Transcript funkcja dielektryczna w modelu Lorentza

6. Oddziaływanie światła z materią
•
•
•
•
•
•
•
Oscylator Lorentza
Funkcja dielektryczna w modelu Lorentza
Zespolony współczynnik załamania
Propagacja fali świetlnej w ośrodku
Prawo Lamberta-Beera
Dyspersja materiałów
Funkcja dielektryczna metali w modelu
Drudego-Lorentza-Sommerfelda
• Częstość plazmowa metali
• Ujemny współczynnik załamania
• Metamateriały
poprzedni wykład:
5. Lasery
Rola emisji wymuszonej
Rozwój akcji laserowej we wnęce laserowej
Cechy światła laserowego
Podstawy fizyczne działania laserów:
Inwersja obsadzeń
Wybór ośrodka aktywnego
Przegląd podstawowych typów laserów
źródło energii pompujacej
LASERy*
zwierciadło
całkowicie
odbijające
zwierciadło
wyjściowe
ośrodek wzmacniajacy
wneka laserowa
Unikalne właściwości światła laserowego:
mała szerokość linii emisyjnej (duża moc
w emisyjnym obszarze widma)
łatwo uzyskać wiązkę:
spolaryzowaną,
spójną w czasie i przestrzeni
o bardzo małej rozbieżności
Laser He-Ne
Działanie lasera bazuje na dwóch zjawiskach:
inwersji obsadzeń i emisji wymuszonej.
Inwersja obsadzeń
Fizykom zajęło trochę czasu by zauważyć, że układ czteropoziomowy
jest najkorzystniejszy.
Układ
trójpoziomowy
Układ
dwupoziomowy
Układ
czteropoziomowy
3
3
2
2
N2
Pompowanie
1
N1
1
Fast decay
Szybki zanik
2
Fast
decay
Szybki
zanik
Pompowanie
Przejście
laserowe
1
0
Przejście
laserowe
Szybki zanik
Podsumowanie: rozwój akcji laserowej
Pompowanie energii:
lamba błyskowa laser
rubinowy),
inny laser (w ośrodkach
aktywnych, którymi są
barwniki),
wyładowanie elektryczne (laser
He-Ne),
przyłożone napiecie (lasery
diodowe)
Oddziaływanie światła z materią
Nasz ogląd świata jest wynikiem
kreowania i anihilowania fotonów, czyli sposobu,
w jaki światło oddziałuje z materią.
Oddziaływanie światła z materią
Wynik tego oddziaływania zależy od własności
materii,
ale również od cech światła (częstotliwość, (dla
materiałów dwójłomnych również kąt padania i
polaryzacja)
Oddziaływanie światła z materią
Zależność od częstotliwości:
modelowanie
Oscylator harmoniczny
Kiedy działamy siłą periodyczną na układu zdolny do wykonywania oscylacji
(wahadło, sprężyna, huśtawka, atom) mamy do czynienia z oscylatorem
wymuszonym.
Przykłady:
Dziecko (niekoniecznie) bujane na huśtawce
Wahadło
Wysokie lub długie konstrukcje na wietrze
lub w czasie trzęsienia ziemi
Atom w polu fali świetlnej
Jean-Honore Fragonard:
The Swing
Oscylator harmoniczny
Oscylator wymuszony jest jednym z ważniejszych problemów w fizyce.
Wiąże się z nim pojęcie częstości rezonansowej i zjawiska rezonansu.
Częstość:
zbyt mała,
rezonansowa,
zbyt duża
Odpowiedź ładunków związanych na pole elektromagnetyczne
jest bardzo podobna!
Oscylator Loretza
- model, w którym atomy ośrodka wyobrażamy sobie jako oscylujące dipole. Każdy z
atomów posiada charakterystyczne częstości, które odpowiadają jego energiom przejść
między poziomami energetycznymi modelu kwantowego.
Elektron w położeniu xe(t), sprężyście związany z atomem siłą:
Fspr = - ksprxe= meo2 xe
porusza się w polu elektrycznym fali świetlnej pod wpływem siły:
Fel = eE0 exp(-i t):
me d 2 xe / dt 2  me02 xe  eE0 exp(it )
Rozwiązaniem jest:
 e / m  
xe (t )   2 e 2  E0 exp(i t )
 0    
Elektron oscyluje w polu fali padającej z częstością pola , ale
amplituda jego oscylacji zależy od różnicy częstości własnej i
częstości pola.
Oscylator Loretza
- model, w którym atomy ośrodka wyobrażamy sobie jako oscylujące dipole. Każdy z
atomów posiada charakterystyczne częstości, które odpowiadają jego energiom przejść
między poziomami energetycznymi modelu kwantowego.
Elektron w położeniu xe(t), sprężyście związany z atomem siłą:
Fspr = - ksprxe= meo2 xe
porusza się w polu elektrycznym fali świetlnej pod wpływem siły:
Fel = eE0 exp(-i t):
me d 2 xe / dt 2  me02 xe  eE0 exp(it )
Rozwiązaniem jest:
 e / m  
xe (t )   2 e 2  E0 exp(i t )
 0    
Elektron oscyluje w polu fali padającej z częstością pola , ale
amplituda jego oscylacji zależy od różnicy częstości własnej i
częstości pola.
Oscylator Loretza
- model, w którym atomy ośrodka wyobrażamy sobie jako oscylujące dipole. Każdy z
atomów posiada charakterystyczne częstości, które odpowiadają jego energiom przejść
między poziomami energetycznymi modelu kwantowego.
Elektron w położeniu xe(t), sprężyście związany z atomem siłą:
Fspr = - ksprxe= meo2 xe
porusza się w polu elektrycznym fali świetlnej pod wpływem siły:
Fel = eE0 exp(-i t):
me d 2 xe / dt 2  me02 xe  eE0 exp(it )
Rozwiązaniem jest:
 e / m  
xe (t )   2 e 2  E0 exp(i t )
 0    
Elektron oscyluje w polu fali padającej z częstością pola , ale
amplituda jego oscylacji zależy od różnicy częstości własnej i
częstości pola.
Oscylator Loretza
- model, w którym atomy ośrodka wyobrażamy sobie jako oscylujące dipole. Każdy z
atomów posiada charakterystyczne częstości, które odpowiadają jego energiom przejść
między poziomami energetycznymi modelu kwantowego.
Elektron w położeniu xe(t), sprężyście związany z atomem siłą:
Fspr = - ksprxe= meo2 xe
porusza się w polu elektrycznym fali świetlnej pod wpływem siły:
Fel = eE0 exp(-i t):
me d 2 xe / dt 2  me02 xe  eE0 exp(it )
Rozwiązaniem jest:
 e / m  
xe (t )   2 e 2  E0 exp(i t )
 0    
Elektron oscyluje w polu fali padającej z częstością pola , ale
amplituda jego oscylacji zależy od różnicy częstości własnej 0 i
częstości pola .
Oscylator Lorentza
Nasze rozwiązanie:
 e / m  
xe (t )   2 e 2  E0 exp(i t )
 0    
E (t )
w rezonansie ma nieskończoną amplitudę.
xe (t )
Oscylator Lorentza:
Ale już oscylator tłumiony:
d 2 xe
dx
me 2  me e  me02 xe  eE0 exp(i t )
dt
dt
z siłą tłumiącą proporcjonalną do prędkości i
skierowaną przeciwnie:
Ftlum  me
dxe
dt
posiada rozwiązanie:


(e / me )
xe (t )   2
 E (t )
2
 (0    i ) 
E (t )
xe (t )
Elektron znowu oscyluje z częstością fali elektromagnetycznej, ale
możliwe jest przesunięcie fazowe. Tym razem amplituda jest skończona
dla wszystkich częstotliwości .
Oscylator Lorentza:
Ale już oscylator tłumiony:
d 2 xe
dx
me 2  me e  me02 xe  eE0 exp(i t )
dt
dt
z siłą tłumiącą proporcjonalną do prędkości i
skierowaną przeciwnie:
Ftlum  me
dxe
dt
posiada rozwiązanie:


(e / me )
xe (t )   2
 E (t )
2
 (0    i ) 
E (t )
xe (t )
Elektron znowu oscyluje z częstością fali elektromagnetycznej, ale
możliwe jest przesunięcie fazowe. Tym razem amplituda jest skończona
dla wszystkich częstotliwości .
Oscylator Lorentza:
Ale już oscylator tłumiony:
d 2 xe
dx
me 2  me e  me02 xe  eE0 exp(i t )
dt
dt
z siłą tłumiącą proporcjonalną do prędkości i
skierowaną przeciwnie:
Ftlum  me
dxe
dt
posiada rozwiązanie:


(e / me )
xe (t )   2
 E (t )
2
 (0    i ) 
E (t )
xe (t )
Elektron znowu oscyluje z częstością fali elektromagnetycznej, ale
możliwe jest przesunięcie fazowe. Tym razem amplituda jest skończona
dla wszystkich częstotliwości .
Co opisuje czynnik tłumiący 
Atomy spontanicznie powracają do stanu podstawowego po
pewnym czasie.
Oscylacje dipoli wzbudzone w ośrodku sumują się. Zderzenia
powodują defazację poszczególnych oscylacji; ich suma maleje.
zderzenia
Atom #1
Defazacja oscylacji przez
zderzenia sprawia, że
wzbudzone oscylacje
zanikają w czasie.
Atom #2
Atom #3
Światło emitowane przez
taki ośrodek będzie się
też w podobny sposób
zmieniać w czasie.
Sum:
Suma
czas
time
Zobaczyliśmy, co światło może zrobić atomom
ośrodka.
Wniosek: skuteczność wymuszenia oscylacji
(dipoli) atomowych ośrodka silnie zależy od
częstości !
Teraz zobaczmy, jaki z kolei wpływ mają
wzbudzone oscylacje na falę
elektromagnetyczną, rozchodzącą się w
ośrodku.
Niejednorodne równanie falowe
P(t )  Ne xe (t )
Polaryzacja indukowana w ośrodku:
e jest ładunkiem elektronu,
N jest koncentracją elektronów zwiaząnych ośrodka, które oddziałują ze
światłem.
2 E 1 2 E
2 P
 2 2  0 2
2
z
c t
t
Dla naszych oscylujących elektronów:
 e 

1
xe (t )  

 E (t )
 2m e   (0    i / 2) 
 e 

1
P( z, t )  Ne 

 E0 exp[i(kz   t )]
2

m
(




i

/
2)
e 
0


 P0
Możemy więc zapisać:
P(t )   0  E (t )
gdzie: P0   0  E0
gdzie:
E(z,t)
 Ne2  

1
 


2


m
(




i

/
2)
e 
0
 0

jest podatnością elektryczną ośrodka
Dielektryki liniowe:
podatność elektryczna i przenikalność dielektryczna


P(t )   o E(t )
 Ne2  

1
 


2


m
(




i

/
2)
e 
0
 0

podatność elektryczna ośrodka

 
E jest natężeniem całkowitego pola elektrycznego, E  Ezewn
Wprowadźmy pole indukcji elektrycznej :


A więc D jest również proporcjonalne do E :


D  0E  P



  0 E   0 E   0 (1   ) E


D  E
gdzie:    0 (1   ) jest przenikalnością elektryczną,
 r  (1   ) jest względną przenikalnością elektryczną
(funkcją dielektryczną) ośrodka.
Nie zapomnij: Wszystkie wielkości charakteryzujące odpowiedź danego
ośrodka na pole elektromagnetyczne są funkcjami częstości  !
Dielektryki liniowe:
podatność elektryczna i przenikalność dielektryczna


P(t )   o E(t )
 Ne2  

1
 


2


m
(




i

/
2)
e 
0
 0

podatność elektryczna ośrodka

 
E jest natężeniem całkowitego pola elektrycznego, E  Ezewn
Wprowadźmy pole indukcji elektrycznej :


A więc D jest również proporcjonalne do E :

 
D  0E  P



  0 E   0 E   0 (1   ) E


D  E
gdzie:    0 (1   ) jest przenikalnością elektryczną,
 r  (1   ) jest względną przenikalnością elektryczną
(funkcją dielektryczną) ośrodka.
Nie zapomnij: Wszystkie wielkości charakteryzujące odpowiedź danego
ośrodka na pole elektromagnetyczne są funkcjami częstości  !
Dielektryki liniowe:
podatność elektryczna i przenikalność dielektryczna


P(t )   o E(t )
 Ne2  

1
 


2


m
(




i

/
2)
e 
0
 0

podatność elektryczna ośrodka

 
E jest natężeniem całkowitego pola elektrycznego, E  Ezewn
Wprowadźmy pole indukcji elektrycznej :


A więc D jest również proporcjonalne do E :


D  0E  P



  0 E   0 E   0 (1   ) E


D  E
gdzie:    0 (1   ) jest przenikalnością elektryczną,
 r  (1   ) jest względną przenikalnością elektryczną
(funkcją dielektryczną) ośrodka.
Nie zapomnij: Wszystkie wielkości charakteryzujące odpowiedź danego
ośrodka na pole elektromagnetyczne są funkcjami częstości  !
Dielektryki liniowe:
funkcja dielektryczna w modelu Lorentza
Ne 2
1
 r ( )  1 
 0 me (02   2  i)
 1  i 2
02   2
Ne2
1 ( )  1 
 0 me (02   2 ) 2  () 2
Ne2

 2 ( ) 
 0 me (02   2 ) 2  () 2
Dielektryki liniowe:
funkcja dielektryczna w modelu Lorentza
Gdy ośrodek posiada wiele częstości rezonansowych 0j:
Ne 2
 r ( )  1 
 0 me

j
fj
(02 j   2  i j )
Częstości rezonansowe 0j to częstości własne
układu (istnieją niezależnie od tego, czy układ
oddziałuje z polem fali świetlnej, czy nie);
charakteryzują układ, jako taki.
Warto je znać!
Tacoma Narrows Bridge
zerwany z powodu wiatrów
uderzających z częstościami
rezonansowymi konstrukcji
(November 7 1940 11:00AM ).
Nowy
Tacoma Narrows Bridge
(otwarty 2007)
Dielektryki liniowe:
funkcja dielektryczna a
Ne 2
1
 r ( )  1 
 0 me (02   2  i)
funkcja dielektryczna
w modelu Lorentza
Absorpcja i załamanie światła w ośrodku opisane są przez
zespolony współczynnik załamania:
~()   ()
n
n( )  Re n~ ( )
 ( )  Im n~ ( )
jest (rzeczywistym)
współczynnikiem załamania
jest
współczynnikiem ekstynkcji
(absorpcji)
Dielektryki liniowe:
funkcja dielektryczna a
Ne 2
1
 r ( )  1 
 0 me (02   2  i)
funkcja dielektryczna
w modelu Lorentza
Absorpcja i załamanie światła w ośrodku opisane są przez
zespolony współczynnik załamania:
~()   ()
n
n( )  Re n~ ( )
 ( )  Im n~ ( )
jest (rzeczywistym)
współczynnikiem załamania
jest
współczynnikiem ekstynkcji
(absorpcji)
Współczynnik załamania w funkcji częstości
Ponieważ częstości rezonansowe pojawiają się w różnych obszarach
widma elektromagnetycznego, współczynniki n() i () zmieniają się
w złożony sposób.
przejścia
elektronowe

n
Rezonanse:
oscylacyjne
i rotacyjne
podczerień
widzialne
UV
X
czestotliwość (Hz)
n rośnie z częstotliwością, z wyjątkiem obszarów anomalnej dyspersji.
Całkowite pole elektryczne
propagujące się w ośrodku:
~
E ( z, t )  E (0) exp( i (k z  t ))
Relacja dyspersji:
~ n~

k 
 ( n  i )
c
c
k0 

c
E ( z, t )  E (0)e   z / c exp( i (nk0 z  t ))
E0(z)
Powoli zmieniająca się obwiednia i oscylacje
• Współczynnik ekstynkcji tłumi pole
• Współczynnik załamania zmienia
~ n

długość wektora falowego (długość fali): k  Re k 
c
n=c/vph
2
(0 / n)
0 jest długością fali o częstości  w próżni
Całkowite pole elektryczne
propagujące się w ośrodku:
~
E ( z, t )  E (0) exp( i (k z  t ))
Relacja dyspersji:
~ n~

k 
 ( n  i )
c
c
k0 

c
E ( z, t )  E (0)e   z / c exp( i (nk0 z  t ))
E0(z)
Powoli zmieniająca się obwiednia i oscylacje
• Współczynnik ekstynkcji tłumi pole
• Współczynnik załamania zmienia
~ n

długość wektora falowego (długość fali): k  Re k 
c
n=c/vph
2
(0 / n)
0 jest długością fali o częstości  w próżni
Całkowite pole elektryczne
propagujące się w ośrodku:
~
E ( z, t )  E (0) exp( i (k z  t ))
Relacja dyspersji:
~ n~

k 
 ( n  i )
c
c
k0 

c
E ( z, t )  E (0)e   z / c exp( i (nk0 z  t ))
E0(z)
Powoli zmieniająca się obwiednia i oscylacje
• Współczynnik ekstynkcji  tłumi pole
• Współczynnik załamania n zmienia długość
~ n

wektora falowego k (długość fali): k  Re k 
c
n=c/vph
2
(0 / n)
0 jest długością fali o częstości  w próżni
Modyfikacja fali świetlnej po przejściu do ośrodka:
Próżnia (lub powietrze)
Ośrodek
n=1
0
2
c
Ren = 2
Głębokość absorpcji = 1/a
k0
nk0
0/n
E ( z, t )  E0 (0) exp[i(k0 z  t )]
a
Długość fali maleje
E0 (0) exp[(a / 2) z ] exp[i(nk0 z   t )]
Zazwyczaj: prędkość światła, długość fali, amplituda maleją.
Częstotliwość  nie zmienia się.
n=c/vph
Współczynnik ekstynkcji i irradiancja (natężenie))
Natężenie jest proporcjonalne do (średniego) kwadratu pola.
Ponieważ E(z)  exp(-az/2), natężenie wynosi:
Prawo BEERa
lub
Lamberta-Beera
I(z) = I(0) exp(-a z)
gdzie I(0) jest natężeniem w z = 0, a I(z) jest natężeniem w z,
współczynnik absorpcji:
a
2
c
Tak więc natężenie światła jest tłumione i zanika
~ exp(-a z) w miarę propagacji w ośrodku.
W obszarze widzialnym współczynnik absorbancji bezbarwnych materiałów
przezroczystych (szkło) jest w przybliżeniu stały. W ogólności a (jak i ) silnie
zależą od częstości  (DYSPERSJA!).
z
Współczynnik ekstynkcji i irradiancja (natężenie))
Natężenie jest proporcjonalne do (średniego) kwadratu pola.
Ponieważ E(z)  exp(-az/2), natężenie wynosi:
Prawo BEERa
lub
Lamberta-Beera
I(z) = I(0) exp(-a z)
gdzie I(0) jest natężeniem w z = 0, a I(z) jest natężeniem w z,
współczynnik absorpcji:
a
2
c
Za tłumienie odpowiedzialne są dwa procesy:
• absorpcja (energia jest pochłonięta (np. przez atom; elektrony walencyjne przechodzą
do stanu o wyższej energii). Zaabsorbowana energia może być ponownie wyemitowana
jako energia promieniowania, lub może być zamieniona na ciepło.
• rozpraszanie - wiąże się z niejednorodnościami układu, w którym zachodzi propagacja
fal. Światło oddziaływując z materią powoduje drgania cząsteczek i wypromieniowanie
(wtórnych) fal elektromagnetycznych
Dyspersja materiałów: podsumowanie
• współczynnik załamania szybko się
zmienia w pobliżu atomowej
(molekularnej) częstości rezonansowej
n ( )
• wówczas rośnie też współczynnik
absorpcji
1
0
–/2 /2
  0
0  
• n(), n() to krzywa dyspersji
materiałowej
• rejon krzywej dyspersji, w którym n()
rośnie, gdy  rośnie, to obszar dyspersji
normalnej
• rejon krzywej dyspersji, w którym n()
, gdy  rośnie to dyspersja anomalna
 ( )
0
–/2
/2
• ze względu na absorpcję, dyspersja
anomalna jest trudna do obserwacji
(ośrodek jest nieprzezroczysty).
Większość materiałów optycznych
absorbuje w UV)
38
• materiały optyczne - duże n , małe 
0
Dyspersja materiałów przezroczystych
Dla światła widzialnego, dla większości materiałów przezroczystych
(np. dla szkieł):
czyli:
- obszar dyspersji normalnej
Współczynnik załamania w funkcji częstości
dla rzeczywistych materiałów
Przykłady:
szkło
n

5
10
20
30
50  m]
Współczynnik załamania
Przykłady wartości dla światła o długość 580 nm dla różnych materiałów:
Zadanie domowe:
1. Sprawdź, że wyrażenie:


(e / me )
xe (t )   2
 E (t )
2
 (0    i ) 
jest rozwiązaniem równania:
z E(t) = exp(-it)
d 2 xe
dx
me 2  me e  me02 xe  eE0 exp(i t )
dt
dt
Jak w języku funkcji dielektrycznej i
zespolonego współczynnika załamania
opisać własności optyczne metali?
Własności:
•
tworzenie połyskliwej, gładkiej powierzchni
•
ciągliwość i kowalność
•
dobre przewodnictwo elektryczne
•
dobre przewodnictwo cieplne
Własności te wynikają z faktu, ze metale zawierają wysokie gęstości
elektronów swobodnych (niezwiązanych), które pochodzą z powłok
walencyjnych atomów metalu. Elektrony te (gaz elektronowy) nie są już
związane z konkretnym jonem dodatnim i mogą się swobodnie poruszać.
Elektrony swobodne nie doświadczają siły przeciwdziałającej wychyleniu
w polu elektrycznym
Metale: funkcja dielektryczna w
modelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda
Elektron w położeniu xe(t), porusza się w polu elektrycznym fali świetlnej
pod wpływem siły:
Fel = eE0 exp(-i t)
Ruch elektronu podlega sile tłumiącej proporcjonalnej do prędkości i
skierowanej przeciwnie:
dx
Ftlum  me
e
dt
d 2 xe
dxe
me 2  me
 me02 xe  eE0 exp(i t )
dt
dt
Metale: funkcja dielektryczna w
modelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda
Elektron w położeniu xe(t), porusza się w polu elektrycznym fali świetlnej
pod wpływem siły:
Fel = eE0 exp(-i t)
Ruch elektronu podlega sile tłumiącej proporcjonalnej do prędkości i
skierowanej przeciwnie:
dx
Ftlum  me
e
dt
d 2 xe
dxe
me 2  me
 me02 xe  eE0 exp(i t )
dt
dt
Metale: funkcja dielektryczna w
modelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda
Elektron w położeniu xe(t), porusza się w polu elektrycznym fali świetlnej
pod wpływem siły:
Fel = eE0 exp(-i t)
Ruch elektronu podlega sile tłumiącej proporcjonalnej do prędkości i
skierowanej przeciwnie:
dx
Ftlum  me
e
dt
d 2 xe
dxe
me 2  me
 me02 xe  eE0 exp(i t )
dt
dt
Metale: funkcja dielektryczna w
modelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda
Wprowadźmy pole indukcji elektrycznej :


A więc D jest również proporcjonalne do E :

 
D  0E  P



  0 E   0 E   0 (1   ) E


D  E
gdzie:    0 (1   ) jest przenikalnością elektryczną,
 r  (1   ) jest względną przenikalnością elektryczną
(funkcją dielektryczną) ośrodka.
p2
r  1 2
  i
 1  i 2
p2
1  1  4
   2 2
gdzie p jest częstością plazmową
danego metalu:
 p 2
2  1 4
   2 2
1/ 2
 Ne 

 p  
  0 me 
2
Metale: funkcja dielektryczna w
modelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda
Wprowadźmy pole indukcji elektrycznej :


A więc D jest również proporcjonalne do E :

 
D  0E  P



  0 E   0 E   0 (1   ) E


D  E
gdzie:    0 (1   ) jest przenikalnością elektryczną,
 r  (1   ) jest względną przenikalnością elektryczną
(funkcją dielektryczną) ośrodka.
p2
r  1 2
  i
 1  i 2
p2
1  1  4
   2 2
gdzie p jest częstością plazmową
danego metalu:
 p 2
2  1 4
   2 2
1/ 2
 Ne 

 p  
  0 me 
2
Metale: funkcja dielektryczna w
modelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda
Wprowadźmy pole indukcji elektrycznej :


A więc D jest również proporcjonalne do E :

 
D  0E  P



  0 E   0 E   0 (1   ) E


D  E
gdzie:    0 (1   ) jest przenikalnością elektryczną,
 r  (1   ) jest względną przenikalnością elektryczną
(funkcją dielektryczną) ośrodka.
p2
r  1 2
  i
 1  i 2
p2
1  1  4
   2 2
gdzie p jest częstością plazmową
danego metalu:
 p 2
2  1 4
   2 2
1/ 2
 Ne 

 p  
  0 me 
2
Metale: funkcja dielektryczna w
modelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda
Wprowadźmy pole indukcji elektrycznej :


A więc D jest również proporcjonalne do E :

 
D  0E  P



  0 E   0 E   0 (1   ) E


D  E
gdzie:    0 (1   ) jest przenikalnością elektryczną,
 r  (1   ) jest względną przenikalnością elektryczną
(funkcją dielektryczną) ośrodka.
p2
r  1 2
  i
 1  i 2
p2
1  1  4
   2 2
gdzie p jest częstością plazmową
danego metalu:
 p 2
2  1 4
   2 2
1/ 2
 Ne 

 p  
  0 me 
2
Metale: funkcja dielektryczna w
modelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda
r  1
p
2
 2  i
1/ 2
2


Ne
gdzie p jest częstością plazmową

 p  
danego metalu:
  0 me 
Załóżmy dla prostoty, że  = 0. Wówczas dla częstości
poniżej częstości plazmowej r < 0, a współczynnik
załamania:
n~  i ,
Metale: funkcja dielektryczna w
modelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda
r  1
p
2
 2  i
1/ 2
2


Ne
gdzie p jest częstością plazmową

 p  
danego metalu:
  0 me 
Załóżmy dla prostoty, że  = 0. Wówczas dla częstości
poniżej częstości plazmowej r < 0, a współczynnik
załamania:
gdyż dla:
n~  i ,
 < p
r() < 0
Współczynnik załamania metali jest więc liczbą zespoloną
nawet wtedy, gdy funkcja dielektryczna jest rzeczywista!
Metale: funkcja dielektryczna w
modelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda
 2  i
Odbijalność %
r  1
p
2
1/ 2
2


Ne
gdzie p jest częstością plazmową

 p  
danego metalu:
  0 me 
Światło o częstotliwości poniżej
częstotliwości plazmowej jest
odbijane; elektrony metalu ekranują
pole elektryczne fali światła.
Długość fali
Metale: funkcja dielektryczna w
modelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda
r  1
p
2
 2  i
1/ 2
2


Ne
gdzie p jest częstością plazmową

 p  
danego metalu:
  0 me 
Bardzo silna absorpcja sprawia, że fala
elektromagnetyczna może wniknąć do metalu
jedynie niewiele, na odległość mniejszą niż
długość fali: efekt naskórkowy
Głębokość wnikania dla różnych metali
Metale: funkcja dielektryczna w
modelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda
Konfrontacja z metalami rzeczywistymi:
Metale: funkcja dielektryczna w
modelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda
Konfrontacja z metalami rzeczywistymi:
Funkcja dielektryczna Drudego
z parametrami efektywnymi:
 D ( )    
p
2
 (  i )
ε∞ - zawiera dodatkowy wkład elektronów związanych do
polaryzowalności (o wartości 1 jeśli mamy tylko elektrony swobodne
1/ 2
 Ne 2 

 p  
*  , N i m* - koncentracja i masa efektywna elektronów

m
e
 0
 przewodnictwa
 - prędkość relaksacji związana z przewodnictwem DC
Metale: funkcja dielektryczna w
modelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda
Konfrontacja z metalami rzeczywistymi:
metale alkaiczne
Sód w nafcie
Metale: funkcja dielektryczna w
modelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda
Konfrontacja z metalami rzeczywistymi:
metale szlachetne
parametry efektywne:
 0 = 9,84, p = 9,096eV ,
= 0,072eV dla złota
 0 = 3,7, p = 8,9 eV ,
 = 0,021eV dla srebra
Metale: funkcja dielektryczna w
modelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda
Dlaczego modele funkcji
dielektrycznej
są tak ważne, skoro znamy
współczynnik załamania i absorpcji
wielu przydatnych materiałów
(tabele zmierzonych wielkości dla
wielu częstotliwości )?
Zadanie domowe:
1. Sprawdź, że wyrażenie:


(e / me )
xe (t )   2
 E (t )
2
 (0    i ) 
jest rozwiązaniem równania:
z E(t) = exp(-it)
d 2 xe
dx
me 2  me e  me02 xe  eE0 exp(i t )
dt
dt
Metale: funkcja dielektryczna w
modelu Drudego-Lorentza-Sommerfelda
Dlaczego modele funkcji
dielektrycznej
są tak ważne, skoro znamy
współczynnik załamania i absorpcji
wielu przydatnych materiałów
(tabele zmierzonych wielkości dla
wielu częstotliwości )?
Ujemny współczynnik załamania
Dla większości materiałów optycznych μr jest stała i bliska 1dla częstości
optycznych i mogliśmy używać definicji:
~()   ()
n
r
Ogólniej:
~()   () ()
n
r
r
Praktycznie wszystkie przezroczyste materiały mają dodatnie wartości zarówno
przenikalności elektrycznej ε jak i magnetycznej μ.
Ogólniej:
~()  (  () )(  () )
n
r
r
4 rozwiązania.
Które można zrealizować?
Ostatnie badania wykazały istnienie materiałów o ujemnym współczynniku
załamania, który pojawia się, gdy obie części rzeczywiste Re(εr()) i Re(μr()) są
naraz ujemne (jest to warunek wystarczający, ale nie konieczny).
Materiały o takich własnościach nie są znane w przyrodzie, ale można je wytworzyć
jako tzw. metamateriały.
Ujemny współczynnik załamania
Dla większości materiałów optycznych μr jest stała i bliska 1dla częstości
optycznych i mogliśmy używać definicji:
~()   ()
n
r
Ogólniej:
~()   () ()
n
r
r
Praktycznie wszystkie przezroczyste materiały mają dodatnie wartości zarówno
przenikalności elektrycznej ε jak i magnetycznej μ.
Ogólniej:
~()  (  () )(  () )
n
r
r
4 rozwiązania.
Które można zrealizować?
Ostatnie badania wykazały istnienie materiałów o ujemnym współczynniku
załamania, który pojawia się, gdy obie części rzeczywiste Re(εr()) i Re(μr()) są
naraz ujemne (jest to warunek wystarczający, ale nie konieczny).
Materiały o takich własnościach nie są znane w przyrodzie, ale można je wytworzyć
jako tzw. metamateriały.
Ujemny współczynnik załamania
Dla większości materiałów optycznych μr jest stała i bliska 1dla częstości
optycznych i mogliśmy używać definicji:
~()   ()
n
r
Ogólniej:
~()   () ()
n
r
r
Praktycznie wszystkie przezroczyste materiały mają dodatnie wartości zarówno
przenikalności elektrycznej ε jak i magnetycznej μ.
Ogólniej:
~()  (  () )(  () )
n
r
r
4 rozwiązania.
Które można zrealizować?
Ostatnie badania wykazały, że mogą istnienić materiały o ujemnym współczynniku
załamania, gdy obie części rzeczywiste Re(εr()) i Re(μr()) są naraz ujemne (jest to
warunek wystarczający, ale nie konieczny).
Materiały o takich własnościach nie są znane w przyrodzie, ale można je wytworzyć
jako tzw. metamateriały.
Metamateriały
Ośrodki sztucznie wyprodukowane o parametrach materiałowych nieznanych w przyrodzie. Ich odpowiedź
na pole elektromagnetyczne posiada cechy wykraczające poza cechy materiałów, z których są wykonane.
Są to materiały, które zyskują swe własności raczej dzięki strukturze (nie wynikają wprost z powodu składu).
Metamateriały często tworzone są ze struktur periodycznych.
Przykłady topografii:
Materiały o ujemnym współczynniku załamania. tzw materiały lewoskrętne , mają szczególne znaczenie w optyce i fotonice,
gdzie ich własności umożliwiają wytwarzanie nieklasycznych typów soczewek, anten, modulatorów i filtrów.
Ujemny współczynnik załamania
a prawo Snella:
Załamanie światła zachodzi zgodnie z prawem Snelliusa:
n1sinθ1 = n2sinθ2
dla kąta załamania o ujemnej wartości:
normalny materiał (np. szkło, woda)
metamateriał
Ujemny współczynnik załamania
Metamateriały
normalny materiał
metamateriał
Ujemny współczynnik załamania
Supersoczewka
(cienka warstwa)
normalny materia
Ujemny współczynnik załamania
Metamateriały
Ta soczewka ma niezwykłą własność: jest pozbawiona aberacji:
Supersoczewka
Ujemny współczynnik załamania
Metamateriały
Ponieważ współczynnik załamania jest ujemny, prędkość fazowa
i prędkość grupowa fali elektromagnetycznej mogą rozchodzić się
w przeciwnych kierunkach!
Kierunek propagacji i kierunek przepływu energii są więc róże!
Materiały „lewoskrętne”
k = k0 n
Dla fali płaskiej propagującej a się w metamateriale wzajemne kierunki pola elektrycznego, pola magnetycznego i wektora
Poyntinga podlegają regule lewej ręki (nie jak w regule „prawej reki” dla iloczynu wektorowego):
nowa klasa materiałów: metamateriały lewoskrętne.
Uśredniony po czasie wektor Poyntinga jest anty-równoległy do prędkości fazowej.
Oznacza to, że w przeciwieństwie do zwykłych materiałów prawoskrętnych, fronty falowe
poruszają się w kierunku przeciwnym do kierunku przepływu energii!
Przykład: Jednowymiarowa packa falowa w materiale lewo- i prawo-skrętnym
Ujemny współczynnik załamania
Metamateriały
Specyficzne własności:
•
•
•
•
•
•
Załamują światło zgodnie z prawem Snelliusa (N1sinθ1 = N2sinθ2) dla
negatywnej wartości refrakcji, czyli kąt załamania ma ujemną wartość (patrz
diagram).
Efekt Dopplera jest odwrócony (światło ze źródła poruszającego się w kierunku
obserwatora ma obniżoną częstotliwość)
Promieniowanie Czerenkowa jest wysyłane w przeciwną stronę niż poruszająca
się cząstka naładowana.
Prędkość grupowa fali ma zwrot przeciwny do prędkości fazowej.
Światło ma tym większą długość fali im wyższą częstotliwość (odwrotnie niż w
zwykłych materiałach).
Dla fali płaskiej propagującej a się w takim metamateriale wzajemne kierunki
pola elektrycznego, pola magnetycznego i wektora Poyntinga podlegają regule
lewej ręki (nie jak w regule „prawej reki” dla iloczynu wektorowego). Fakt ten
pozwala nazywać klasę materiałów: metamateriały lewoskrętne.
Ale uwaga: termin materiał lewoskrętny czy prawoskrętny używany jest w kontekście
materiałów posiadających skrętność optyczną
Nowa terminologia!!!
Metamateriały
Niewidzialność!?
Metamateriały
Niewidzialny tunel
Rysunek wskazujący jako promienie świetlne
musiałyby być ugięte wokół maskowanego
obiektu, by sprawić, by stał się niewidoczny;
światło rozchodzi się tak, że obserwator ma
wrażenie, że przeszło przez obiekt.
Hipotetyczny metamateriał
Niewidzialność!?
http://www.youtube.com/watch?v=oLbS3M4V7oI&feature=response_watch
http://www.youtube.com/watch?v=Ja_fuZyHDuk
Metamateriały
Niewidzialny płaszcz
(na wybrane długości fal)
Sekretny tunel
(na wybrane długości fal)
http://www.youtube.com/watch?v=oLbS3M4V7oI&feature=response_watch
http://www.youtube.com/watch?v=Ja_fuZyHDuk
Dziękuję za uwagę