Transcript Потенциал поля

Тема 3. ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ.
СВЯЗЬ НАПРЯЖЕННОСТИ С ПОТЕНЦИАЛОМ

E
3.1. Теорема о циркуляции вектора
3.2. Работа сил электростатического поля.
Потенциальная энергия
3.3. Потенциал. Разность потенциалов
3.4. Связь между напряженностью и
потенциалом
3.5. Силовые линии и эквипотенциальные
поверхности
3.6. Расчет потенциалов простейших
электростатических полей
1

3.1. Теорема о циркуляции вектора E
• Рассмотрим поле,
создаваемое
неподвижным точечным
зарядом q.
• В любой точке этого поля
на пробный точечный
заряд q' действует сила F



1 qq' r
r
F
 F (r )
2
4 0 r r
r
2
• Вычислим работу, которую совершает
электростатическое поле, созданное зарядом q по
перемещению заряда q' из точки 1 в точку 2.
• Работа на пути dl равна:
1 qq'
dlcos ,
• dA  Fdlcos 
2
4 0 r
• где dr – приращение радиус-вектора при
перемещении на dl; dr  dl cos ,
qq'
dA 
d
r
.
2
4 0 r
3
• Полная работа при перемещении из точки 1 в
точку 2 равна интегралу:
qq' dr qq'  1  r2 qq'  1 1 


A12 




.


2



4 0 r1 r 4 0  r  r1 4 0  r1 r2 
r2
• Работа электростатических сил не зависит от
формы пути, а только лишь от координат
начальной и конечной точек перемещения.
Следовательно, силы поля консервативны, а
само поле – потенциально.
4
• Если в качестве пробного заряда, перенесенного
из точки 1 заданного поля в точку 2, взять
положительный единичный заряд q, то
элементарная работа сил поля будет равна:
 
dA  qEd l .
5
 
A  q  Ed l .
2
• Тогда вся работа равна:
1
• Такой интеграл по замкнутому
контуру называется

циркуляцией вектора E
• Из независимости линейного интеграла от пути
между двумя точками следует, что по
произвольному замкнутому пути:
 
E
d
l

0
.

• Это утверждение и называют теоремой о
циркуляции.
• Линии электростатического поля не могут быть
замкнутыми
6
3.2. Работа сил электростатического поля.
Потенциальная энергия
• Электростатическое поле потенциально, т.е.
обладает потенциальной энергией.
• Работу сил электростатического поля:
A12  W1  W2 .
Это выражение для работы можно переписать в
виде:
qq'
qq'
A12 
4 0 r1

4 0 r2
.
• Потенциальная энергия заряда q' в поле заряда q:
1 qq'
W
 const.
40 r
7
3.3. Потенциал. Разность потенциалов
• Разные пробные заряды q',q'',… будут обладать в
одной и той же точке поля разными энергиями W',
W'' и так далее.
• Однако отношение W / q 'пр. будет для всех
зарядов одним и тем же.
• Поэтому можно вести скалярную величину,
являющуюся энергетической характеристикой
собственно поля – потенциал:
W
 .
q'
8
• потенциал численно равен потенциальной
энергии, которой обладает в данной точке поля
единичный положительный заряд.
W
 .
q'
• потенциал точечного заряда
1 q

.
40 r
• физический смысл имеет разность потенциалов,
поэтому договорились считать, что потенциал
точки, удаленной в бесконечность, равен нулю.
9
• Другое определение потенциала:
A

q
èëè
A  q
• потенциал численно равен работе, которую
совершают силы поля над единичным
положительным зарядом при удалении его из
данной точки в бесконечность
10
• Если поле создается системой зарядов, то:
qk q'
W
.

4 0 k rk
1
qk
• Для потенциала   k или  

4 0 k rk
k
1
• т.е. потенциал поля, создаваемый системой зарядов,
равен алгебраической сумме потенциалов,
создаваемых каждым из зарядов в отдельности.
11
• Работа сил электростатического поля через разность
потенциалов между начальной и конечной точками:
A12  W1  W2  1q  2 q  q1  2 .
• Работа над зарядом q равна произведению заряда на
убыль потенциала:
A  q1  2   qU,
где U – напряжение.
A  qU
12
• за единицу φ принимают потенциал в такой точке
поля, для перемещения в которую из
бесконечности единичного положительного заряда
необходимо совершить работу равную единице.
• В СИ единица потенциала
1 В  1 Дж/1 Кл
• Электрон - вольт (эВ) – это работа, совершенная
силами поля над зарядом, равным заряду
электрона при прохождении им разности
потенциалов 1 В, то есть:
1 эВ  1,6  10
19
Кл  В  1,6  10
19
Дж.
13
3.4. Связь между напряженностью и потенциалом
• Работу, совершенную силами
электростатического поля на
бесконечно малом отрезке
можно найти так:
dA  Fl dl  El qdl,
dA  qd;
El qdl  qd
d
El   .
dl
14
• Тогда




E i
j
k,
x
y
z
• По определению градиента сумма первых
производных от какой-либо функции по
координатам есть градиент этой функции
grad
– вектор, показывающий направление
наибыстрейшего увеличения функции.



grad  i 
j  k,
x
y
z

E  grad
15

E  
•Где (набла) означает символический вектор,
называемый оператором Гамильтона

Знак минус говорит о том, что вектор направлен в
сторону уменьшения потенциала электрического
поля.
16

E  
•Из условия
следует одно важное
соотношение, а именно,
величина, векторного

произведения [, E] для стационарных
электрических полей всегда равна нулю.

•Величина [, E] называется ротором или вихрем
•Уравнение электростатики:

rotE  0
•Таким образом кулоновское электростатическое
поле – безвихревое.
17
3.5. Силовые линии и эквипотенциальные
поверхности
• Напряженность равна разности потенциалов U на
единицу длины силовой линии.
• В однородном электрическом поле силовые линии

– прямые. Поэтому здесь определить E
наиболее просто:
U
E 
l
18
•Воображаемая поверхность, все точки которой
имеют одинаковый потенциал, называется
эквипотенциальной поверхностью.
•Уравнение этой поверхности
   ( x, y, z )  const.
19
Линии напряженности и эквипотенциальные
поверхности взаимно перпендикулярны
20
• Можно по известным значениям φ найти
напряженность поля в каждой точке.

E  grad

• или по известным значениям E в каждой точке
поля найти разность потенциалов между двумя
2 

произвольными точками поля.
1  2   (E, d l ).
1
• Для обхода по замкнутому контуру
получим:   
1
2
 
 (E, d l )  0,
•циркуляция вектора напряженности
электростатического поля вдоль любого замкнутого
контура равна нулю.
21
•Линии электростатического поля не могут быть
замкнутыми: они начинаются на положительных
зарядах (истоки) и на отрицательных зарядах
заканчиваются (стоки) или уходят в бесконечность
22
3.7. Расчет потенциалов простейших
электростатических полей
3.7.1. Разность потенциалов между двумя
бесконечными заряженными плоскостями
d
E 
,
dl

E
0
d   Edl

1 d    0 x dx;
2
x2
1

2  1  x2  x1 
0
23
• На рисунке изображена зависимость
напряженности E и потенциала φ от расстояния
между плоскостями.
• При x1 = 0
и x2 = d
d
2  1 
0

E
0
24
3.7.2. Разность потенциалов между точками поля,
образованного бесконечно длинной
цилиндрической поверхностью
• С помощью теоремы Остроградского-Гаусса мы
показали, что


0  âíóòðè öèëèíäðà, ò.ê.òàì íåò çàðÿäîâ
 
q
E
èëè
íà ïîâåðõíîñò è öèëèíäðà
2 0 Rl
 2 0 R
 
q
èëè
âíå öèëèíäðà.

2 0 rl
 2 0 r
25
• Тогда, т.к.
d   Edr;

1 d   2 0
2
r2

r1
dr
r
• отсюда следует, что разность потенциалов в
произвольных точках 1 и 2 будет равна:
•
•
•
•

r2
q
r2
2  1  
ln  
ln
2 0 r1
2 0l r1
1
 
 2 ln R  const  âíóòðè è íà ïîâåðõíîñò è

0
 
  ln r  âíå öèëèíäðà.

 2 0 R
26
1
 
 2 ln R  const  âíóòðè è íà ïîâåðõíîñò è öèëèíäðà

0
 
  ln r  âíå öèëèíäðà.

 2 0 R
27
3.7.3. Разность потенциалов между обкладками
цилиндрического конденсатора
•
•
0  âíóòðè ìåíüøåãî è âíå áîëüøåãî öèëèíäðîâ çàðÿäîâ íåò

E 
 2 r  ìåæäó öèëèíäðàìè , êîãäà R1  r  R2 .
0

28
• Т.к.
•
•
d   Edr
, то

r2
2  1  
ln
2 0 r1
R2
 
 2 ln R  const  âíóòðè ìåíüøåãî öèëèíäðà (r  R1 )
0
1

r
 
 
ln  ìåæäó öèëèíäðàìè ( R1  r  R2 )
 2 0 R1
0  âíå öèëèíäðîâ.


29
• Таким образом, внутри меньшего цилиндра имеем
, Е = 0, φ = const;
• между обкладками потенциал уменьшается по
логарифмическому закону,
• вторая обкладка (вне цилиндров) экранирует
электрическое поле и φ и Е равны нулю.
30
3.7.4. Разность потенциалов заряженной сферы
(пустотелой)
• Напряженность поля сферы определяется
формулой
E (r ) 
q
4 0 r 2
31
d   Edr
• А т.к.
, то
q dr
q  1  r2 q  1 1 


1  2  




,


2


4 0 r 4 0  r  r1 4 0  r1 r2 
r1
r2
q
ò.å.  
.
4 0 r
32
R
 q
 4 R    const âíóòðè è íà ïîâåðõí.
 0
0
 
 q  âíå ñôåðû (r  R).
 4 0 r
33
3.7.5. Разность потенциалов внутри
диэлектрического заряженного шара
• Имеем диэлектрический шар заряженный с
объемной плотностью
3q

.
3
4R
34
• Напряженность поля шара, вычисленная с
помощью теоремы Остроградского-Гаусса:
•
•
 qr
r

 âíóòðè øàðà (r  R)

3
3 0
 4 0 R
 q
E
 íà ïîâåðõíîñò è øàðà (r  R)
2
 4 0 R
 q
 âíå øàðà (r  R).

2
 4 0 r
35
• Отсюда найдем разность потенциалов шара:

 2 2

2  1   Edr  
rdr  
r2  r1 

3 0 1
6 0
1
2
2
или
q( r  r )
1  2 
.
4 0 2R
2
2
2
1
3
36
• Потенциал шара:
 3q
 8 R  â öåíòðå øàðà (r  0)
0

 q 
r2 
 3  2   âíóòðè øàðà (r  R)
 
R 
 8 0 R 
 q
 íà ïîâåðõíîñò è è âíå øàðà (r  R).

 4 0 r
37
• Из полученных соотношений можно сделать
следующие выводы:
• С помощью теоремы Гаусса сравнительно просто
можно рассчитать Е и φ от различных заряженных
поверхностей.
• Напряженность поля в вакууме изменяется
скачком при переходе через заряженную
поверхность.
• Потенциал поля – всегда непрерывная функция
координат.
38