Transcript Применение графического метода для решения различных

Применение
графического метода
для решения различных
математических задач
Учитель гимназии №3
Шахова Т. А.
Задача

Два джентльмена одновременно отправились
на прогулку по аллее длиной 100 метров.
Мистер Смит за час проходит 1 км, мистер
Джонс идёт помедленнее - всего 600 метров в
час. Дойдя до конца аллеи, каждый
поворачивает и с прежней скоростью идёт
обратно. Встречаясь, они каждый раз
раскланиваются. Сколько раз они
раскланиваются на протяжении первых 25
минут? Сколько времени из этих 25 минут
они шли в одном направлении?
Графический способ








Vc=1000/60=
=100/6 м/мин
Tc=100/(100/6)=
=6 мин
VД= 600/60=
=10 м/мин
TД =100=
=10 мин
Задача №2. Решите неравенство:
x  0, x  
1
, х  2
2

О. Д. З.

1)
6х
 1  log2 ( 2  x );( х  0 )
2x  1

2)
6х
 1  log2 ( 2  x );( х  0 )
2x  1

Построим графики правой и левой
частей неравенства:
6х
у1 
 3
2x  1
3
2( х 
1
)
2
у 2  1  log2 ( 2  x )

Предполагаемый ответ:
1
x  (  ;0 )
2
1  log2 ( 2  x )
6

2x  1
x
1) Пусть -2 < х < -1/2, тогда
6х / (2х + 1) = 3 – 3 / (2х + 1) > 3 > 1 + log22 > 1 + log2(2 + х), т.е.
неравенство не выполнено
2) Пусть -1/2 < х < 0, тогда
6х / (2х + 1) < 0 < 1 + log2(2 – 1/2 ) < 1 + log2(2 + х), т.е.
неравенство выполнено
3) Пусть 0 < х ≤ 1, тогда
6х / (2х + 1) = 3 – 3 / (2х + 1) ≤ 3 – 3/3 = 2 < 1 + log2(2 + х),
неравенство не выполнено
4) Пусть 1 < х ≤ 2, тогда
6х / (2х + 1) = 3 – 3 / (2х + 1) ≤ 3 – 3/5 < 1 + log23 < 1 + log2(2 + х),
(т.к. 27 = 128 < 243 = 35 = > 7 < 5 log23 = > 12/5 < 1 + log23),
т.е. неравенство не выполнено.
5)Пусть х > 2, тогда
6х / (2х + 1) = 3 – 3 / (2х + 1) < 3 = log2 х < 1 + log2(2 + х),
неравенство не выполнено.
1 x
Задача №3. Верно ли, что уравнение
log1 x  (
)
имеет один корень?
16
16
1
при х 
2
равенство верно
1
при х 
4
равенство верно
Ответ: нет.
Не верь глазам своим?
Графический метод
требует подкрепления
аналитическими
доказательствами
Задача №4. Среди всех решений системы
x2  y2  3
 2
2
a  b  25
 xb  ya  5 3

найти такие, при которых выражение х+а принимает
наибольшее значение.

3
 3 
d  OD 
;1
 5 


D

x a 
ba
 3
 z Выражение
5





z  OZсобой
x ; скалярное
y
 c представляет
5
z c  e c
cosCOZ 
 
c иCOZ .
произведение
 5 вектора

3  5 3 cos

3  
z c 5 c
 OC a3; b


вектора



d  OD 
;1 ,
Но cosCOZ  1  z   c  исходной системе
удовлетвор
яют
5




28:
те , только те значения x , y , a
, b , для абсолютную
которых величину
выполнено
имеющего
5

a 2  b 225
28
поэтому
 x  a 3 c d  5  5 cosCOD
b
 x наибольшее
принимает
значение,
5


когда  yc3d a. .

5
,
Ответ:



28
  5  25
a   1 :

5 
28



 3

28
5 3

b  
:
5 
 5


5 
28


3 5 3
3


x  5 
28
28

 y  3  25  5 3

5
28
28

Задача №5
Из города В в город А в 5ч 30мин вылетел
самолет. В 8ч 30 мин из А в В вылетел вертолет. Скорость
самолета и вертолета на всем пути постоянные и они
летят по одной трассе. После их встречи вертолет
прибыл в В через 9ч, а самолет прибыл в А через 2ч. Найти
время прибытия самолета в город А.
Направим
координатную ось от
А к В с началом в А.
Отсчет времени
производим от
момента вылета
самолета.
 Изобразим
зависимости х(t)
самолета (BD) и
вертолета (EN).

B
3 p
9
M
C
A
3
p
E
K
2
D
N
∆CEK~∆CNM, ∆CDK~∆CBM
EK
CK
KD



MN CM BM
p
2
 
 p 2  3 p  18  0
9 3 p
Положительный корень p=3
через 8 часов.
 самолет прибудет в А
Ответ: 13ч 30мин.
Задача №6
На стоянке находятся машины марок “Москвич”
и “Волга. Общее их число менее 30”. Если
увеличить вдвое число “Волг”, а число “Москвичей
” увеличить на 27, то “Волг” станет больше. Если
увеличить вдвое число “Москвичей”, не изменяя
числа “Волг”, то “Москвичей” станет больше.
Сколько “Москвичей” и сколько “Волг” находится
на стоянке”?
Решение:
Пусть х - “Москвичей” и у - “Волг” находится на стоянке.
Запишем условие задачи:

 x  y  30
 2 x  x  27

2 x  y
y  2x

 x  y  30
 2 x  x  27

2 x  y
1
y  x  13 ,5
2
y  30  x

y  2 x

1
 y  x  13 ,5
2
y  30  x
Ответ: 10 “Москвичей и 19 “Волг”
Задача №6.
Решите неравенство: 2 log4  x  a  1  log1  x  3  2a   2
х  а  1  0
2

Решение: О.Д.З. 
 x  3  2a  0

Преобразуем: 2 log4  x  a  1  2 log4  x  3  2a   2
log4  x  a  1  log4  x  3  2a   1
xa1
xa1
log4
 log4 4 
4
x  3  2a
x  3  2a
В соответствие с О. Д. З. умножим на выражение x  3  2a
обе части неравенства. Получим x  a  1  4  x  3  2a 
или 3 x 7 a  13  0.

x  a  1  0
Решим систему неравенств:  x  3  2a  0

 3 x  7 a  13  0
x
7 a  13
3
x  2a  3
x  a  1
7 a  13

x 
3
 x  2a 
3

x  a1
Ответ:
a    ;4 ,
решений нет
7 a  13



a   4 ; , x   2a  3 ;
3 

Задача №6. При каких значениях параметра а
2
2
уравнение x  1  x  x  2  x  a  0 имеет три
различных корня?
Перепишем исходное уравнение
x2  1  x2  x  2  x  a
2
2
Рассмотрим функции f ( x )  x  1  x  x  2 и
f ( x )  x2  1  x2  x  2
g( x )  x  a
 f( x) x1 x1  x1 x2
Рассмотрев четыре случая, последнюю функцию можно
переписать в виде:
 x  1 , ïðè 1  x  2

f ( x )   2 x 2  x  3 , ïðè  1  x  1
2

2
x
 x  3 , ïðè x  2 èëè x  1

 2 x 2  x  3 , ïðè x  2 èëè x  1

f ( x )    2 x 2  x  3 , ïðè  1  x  1
 x  1 , ïðè 1  x  2

График g(x)=x+a семейство
прямых, имеющих

угол наклона к оси Ох
4
и
пересекающих ось Оу в точке с
координатой (0;а).
Заключаем, что три указанные
точки можно получить лишь в
случае, когда эта прямая
касается графика функции
h( x )  2 x 2  x  3
h( x )  4 x  1  1  x  0
h( 0 )  3  a  3
Ответ: а=3