(x[0..k]) multimea tuturor valorilor posibile pentru x[k+1]
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
21
Backtracking – algoritm recursiv
procedure backtrackingRec(x, k)
forall y in T(x[0..k]) neincercat
and viabil(y) do
x[k+1]  y
if (x = solutie)
then scrie(x)
else backtrackingRec(x, k+1)
end
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
22
Backtracking – spaţiul produs cartezian
procedure backtrack(n, m)
k  0
x[0]  -1
while (k >= 0) do
if (x[k] < m-1)
then repeat
x[k]  x[k]+1
until(viabil(x, k) or (x[k]=m-1))
if (viabil(x, k))
then if ((k = n-1) and ST(x))
then scrieElement(x,n)
else k  k+1
x[k]  -1
else k  k-1
end
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
23
Backtracking – spaţiul produs cartezian
procedure backtrackRec(x, k)
for j  0 to m-1 do
x[k]  j
if ((k = n-1) and (ST(x))
then scrieElement(x, n)
else if (viabil(x, k))
then backtrackRec(x, k+1)
end
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
24
Backtracking: problema celor n regine
• Problema
– intrare: o tablă de şah n  n, n regine
– ieşire: toate aşezările posibile ale celor n
regine pe tabla fără ca ele să se atace
0
1
2
3
0
1
2
3
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
25
Problema celor n regine
• reprezentarea soluţiei
– o reprezentare care nu-i OK
Q[i,j] = true  pe pozitia [i,j] se găseste o regină
nr. sol. candidat = 2nn
– o reprezentare mai bună
s[i] = j  Q[i,j] = true
nr. sol. candidat = nn
n = 8  2nn = 264 , nn = 224
• criteriul de viabilitate
– (i) 0  i  k – 1  s[i]  s[k]  |s[i] – s[k]| 
|i-k|
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
26
Problema celor n regine: arborele tăiat
0
2
1
3
3
1
3
2
0
0
0
3
2
1
1
2
0
0
1 x
2 x
3
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
1
2
x
x
3
x
x
x
x
27
Backtracking: colorarea grafurilor
• problema
– instanţa
• un graf G = (V, E), V = {0, ..., n-1},
• m culori 1, 2, ..., m
• colorare c : V  {1, 2, ..., m}, {i, j}  E  c[i]  c[j]
– ieşire:
• toate colorările posibile
• modelul matematic
– reprezentarea soluţiilor
• c  {1, 2, ...,m}n
– criteriul de viabilitate
• (j) 0  j < k and {j, k}  E  c[j]  c[k]
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
28
Backtracking: submulţimi de sumă dată
• problema
– instanţa
• o mulţime A cu n elemente
• fiecare a  A are o mărime s[a]  Z+
• un număr M  Z+
– ieşire
• submulţimile A’  A cu (s[a] a  A’) = M
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
29
Backtracking: submulţimi de sumă dată
• modelul matematic
– reprezentarea soluţiei
• pp. A = {0, 1, ..., n-1}, s[i] = wi
• A' reprezentată prin vectorul caracteristic x
– criteriul de viabilitate:
i=1,k xiwi  M
şi
i=1,k xiwi + i=k+1,n wi  M
Algoritmi şi Programare
2008 - 2009
30