Transcript Bremsweg - Anhalteweg

Bremsweg - Anhalteweg
Situation: 30km – Zone
PKW mit guten Bremsen und guten Reifen.
Fahrgeschwindigkeit 30km/h.
Kind läuft in 20m Entfernung zwischen 2 parkenden
Fahrzeugen auf die Fahrbahn. Was passiert?
Annahme: Bremsverzögerung PKW: a=6m/s2
Keine „Schrecksekunde“ aufgrund
bremsbereiten Fahrens.
Bremsweg - Anhalteweg
Für den zurückgelegten (Brems)weg s(t) des PKW
gelten folgende physikalische Zusammenhänge:
Mit:
km 25 m
v0  30

h
3 s
s(t) = v0∙t – 1/2∙ a t2
Der Wert t gibt dabei die Zeit des Bremsvorgangs ( Bremszeit) an.
Wie lange wirklich gebremst werden muss, hängt von der
Fahrgeschwindigkeit ab. Im allgemeinen gilt für die
Geschwindigkeit v während des Bremsvorgangs eine lineare
Abnahme. D. h.: v(t) = v0 – a ∙ t
Bremsweg - Anhalteweg
Für unsere Werte gilt daher:
Das Fahrzeug muss bis zum Stillstand bremsen –
d.h. v(t) =0.
Daraus berechnet man die Bremszeit t. v(t) = 25/3 – 6t = 0
und daher t= 25/18 Sekunden (1,39s).
Bleibt nur noch die Berechnung des zurückgelegten
Weges in dieser Zeit.
Für den zurückgelegten Weg nach t Sekunden gilt:
s(t) = 25/3 ∙t – 1/2∙ 6 t2 = 25/3 ∙ t – 3t2
Setzt man für t=25/18 Sekunden ein, erhält man s(25/18) =
625/
108 = 5,79m. Glück gehabt – Kind bleibt unverletzt.
Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s
kritisch…
• Fragen:
• 1) Was bewirkt eine (realistische) Reaktionszeit von 0,6
Sekunden („Schrecksekunde“)?
• 2) Was bewirkt eine Reaktionszeit von 1 Sekunde?
• 3) Was bewirkt eine geringere Bremsverzögerung von a=4m/s2
bzw. a=3m/s2 (bei nasser bzw. schneeglatter Fahrbahn und /
oder schlechtem Zustand der Reifen bzw. Bremsen?
• 4) Was bewirkt eine (nur geringfügig) überhöhte
Geschwindigkeit von 35km/h?
• 5) Was bewirkt eine (im Ortsgebiet übliche) Geschwindigkeit
von 50km/h?
Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s
kritisch…
• Frage 1:
• Durch die Reaktionszeit von tR = 0,6s setzt der
Bremsvorgang entsprechend später ein.
• An der Bremszeit ändert sich nicht – aber:
• Für zurückgelegten Weg gilt nun:
• s(t) = v0∙t – 1/2∙ a t2 + v0 ∙ tR, d.h.
• s(t) = 25/3 ∙t – 1/2∙ 6 t2 + 25/3 ∙ 6/10 = 25/3 ∙ t – 3t2 + 5
• Daher: Gesamtanhalteweg um 5m länger –
• s(1,39) = 10,79m.
Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s
kritisch…
• Frage 2:
• Eine Reaktionszeit von tR = 1 bewirkt einen um 25/3 m
längeren Anhalteweg. Das sind dann 14,12m.
• Frage 3:
• Eine geringere Bremsverzögerung hat Einfluss auf die
Bremszeit. Setzt man a= 4m/s2, so gilt für die Bremszeit t
wegen v(t) = 25/3 – 4t = 0 t= 25/12 s = 2,083s.
• Der Bremsweg beträgt daher s(t) = 25/3 ∙t – 1/2∙ 4 t2 = 25/3 ∙ t –
2t2 und für t=2,083s gilt:
• S(2,083) = 8,68m.
• Bei einer Reaktionszeit von 0,6s wäre der Anhalteweg
13,68m, bei einer Reaktionszeit von 1s schon 17,01m.
Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s
kritisch…
• Setzt man a= 3m/s2, so gilt für die Bremszeit t wegen v(t) =
25/ – 3t = 0 t= 25/ s = 2,78s.
3
9
• Der Bremsweg beträgt daher s(t) = 25/3 ∙t – 1/2∙ 3 t2 = 25/3 ∙ t –
3/ t2 und für t=2,78s gilt:
2
• S(2,78) = 11,57m.
• Bei einer Reaktionszeit von 0,6s wäre der Anhalteweg
16,57m, bei einer Reaktionszeit von 1s schon 19,9m. (Es wird
knapp!!)
Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s
kritisch…
• Frage 4:
• Bei „perfekter“ Verzögerung von a= 6m/s2 bewirkt eine leicht
überhöhte Geschwindigkeit von 35 km/h (entsprechen 175/18
m/ )zunächst eine Verlängerung der Bremszeit:
s
• Es gilt wegen v(t) = 175/18 – 6t = 0 für t: t=175/108 s oder 1,62s.
• Der Bremsweg beträgt daher: s(t) = 175/18 t – 3t2 und für
t=175/108 erhält man: s=7,88m.
• Bei einer Reaktionszeit von 0,6s (bzw. 1s) ist allerdings zu
beachten, dass aufgrund der höheren Geschwindigkeit in
dieser Zeit auch eine entsprechend längere Wegstrecke
zurückgelegt wird.
• Der Anhalteweg beträgt bei tR =0,6s 13,71m, bei tR =1s
17,6m.
• Frage5: …selbst probieren!
Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s
kritisch…
• Ein paar allgemeinere Überlegungen:
• Für die Anfangsgeschwindigkeit v0 erhält man die Bremszeit
stets aus v(t) = v0 - a∙ t = 0. Es gilt:
v0
t
a
Für den Bremsweg ohne Reaktionszeit gilt s(t) = v0 ∙ t – 1/2 ∙a ∙ t2.
Setzt man in die letzte Formel den Term für t ein, erhält man:
v0 1
v02 v02 v02 v02
s(v0 )  v0    a  2  

a 2
a
a 2a 2 a
Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s
kritisch…
• und damit eine Formel in Abhängigkeit von v0.
• Berücksichtigt man in dieser Formel noch die Reaktionszeit
tR, so gilt:
• s(t) = v0 ∙ t – 1/2 ∙a ∙ t2 + v0 ∙ tR und nach neuerlichem
Einsetzen des Terms für t:
2
0
v
s(v0 ) 
 v0  t R
2a
Kennt man nun a=6m/s2 und tR =0,6s kann man die Frage nach
der maximalen Geschwindigkeit stellen, um vor einem
Hindernis stehenbleiben zu können.
Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s
kritisch…
• Für s=20m bedeutet dies, die Gleichung: 20= 1/12∙ v02 + 0,6∙ v0
zu lösen. Dies ist eine allgemeine quadratische Gleichung –
Lösungsformel verwenden.
• Man erhält 2 Lösungen, von denen v0 = 12,3 m/s die einzig
sinnvolle ist. Dies entspricht einer Geschwindigkeit von
44,28 km/h.
Bremsweg – Anhalteweg –
quadratische Funktionen
2
0
v
s(v0 ) 
 v0  t R
2a
•Kennt man nun a=6m/s2 und tR =0,6s, stellt der Term:
• 1/12∙ v02 + 0,6∙ v0
•eine Formel für den Anhalteweg dar.
•Die Zuordnung s(v0)= 1/12∙ v02 + 0,6∙ v0 ist eine
quadratische Funktion in der Variablen v0.
•Stellt man eine Tabelle für unterschiedliche Werte von v0
auf (v0 >0), erkennt man ihren typischen Verlauf:
v0 (in
m/s)
v0 (in
km/h)
Reaktionsweg Bremsweg Anhalteweg
(in m)
(in m)
(in m)
18
3
2,08
5,08
36
6
8,33
14,33
54
9
18,75
27,75
72
12
33,33
45,33
90
15
52,08
67,08
108
18
75,00
93,00
126
21
102,08
123,08
144
24
133,33
157,33
5
10
15
20
25
30
35
40
Anhalteweg (in m)
180.00
160.00
140.00
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Übungsaufgaben
• Führe alle Berechnungen für das Ortsgebiet (50 km/h) und
eine Distanz von 30m bis zum Hindernis durch!
• Ergebnisse:
• Für v0=50km/h = 125/9 m/s und a=6m/s2 gilt:
• Bremszeit t=2,31s Bremsweg: s=16,08m. Für Reaktionszeit
tR=0,6s: Anhalteweg: 24,41m, für Reaktionszeit tR=1s:
Anhalteweg: 29,96m.
• Für a=4m/s2 gilt:
• Bremszeit t=3,47s Bremsweg: s=24,11m. Für Reaktionszeit
tR=0,6s: Anhalteweg: 32,45m, für Reaktionszeit tR=1s:
Anhalteweg: 38,00m. In beiden Fällen: Krankenhaus!
Übungsaufgaben
• Für a=3m/s2 gilt:
• Bremszeit t=4,63s Bremsweg: s=32,15m. Für Reaktionszeit
tR=0,6s: Anhalteweg: 40,48m, für Reaktionszeit tR=1s:
Anhalteweg: 46,04m. In beiden Fällen: Krankenhaus!
• Zusatzfrage: Aufprallgeschwindigkeit
• Mit welcher Geschwindigkeit prallt das Fahrzeug im letzten
Fall auf das Hindernis?
• Lösung:
• Nach welcher Zeit hat das Fahrzeug 30m zurückgelegt?
• D.h. 125/9 t – 3/2 t2 + 125/9 = 30 und daraus t= 1,36s. Setzt man
t=1,36s in die Funktion v(t) = 125/9 – 3t ein, erhält man die
„Restgeschwindigkeit“ zum Zeitpunkt des Aufpralls
• (hier: 9,81m/s oder 35,32km/h)
Übungsaufgaben
• Situation: Autobahn – Stau – erkennbar in einer Entfernung
von 200m (Stauende liegt in einer Kurve)
• PKW: Geschwindigkeit 130km/h , a=6m/s2 tR=0,6s
• LKW 50m hinter PKW, erkennt Stauende aufgrund der
höheren Sitzposition gleichzeitig:
• Geschwindigkeit 90km/h a=3m/s2 tR=0,6s.
• Frage: Können beide Fahrzeuge vor dem Stauende anhalten?
•Lösung:
•PKW: Bremszeit: 6,02s, Anhalteweg: 130,33m
•LKW: Bremszeit: 8,33s, Anhalteweg: 119,17m
•d.h. beide können anhalten, LKW bleibt hinter PKW stehen.
Übungsaufgaben
• Variante 1: LKW erkennt das Stauende zwar gleichzeitig mit
dem PKW (also in 250m Entfernung), hat aber abgefahrene
Reifen und schlechte Bremsen, daher a=2m/s2
(Geschwindigkeit unverändert 90km/h):
• Lösung:
• LKW: Bremszeit: 12,5s, Anhalteweg: 171,25m.
• Achtung: Der Anhalteweg des LKW ist größer als jener des
PKW, allerdings stehen ihm 250m Strecke zur Verfügung. Der
PKW stoppt 69,66m vor dem Stau, der LKW 78,75m vor dem
Stau. Ein Aufprall auf den PKW kann damit vermieden
werden.
Übungsaufgaben
• Variante 2: LKW erkennt das Stauende ebenfalls erst in 200m
Entfernung, hat abgefahrene Reifen und schlechte Bremsen,
daher a=2m/s2 , überhöhte Geschwindigkeit 100km/h:
• Lösung:
• LKW: Bremszeit: 13,89s, Anhalteweg: 209,56m.
• Dem LKW stehen nur 130,33 + 50 = 183,33m zum Anhalten zur
Verfügung, er prallt daher in jedem Fall in den PKW!
• Aufprallgeschwindigkeit?
• Für den LKW gilt: s(t)=250/9 t – t2 + 250/9 ∙0,6.
• Will man wissen, wie lange der LKW für 183,33m braucht, setzt
man s(t) = 183,33. Man erhält die Bremszeit t= 8,77s. Zu
diesem Zeitpunkt hat der LKW eine „Restgeschwindigkeit“ von
10,24m/s, das sind ca. 36,88km/h!! Das Grauen beginnt…